Μέσο από συμμετρία

#1

: Μέσο από συμμετρία.png (10.8 KiB) Προβλήθηκε 1695 φορές

Σε τραπέζιο ABCD (AB||CD),

είναι

και η συμμετρική της

ως προς

τέμνει την προέκταση της

στο

Να δείξετε ότι η

διέρχεται από το μέσο της BE.

Ένα 24ωρο για μαθητές.

#2

Ας είναι $F\,\,\kappa \alpha \iota \,\,G$ τα σημεία τομής των $AB\,,\,ED\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DB\,,\,EC$ αντίστοιχα.

Επειδή η διχοτόμος μιας γωνίας είναι άξονας συμμετρίας θα είναι : $\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}$ , ενώ

λόγω παραλληλίας των $DC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB$ θα είναι : $\widehat {{\theta _2}} = \widehat \xi$ , οπότε $\boxed{\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\xi _{}}}}\,\,(1)$ .

Αλλά $CA = CB \Leftrightarrow \widehat {{\phi _{}}} = \widehat {{\theta _2}} + \widehat {{\omega _{}}}$ , όμως στο $\vartriangle AEB$ η $\widehat {{\phi _{}}}$ είναι εξωτερική και άρα

: Μέσο από συμμετρία_oritzin_1.png (25.39 KiB) Προβλήθηκε 1574 φορές

$\widehat {{\phi _{}}} = \widehat {{E_{}}} + \widehat {{\theta _1}}$ . Από τις δύο τελευταίες και αφού $\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}$ θα είναι $\boxed{\widehat {{E_{}}} = \widehat {{\xi _{}}}}\,\,\,(2)$ .

Οι $(1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2)$ μας εξασφαλίζουν ότι: $\vartriangle DCB \approx \vartriangle BAE$ . Μετά απ’ αυτά

Από το Θ. Ceva

στο $\vartriangle EDB$ , της παραλληλίας τω βάσεων του τραπεζίου, της πιο πάνω ομοιότητας και του Θ διχοτόμου στο $\vartriangle BED$ θα έχω:

$\left\{ \begin{gathered} \frac{{DF}}{{FE}} \cdot \frac{{EM}}{{MB}} \cdot \frac{{BG}}{{GD}} \hfill \\ \frac{{BG}}{{GD}} = \frac{{AB}}{{DC}} = \frac{{BE}}{{BD}} \hfill \\ \frac{{DF}}{{FE}} = \frac{{BD}}{{BE}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{BE}} \cdot \dfrac{{EM}}{{MB}} \cdot \dfrac{{BE}}{{BD}} = 1 \Rightarrow \boxed{EM = MB}$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

george visvikis έγραψε: Τρί Οκτ 01, 2019 6:33 pm Μέσο από συμμετρία.png
Σε τραπέζιο είναι και η συμμετρική της ως προς

τέμνει την προέκταση της στο Να δείξετε ότι η διέρχεται από το μέσο της

Ένα 24ωρο για μαθητές.

Αλλιώς,

Έστω $F\equiv AM\cap BC$
Έχουμε $\angle MBA=\angle ABD=\angle CDB$ και $\angle BAE=180^{\circ}-\angle CAB=\angle BCD$

Άρα $\overset{\Delta }{EAB}\sim \overset{\Delta }{DBC}\Rightarrow \dfrac{DC}{BC}=\dfrac{AB}{AC}\Rightarrow \dfrac{DC}{AB}=\dfrac{AC}{AE}(1)$

Από θ.Μενελάου στο CEB

διατέμνουσας $\overline{AMF}$ : $\dfrac{FC}{FB}\cdot \dfrac{MB}{ME}\cdot \dfrac{AE}{AC}=1\overset{(1)}{\Leftrightarrow }MB=ME$

: 142.PNG (15.13 KiB) Προβλήθηκε 1552 φορές

Altrian · #4

Καλησπέρα,

$FD=\left | \right |AC\Rightarrow$ $\bigtriangleup FDC, \bigtriangleup EAB$ όμοια και ομοιόθετα ως προς την

. Επειδή

μέσο του $FC\Rightarrow M$ μέσο του

#5

Altrian έγραψε: Πέμ Οκτ 03, 2019 9:46 pm Καλησπέρα,

$FD=\left | \right |AC\Rightarrow$ $\bigtriangleup FDC, \bigtriangleup EAB$ όμοια και ομοιόθετα ως προς την . Επειδή μέσο του $FC\Rightarrow M$ μέσο του

Γεια σου Αλέξανδρε με τα ωραία σου

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

george visvikis έγραψε: Τρί Οκτ 01, 2019 6:33 pm Μέσο από συμμετρία.png
Σε τραπέζιο είναι και η συμμετρική της ως προς

τέμνει την προέκταση της στο Να δείξετε ότι η διέρχεται από το μέσο της

Ένα 24ωρο για μαθητές.

Η παράλληλη από το

προς τις

τέμνει τις

στο

και

στο

κι ας είναι $AM \cap EL=N$

$\dfrac{CA}{AE}= \dfrac{CB}{BK} \Rightarrow AE=BK \Rightarrow EABK$ ισοσκελές τραπέζιο $\Rightarrow x=y \Rightarrow AK//OB$

Τώρα, $\dfrac{DA}{AN} = \dfrac{CB}{BK}= \dfrac{CO}{OA}= \dfrac{DO}{OB} \Rightarrow NB//OA \Rightarrow ENBA$ παραλ//μμο ,άρα EM=MB

: Μέσο από συμμετρία.png (62.06 KiB) Προβλήθηκε 1452 φορές

#7

Σας ευχαριστώ όλους για τις πολύ ωραίες λύσεις. Ας δούμε άλλη μία.

Έστω $\displaystyle MN||AB \Rightarrow \frac{{MN}}{{DC}} = \frac{{AN}}{{AC}}$ (1)

: Μέσο από συμμετρία.ΙΙ.png (14.71 KiB) Προβλήθηκε 1405 φορές

Από τις παραλληλίες και τη συμμετρία, οι πράσινες γωνίες είναι ίσες κι επειδή $\displaystyle C\widehat AB = A\widehat BC,$ τα τρίγωνα

ENM, BCD

είναι όμοια: $\displaystyle \frac{{MN}}{{DC}} = \frac{{EN}}{{BC}} = \frac{{EN}}{{AC}}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} EN = AN,$ οπότε και $\boxed{EM=MB}$

#8

: Μέσο από συμμετρία_oritzin_2.png (24.66 KiB) Προβλήθηκε 1359 φορές

Ας είναι

το σημείο τομής των $DC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EB$ . Αν

το μέσο της βάσης του ισοσκελούς τριγώνου BDT

,

η

θα διέρχεται και από το μέσο

της άλλης βάσης του τραπεζίου ABTD

.

Επειδή το τετράπλευρο CNBO

είναι ορθογώνιο θα έχω: CN// = OB = OA

άρα το τετράπλευρο CNOA

είναι παραλληλόγραμμο , οπότε $\overline {NOM} //AE$

Αφού τώρα στο $\vartriangle EAB$ το

είναι μέσο του

θα είναι και το

μέσο του

.

Μέσο από συμμετρία

Μέσο από συμμετρία

Re: Μέσο από συμμετρία

Re: Μέσο από συμμετρία

Re: Μέσο από συμμετρία

Re: Μέσο από συμμετρία

Re: Μέσο από συμμετρία

Re: Μέσο από συμμετρία

Re: Μέσο από συμμετρία

Μέλη σε σύνδεση