Τετράγωνο, κύκλος και ορθογώνιο τρίγωνο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1111
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Τετράγωνο, κύκλος και ορθογώνιο τρίγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Οκτ 06, 2019 1:20 am

Καλή Κυριακή.
Τετράγωνο, κύκλος και ορθ. τρίγωνο.PNG
Τετράγωνο, κύκλος και ορθ. τρίγωνο.PNG (10.78 KiB) Προβλήθηκε 534 φορές
Το ABCD είναι τετράγωνο και το E \in AD με AE=3ED. Η CE τέμνει την BD στο Z .

Ο κύκλος που ορίζουν τα A,E,Z τέμνει την BD και στο H ενώ την AB και στο F.

Να δείξετε ότι:

Ι) Το τρίγωνο που σχηματίζεται με πλευρές τα τμήματα DZ,BH και ZH είναι ορθογώνιο


ΙΙ)Τα σημεία C,H,F είναι συνευθειακά

ΙΙΙ) Αν οι AB,EH τέμνονται στο S τότε ED=BS. Σας ευχαριστώ , Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8525
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τετράγωνο, κύκλος και ορθογώνιο τρίγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Οκτ 06, 2019 11:26 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Οκτ 06, 2019 1:20 am
Καλή Κυριακή.
Τετράγωνο, κύκλος και ορθ. τρίγωνο.PNG
Το ABCD είναι τετράγωνο και το E \in AD με AE=3ED. Η CE τέμνει την BD στο Z .

Ο κύκλος που ορίζουν τα A,E,Z τέμνει την BD και στο H ενώ την AB και στο F.

Να δείξετε ότι:

Ι) Το τρίγωνο που σχηματίζεται με πλευρές τα τμήματα DZ,BH και ZH είναι ορθογώνιο


ΙΙ)Τα σημεία C,H,F είναι συνευθειακά

ΙΙΙ) Αν οι AB,EH τέμνονται στο S τότε ED=BS. Σας ευχαριστώ , Γιώργος.
Καλημέρα!
Τετράγωνο, κύκλος, κλπ.png
Τετράγωνο, κύκλος, κλπ.png (20.75 KiB) Προβλήθηκε 500 φορές
Αφήνω προς το παρόν το σχήμα και θα δώσω τη λύση το απογευματάκι, αν δεν απαντηθεί μέχρι τότε
με τον τρόπο που έχω υπόψη μου.

Επεξεργασία: Άρση απόκρυψης.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1697
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τετράγωνο, κύκλος και ορθογώνιο τρίγωνο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Οκτ 06, 2019 12:25 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Οκτ 06, 2019 1:20 am
Καλή Κυριακή.
Τετράγωνο, κύκλος και ορθ. τρίγωνο.PNG
Το ABCD είναι τετράγωνο και το E \in AD με AE=3ED. Η CE τέμνει την BD στο Z .

Ο κύκλος που ορίζουν τα A,E,Z τέμνει την BD και στο H ενώ την AB και στο F.

Να δείξετε ότι:

Ι) Το τρίγωνο που σχηματίζεται με πλευρές τα τμήματα DZ,BH και ZH είναι ορθογώνιο


ΙΙ)Τα σημεία C,H,F είναι συνευθειακά

ΙΙΙ) Αν οι AB,EH τέμνονται στο S τότε ED=BS. Σας ευχαριστώ , Γιώργος.

2).Είναι  \angle CHD= \angle DHA= \omega άρα \angle ZED= \omega και DEHC εγγράψιμο ,άρα CH \bot EH και \angle CEH=45^0

Επιπλέον, FH \bot EH αφού EF διάμετρος του (A,E,Z) ,επομένως C,H,F συνευθειακά .

3).Ακόμη, CHBS είναι εγγράψιμο άρα \angle BCS=x.Αλλά tanx= \dfrac{DE}{DC}= \dfrac{1}{4}   \Rightarrow  \dfrac{SB}{BC}= \dfrac{1}{4}  άρα, DE=BS= \dfrac{a}{4}

Έστω ZN,HP \bot AD

1).\dfrac{DZ}{ZB}= \dfrac{DE}{CB}= \dfrac{1}{4}   \Rightarrow DZ= \dfrac{ZB}{4}= \dfrac{DB}{5} \Rightarrow DN= \dfrac{a}{5}   \Rightarrow NE= \dfrac{a}{4}- \dfrac{a}{5}= \dfrac{a}{20}

Είναι EP=PA= \dfrac{3a}{8}  \Rightarrow PN= \dfrac{17a}{40} και  \dfrac{DZ}{ZH} = \dfrac{8}{17}

\dfrac{BH}{HZ}= \dfrac{AP}{PN}= \dfrac{15}{17} κι εύκολα  \dfrac{BH^2}{HZ^2}+ \dfrac{DZ^2}{HZ^2} =1 \Rightarrow BH^2+DZ^2=HZ^2
Τετράγωνο -κύκλος-ορθογώνιο.png
Τετράγωνο -κύκλος-ορθογώνιο.png (145.32 KiB) Προβλήθηκε 488 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8525
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τετράγωνο, κύκλος και ορθογώνιο τρίγωνο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Οκτ 06, 2019 5:36 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Οκτ 06, 2019 1:20 am
Καλή Κυριακή.
Τετράγωνο, κύκλος και ορθ. τρίγωνο.PNG
Το ABCD είναι τετράγωνο και το E \in AD με AE=3ED. Η CE τέμνει την BD στο Z .

Ο κύκλος που ορίζουν τα A,E,Z τέμνει την BD και στο H ενώ την AB και στο F.

Να δείξετε ότι:

Ι) Το τρίγωνο που σχηματίζεται με πλευρές τα τμήματα DZ,BH και ZH είναι ορθογώνιο


ΙΙ)Τα σημεία C,H,F είναι συνευθειακά

ΙΙΙ) Αν οι AB,EH τέμνονται στο S τότε ED=BS. Σας ευχαριστώ , Γιώργος.
Έστω 4x η πλευρά του τετραγώνου και DZ=c, ZH=a, HB=b. Είναι, \boxed{a+b+c=4x\sqrt 2}} (1)
Τετράγωνο, κύκλος, κλπ.png
Τετράγωνο, κύκλος, κλπ.png (20.75 KiB) Προβλήθηκε 440 φορές
I) \displaystyle \frac{{DE}}{{CB}} = \frac{{DZ}}{{ZB}} \Leftrightarrow \frac{1}{4} = \frac{c}{{a + b}} \Leftrightarrow \boxed{a+b=4c} (2) και \displaystyle DE \cdot DA = DZ \cdot DH \Leftrightarrow \boxed{4x^2=c(c+a)} (3)

Από τη λύση του συστήματος των τριών εξισώσεων, βρίσκω \boxed{(a,b,c) = \left( {\frac{{17x\sqrt 2 }}{{10}},\frac{{3x\sqrt 2 }}{2},\frac{{4x\sqrt 2 }}{5}} \right)}

\displaystyle {b^2} + {c^2} = \frac{{18{x^2}}}{4} + \frac{{32{x^2}}}{{25}} = \frac{{578{x^2}}}{{100}} = {\left( {\frac{{17x\sqrt 2 }}{{10}}} \right)^2} \Rightarrow \boxed{a^2=b^2+c^2}

II) EC=x\sqrt{17}. Αλλά, \displaystyle \frac{{EZ}}{{ZC}} = \frac{{DE}}{{DC}} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow ZC = 4EZ \Leftrightarrow EC = 5EZ \Leftrightarrow EZ = \frac{{x\sqrt {17} }}{5}

\displaystyle EZ \cdot ZC = 4E{Z^2} = \frac{{4 \cdot 17{x^2}}}{{25}} = \frac{{17x\sqrt 2 }}{{10}} \cdot \frac{{4x\sqrt 2 }}{5} = ac, άρα το DEHC είναι εγγράψιμο. Αλλά,

και το EHFA είναι εγγράψιμο, οπότε τα σημεία C,H,F είναι συνευθειακά (CH, HF κάθετες στην ίδια ευθεία).

III) Το CES είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, οπότε τα τρίγωνα CDE, CBS είναι ίσα και \boxed{ED=BS}


Altrian
Δημοσιεύσεις: 197
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Τετράγωνο, κύκλος και ορθογώνιο τρίγωνο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Κυρ Οκτ 06, 2019 6:58 pm

Καλησπέρα σε όλους,

Εχω την εντύπωση ότι η σχέση AE=3ED δεν χρειάζεται. Ολα όσα ζητά η άσκηση ισχύουν ανεξάρτητα της θέσης του E. Αφήνω και ένα σχήμα όπου προκύπτουν εύκολα τα ζητούμενα με τον σχηματισμό του ορθογωνίου τριγώνου. Το θέτω προς διαβούλευση με επιφύλαξη.
Συνημμένα
τετραγωνο κυκλος και ορθογωνιο.png
τετραγωνο κυκλος και ορθογωνιο.png (46.21 KiB) Προβλήθηκε 425 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8525
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τετράγωνο, κύκλος και ορθογώνιο τρίγωνο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Οκτ 06, 2019 7:24 pm

