Ίσα τμήματα απ' την Περσία

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 14940
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ίσα τμήματα απ' την Περσία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis »

Ίσα τμήματα από παραλληλίες.png
Ίσα τμήματα από παραλληλίες.png (18.8 KiB) Προβλήθηκε 1122 φορές
Τρίγωνο ABC είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου O και έστω M το μέσο του τόξου \overset\frown{BC} στο οποίο δεν ανήκει

το A. Το ύψος από τη κορυφή A τέμνει τον κύκλο στο N και οι παράλληλες από το O στις MB, MC τέμνουν τις

AB, AC στα K, L αντίστοιχα. Να δείξετε ότι NK=NL.
Ετικέτες:
κύκλος
μέσο-τόξου
ύψος
Κορυφή
giannisd
Δημοσιεύσεις: 22
Εγγραφή: Τετ Δεκ 05, 2018 1:02 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Ίσα τμήματα απ' την Περσία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannisd »

Μια γρήγορη:

Έστω T το αντιδιαμετρικό του M στον (ABC).
Τότε λόγω των παραλληλιών είναι:
\displaystyle{\angle ATO= \angle ATM=\angle ACM=\angle ALO}
και
\displaystyle{\angle AKO=\angle ABM=\pi-\angle ACM}
Άρα, ATLOK εγγράψιμο.
Τότε (από spiral similarity ας πούμε) KTL ισοσκελές με TK=TL.
Έστω S=AM\cap (ATLOK)
Τότε SK=SL και SO\perp MT\implies SO\perp AN
Όμως το ANMT είναι ισοσκελές τραπέζιο, άρα T,S,N συνευθειακά και το ζητούμενο έπεται, αφού TS μεσοκάθετος του KL,
Κορυφή
achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3070
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Ίσα τμήματα απ' την Περσία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas »

Λόγω παραλληλίας και αφού το ABMC είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο είναι

\displaystyle \angle AKO+\angle ALO=\angle ABM+\angle ACM=180^\circ,

δηλ. το τετράπλευρο AKOL είναι εγγράψιμο σε κύκλο.

Έστω ότι η MO τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του ABC στο F. Είναι

\displaystyle \angle FAC=\angle FMC=\angle FOL,

δηλ. τo AFLO είναι εγγράψιμο. Έτσι, τα A,K,O,L,F είναι ομοκυκλικά. Επιπλέον, με κυνήγι γωνιών παίρνουμε

\displaystyle \angle FKL=\angle FAC=\angle FMC=\angle FMB=\angle FOK=\angle FLK,

δηλ. το τρίγωνο FKL είναι ισοσκελές με FK=FL.

Λόγω παραλληλίας, και αφού το BOM είναι ισοσκελές με OB=OM, είναι

\displaystyle \angle KOB=\angle OBM=\angle OMB=\angle FOK.

Έτσι τα τρίγωνα KOB και KOF είναι ίσα από ΠΓΠ, κι άρα BK=KF. Έτσι, \angle KBF=\angle KFB.

Από την παραλληλία των AN και FM παίρνουμε

\displaystyle \angle NFM=\angle ANF=\angle ABF=\angle KBF=\angle KFB.

Έτσι,

\displaystyle \angle KFN=\angle BFM=90^\circ -\angle FBC=90^\circ-\angle FKL.

Άρα η FN είναι κάθετη στο KL, κι αφού το KFL είναι ισοσκελές με KF=FL, η FN είναι η μεσοκάθετος του KL. Συνεπώς, KN=NL.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Συνημμένα
george_Persia_2019_forum.png
george_Persia_2019_forum.png (62.86 KiB) Προβλήθηκε 860 φορές
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή στο “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης