Εξίσωση!

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ · #1

Να λυθεί στους πραγματικούς αριθμούς η εξίσωση:

$\sqrt{x^{2}+1}+2=5\sqrt{x^{2}-6x+9}$
(Αυτή είναι η σωστή εκφώνηση)

Tolaso J Kos · #2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ έγραψε: Σάβ Σεπ 28, 2019 11:39 pm Να λυθεί στους πραγματικούς αριθμούς η εξίσωση:

$\sqrt{x^{2}+1}+2=5\sqrt{x^{2}-6x+10}$

Ίσως λόγω της ώρας δε βλέπω καλά , αλλά δε βλέπω να έχει "στρωτές" ρίζες. Έχεις λύση στην άσκηση ;

#3

Tolaso J Kos έγραψε: Κυρ Σεπ 29, 2019 1:43 am Ίσως λόγω της ώρας δε βλέπω καλά , αλλά δε βλέπω να έχει "στρωτές" ρίζες. Έχεις λύση στην άσκηση ;

Και εγώ νομίζω ότι τα νούμερα στην εκφώνηση είναι στα κουτουρού. Σίγουρα η τεταρτοβάθμια που προκύπτει είναι έξω από την εμβέλεια μαθητών της Γ ' Γυμνασίου.

Πρέπει να γίνει κατανοητό από όλους τους επίδοξους κατασκευαστές ασκήσεων ότι η διαδικασία "κτίζω έναν τοίχο" δεν είναι συνώνυμη της "βάζω τα τούβλα εδώ και εκεί". Για το κτίσιμο του τοίχου χρειάζεται και αλφάδι.

Η ισορροπία και αρμονία στα Μαθηματικά είναι απαράβατος κανόνας ενώ η ακαταστασία είναι έξω από την πρακτική τους.

#4

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ έγραψε: Σάβ Σεπ 28, 2019 11:39 pm Να λυθεί στους πραγματικούς αριθμούς η εξίσωση:

$\sqrt{x^{2}+1}+2=5\sqrt{x^{2}-6x+9}$
(Αυτή είναι η σωστή εκφώνηση)

Η εξίσωση γράφεται: $\displaystyle \sqrt {{x^2} + 1} = 5|x - 3| - 2$

$\displaystyle \bullet$ Για $x\ge3,$ είναι $\displaystyle \sqrt {{x^2} + 1} = 5x - 17,x > \frac{{17}}{5} \Rightarrow 12{x^2} - 85x + 144 = 0,$ απ' όπου παίρνουμε τη δεκτή ρίζα $\boxed{x = \frac{{85 + \sqrt {313} }}{{24}}}$

$\displaystyle \bullet$ Για x< 3,

είναι $\displaystyle \sqrt {{x^2} + 1} = - 5x + 13,x < \frac{{13}}{5} \Rightarrow 12{x^2} - 65x + 84 = 0,$ απ' όπου παίρνουμε τη δεκτή ρίζα $\boxed{x = \frac{{65 - \sqrt {193} }}{{24}}}$

Αν έλειπε το στο δεύτερο μέλος θα ήταν πιο βατή. Και πάλι όμως δεν είναι κατάλληλη για Γυμνάσιο.

Tolaso J Kos · #5

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ έγραψε: Σάβ Σεπ 28, 2019 11:39 pm Να λυθεί στους πραγματικούς αριθμούς η εξίσωση:

$\sqrt{x^{2}+1}+2=5\sqrt{x^{2}-6x+9}$
(Αυτή είναι η σωστή εκφώνηση)

Τώρα αλλάζουν τα πράματα! Σαφώς γίνεται πιο εύκολη , αλλά ... !!

#6

Tolaso J Kos έγραψε: Κυρ Σεπ 29, 2019 12:38 pm Τώρα αλλάζουν τα πράματα! Σαφώς γίνεται πιο εύκολη , αλλά ... !!

Αλλά και πάλι η επίλυση άρρητων εξισώσεων ΔΕΝ είναι στην ύλη Γυμνασίου. Μάλλον πρέπει να μετακινηθεί η ανάρτηση σε κατάλληλο φάκελο.

#7

Μεταφέρθηκε στη Β' Λυκείου.

EmperorIoannes · #8

Τετραγωνίζοντας και τις δύο πλευρές παίρνουμε:
$(\sqrt{(x^{2}+1)+2})^{2}=(5\sqrt{x^{2}-6x+9})^{2}\Leftrightarrow x^{2}+4\sqrt{x^{2}+1}+5=25x^{2}-150x+225$

Κάνοντας απλές πράξεις καταλήγουμε
$4\sqrt{x^{2}+1}=24x^{2}-150x+220\Leftrightarrow (4\sqrt{x^{2}+1})^{2}=(24x^{2}-150x+220)^{2}$

Ύστερα από αριθμητική καταλήγουμε στην μορφή:
$16x^{2}+16=576x^{4}-7200x^{3}+33060x^{2}-66000x+48400$

Το mathematica δίνει τέσσερις ρίζες, τις:
$x\approx 2,12...$
$x\approx 2,8...$
$x\approx 3,28...$
$x\approx 4,27$

Ύστερα από δοκιμή στο ίδιο πρόγραμμα οι δεκτές ρίζες είναι η πρώτη και η τελευταία.

Ερώτηση: Πώς θα μπορούσε ένας απλός μαθητής της Β' Λυκ να το λύσει χωρίς πρόσβαση σε μεθόδους brute force (δη Mathematica). Οι πολλές πράξεις μονόδρομος;

Καλά για Γ' Γυμνασίου δεν τίθεται καν συζήτηση.

#9

EmperorIoannes έγραψε: Δευ Σεπ 30, 2019 1:08 pm Τετραγωνίζοντας και τις δύο πλευρές παίρνουμε:
$(\sqrt{(x^{2}+1)+2})^{2}=(5\sqrt{x^{2}-6x+9})^{2}\Leftrightarrow x^{2}+4\sqrt{x^{2}+1}+5=25x^{2}-150x+225$

Κάνοντας απλές πράξεις καταλήγουμε
$4\sqrt{x^{2}+1}=24x^{2}-150x+220\Leftrightarrow (4\sqrt{x^{2}+1})^{2}=(24x^{2}-150x+220)^{2}$

Ύστερα από αριθμητική καταλήγουμε στην μορφή:
$16x^{2}+16=576x^{4}-7200x^{3}+33060x^{2}-66000x+48400$

Το mathematica δίνει τέσσερις ρίζες, τις:
$x\approx 2,12...$
$x\approx 2,8...$
$x\approx 3,28...$
$x\approx 4,27$

Ύστερα από δοκιμή στο ίδιο πρόγραμμα οι δεκτές ρίζες είναι η πρώτη και η τελευταία.

Ερώτηση: Πώς θα μπορούσε ένας απλός μαθητής της Β' Λυκ να το λύσει χωρίς πρόσβαση σε μεθόδους brute force (δη Mathematica). Οι πολλές πράξεις μονόδρομος;

Καλά για Γ' Γυμνασίου δεν τίθεται καν συζήτηση.

Η άσκηση έχει λυθεί πιο πάνω. Ο απλός μαθητής της Β' Λυκείου, αρκεί να παρατηρήσει ότι x^2-6x+9=(x-3)^2.

Και παρεμπιπτόντως, η άσκηση έχει

και όχι

ρίζες.

EmperorIoannes · #10

george visvikis έγραψε: Δευ Σεπ 30, 2019 2:13 pm
EmperorIoannes έγραψε: Δευ Σεπ 30, 2019 1:08 pm Τετραγωνίζοντας και τις δύο πλευρές παίρνουμε:
$(\sqrt{(x^{2}+1)+2})^{2}=(5\sqrt{x^{2}-6x+9})^{2}\Leftrightarrow x^{2}+4\sqrt{x^{2}+1}+5=25x^{2}-150x+225$

Κάνοντας απλές πράξεις καταλήγουμε
$4\sqrt{x^{2}+1}=24x^{2}-150x+220\Leftrightarrow (4\sqrt{x^{2}+1})^{2}=(24x^{2}-150x+220)^{2}$

Ύστερα από αριθμητική καταλήγουμε στην μορφή:
$16x^{2}+16=576x^{4}-7200x^{3}+33060x^{2}-66000x+48400$

Το mathematica δίνει τέσσερις ρίζες, τις:
$x\approx 2,12...$
$x\approx 2,8...$
$x\approx 3,28...$
$x\approx 4,27$

Ύστερα από δοκιμή στο ίδιο πρόγραμμα οι δεκτές ρίζες είναι η πρώτη και η τελευταία.

Ερώτηση: Πώς θα μπορούσε ένας απλός μαθητής της Β' Λυκ να το λύσει χωρίς πρόσβαση σε μεθόδους brute force (δη Mathematica). Οι πολλές πράξεις μονόδρομος;

Καλά για Γ' Γυμνασίου δεν τίθεται καν συζήτηση.
Η άσκηση έχει λυθεί πιο πάνω. Ο απλός μαθητής της Β' Λυκείου, αρκεί να παρατηρήσει ότι
Και παρεμπιπτόντως, η άσκηση έχει και όχι ρίζες.

Ευχαριστώ για την βοήθεια. Στην λύση που παρέθεσα εξήγησα τελευταία ότι δεκτές είναι δύο από τις τέσσερις που προέκυψαν.

#11

EmperorIoannes έγραψε: Δευ Σεπ 30, 2019 2:56 pm ... Στην λύση που παρέθεσα εξήγησα τελευταία ότι δεκτές είναι δύο από τις τέσσερις που προέκυψαν.

Έχεις δίκιο, δεν το είχα προσέξει.

Εξίσωση!

Εξίσωση!

Re: Εξίσωση!

Re: Εξίσωση!

Re: Εξίσωση!

Re: Εξίσωση!

Re: Εξίσωση!

Re: Εξίσωση!

Re: Εξίσωση!

Re: Εξίσωση!

Re: Εξίσωση!

Re: Εξίσωση!

Μέλη σε σύνδεση