Altrian έγραψε:
Κυρ Οκτ 06, 2019 6:58 pm
Καλησπέρα σε όλους,

Εχω την εντύπωση ότι η σχέση AE=3ED δεν χρειάζεται. Ολα όσα ζητά η άσκηση ισχύουν ανεξάρτητα της θέσης του E. Αφήνω και ένα σχήμα όπου προκύπτουν εύκολα τα ζητούμενα με τον σχηματισμό του ορθογωνίου τριγώνου. Το θέτω προς διαβούλευση με επιφύλαξη.
Έχεις δίκιο Αλέξανδρε :coolspeak: Και η άσκηση γίνεται πολύ πιο ωραία!


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1111
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Τετράγωνο, κύκλος και ορθογώνιο τρίγωνο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Οκτ 07, 2019 12:29 am

Καλημέρα σε όλους! Γιώργο και Μιχάλη σας ευχαριστώ για τις πλήρεις λύσεις!!
Για τα ζητούμενα ΙΙ και ΙΙΙ (είχα τον λόγο μου να ) γνωρίζω ότι ισχύουν γενικότερα. Το πρώτο δεν σκέφτηκα να το ελέγξω..
Ο Αλέξανδρος έχει βεβαίως .. :10sta10: δίκιο! :clap2:

Άλλωστε μπορώ να φέρω..αντίρρηση σ'αυτόν που.. :D ..έλκει την καταγωγή του από την Άρτα και μάλιστα από την γειτονιά μου ;
Ας δούμε λοιπόν μια προέκταση-γενίκευση του θέματος που είχα σκοπό να θέσω για συνέχεια
Τετράγωνο, κύκλος ..ΙΙ PNG.PNG
Τετράγωνο, κύκλος ..ΙΙ PNG.PNG (7.38 KiB) Προβλήθηκε 372 φορές
Θεωρούμε ότι ισχύει AE=k\cdot AD με 0<k<1 και τα λοιπά ως έχουν στην αρχική διατύπωση.Αν AF=m \cdot AB

Να εκφραστεί το m ως συνάρτηση του k

Εφαρμογή: Βρείτε την κλίση της EF αν θέσουμε k=2-\sqrt{2}. Ευχαριστώ και πάλι, Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8525
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τετράγωνο, κύκλος και ορθογώνιο τρίγωνο

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Οκτ 07, 2019 12:40 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Δευ Οκτ 07, 2019 12:29 am

Θεωρούμε ότι ισχύει AE=k\cdot AD με 0<k<1 και τα λοιπά ως έχουν στην αρχική διατύπωση.Αν AF=m \cdot AB

Να εκφραστεί το m ως συνάρτηση του k

Εφαρμογή: Βρείτε την κλίση της EF αν θέσουμε k=2-\sqrt{2}. Ευχαριστώ και πάλι, Γιώργος.
Αν a είναι η πλευρά του τετραγώνου και θεωρήσουμε γνωστά τα προηγούμενα ευρήματα (αλλιώς αποδεικνύονται), τότε DE=BS=(1-k)a, FB=(1-m)a.
Τετράγωνο, κύκλος, κλπ.β.png
Τετράγωνο, κύκλος, κλπ.β.png (25.07 KiB) Προβλήθηκε 339 φορές
Το CEFS είναι χαρταετός, άρα \displaystyle EF = FS \Leftrightarrow a\sqrt {{k^2} + {m^2}}  = a(2 - m - k) \Leftrightarrow \boxed{m = \frac{{2(1 - k)}}{{2 - k}}}

Για k=2-\sqrt{2}, η κλίση της EF είναι \displaystyle  - \tan \theta  =  - \frac{k}{m} = \frac{{{k^2} - 2k}}{{2(1 - k)}} = \frac{{2(1 - \sqrt 2 )}}{{2(\sqrt 2  - 1)}} =  - 1


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8525
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τετράγωνο, κύκλος και ορθογώνιο τρίγωνο

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Οκτ 07, 2019 6:53 pm

Ας δούμε την αρχική άσκηση για τυχαίο τμήμα DE=x και έστω a η πλευρά του τετραγώνου.
Τετράγωνο, κύκλος, κλπ.γ.png
Τετράγωνο, κύκλος, κλπ.γ.png (24.01 KiB) Προβλήθηκε 304 φορές
\displaystyle  \bullet Τα τρίγωνα ADH, CDH είναι ίσα και \displaystyle C\widehat HD = D\widehat HA = D\widehat EC, οπότε το DEHC είναι

εγγράψιμο, άρα C\widehat HE=90^\circ κι επειδή E\widehat HF=90^\circ, τα C, H, F είναι συνευθειακά.

\displaystyle  \bullet Το CHBS είναι επίσης εγγράψιμο, άρα το CES είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, οπότε τα τρίγωνα

CDE, CBS είναι ίσα και \boxed{ED=BS=x}

\displaystyle  \bullet Από τον τύπο της διχοτόμου, \displaystyle D{Z^2} = ax\left( {1 - \frac{{{a^2} + {x^2}}}{{{{(a + x)}^2}}}} \right) \Leftrightarrow \boxed{DZ = \frac{{ax\sqrt 2 }}{{a + x}}}

\displaystyle H{A^2} = H{S^2} = \frac{{C{E^2}}}{2} = \frac{{{a^2} + {x^2}}}{2} και με θεώρημα \displaystyle {\rm{Stewart}} στο AHS και τέμνουσα HB, είναι:

\displaystyle \frac{{{a^2} + {x^2}}}{2}x + \frac{{{a^2} + {x^2}}}{2}a = H{B^2}(a + x) + ax(a + x) \Leftrightarrow \boxed{HB = \frac{{(a - x)\sqrt 2 }}{2}}

\displaystyle ZH = a\sqrt 2  - (DZ + HB) \Leftrightarrow \boxed{ZH = \frac{{({a^2} + {x^2})\sqrt 2 }}{{2(a + x)}}} και εύκολα τώρα, \boxed{ZH^2=DZ^2+HB^2}


Altrian
Δημοσιεύσεις: 197
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Τετράγωνο, κύκλος και ορθογώνιο τρίγωνο

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Δευ Οκτ 07, 2019 7:35 pm

Για το i)

Φέρνω BF κάθετη στην HB. Τότε \bigtriangleup DEC=\bigtriangleup CBF\Rightarrow BF=DZ, CF=CZ. Αρα HF=HZ. Ετσι το \bigtriangleup HBF είναι ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές τις DZ=BF, ZH=HF, HB
Συνημμένα
τετραγωνο κυκλος και ορθογωνιο2.png
τετραγωνο κυκλος και ορθογωνιο2.png (47.63 KiB) Προβλήθηκε 294 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8525
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τετράγωνο, κύκλος και ορθογώνιο τρίγωνο

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Οκτ 07, 2019 7:53 pm

Altrian έγραψε:
Δευ Οκτ 07, 2019 7:35 pm
Για το i)

Φέρνω BF κάθετη στην HB. Τότε \bigtriangleup DEC=\bigtriangleup CBF\Rightarrow BF=DZ, CF=CZ. Αρα HF=HZ. Ετσι το \bigtriangleup HBF είναι ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές τις DZ=BF, ZH=HF, HB
Ωραίο Αλέξανδρε :clap2: :clap2:


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1111
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Τετράγωνο, κύκλος και ορθογώνιο τρίγωνο

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τετ Οκτ 16, 2019 1:16 am

Χαιρετώ τους φίλους! Μετά και τις νέες εξαιρετικές προσθήκες από τους Γιώργο και Αλέξανδρο
ας δούμε τον σκοπό για τον οποίο ζήτησα τη σχέση μεταξύ των k και m (δείτε την ανάρτηση #8 του παρόντος)

Έχουμε AF=ma...AE=ka οπότε BF=(1-m)a...DE=(1-k)a ενώ   \boxed{m = \frac{{2(1 - k)}}{{2 - k}}}.

Βρίσκουμε AE\cdot AF=kma^{2}=\dfrac{2k\left ( 1-k \right )}{2-k}a^{2} και BF=\left ( 1-m \right )a=..=\dfrac{k}{2-k}a\Rightarrow DE\cdot BF=\dfrac{k\left ( 1-k \right )}{2-k}a^{2}.

Συνεπώς προκύπτει η σχέση AE\cdot AF=2DE\cdot BF (\bigstar)

Αφετηρία για την δημιουργία του παρόντος ήταν το παλαιό - υπέροχο- θέμα ΤΟΥΤΟ.

Εκεί , αντίστροφα δίνεται η σχέση (\bigstar) με ζητούμενο την ομοκυκλικότητα των πέντε σημείων!
Φιλικά , Γιώργος


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: thanasis.a και 0 επισκέπτες