Τετράγωνο, κύκλος και ορθογώνιο τρίγωνο
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Τετράγωνο, κύκλος και ορθογώνιο τρίγωνο
Καλή Κυριακή.
Το είναι τετράγωνο και το με . Η τέμνει την στο .
Ο κύκλος που ορίζουν τα τέμνει την και στο ενώ την και στο .
Να δείξετε ότι:
Ι) Το τρίγωνο που σχηματίζεται με πλευρές τα τμήματα και είναι ορθογώνιο
ΙΙ)Τα σημεία είναι συνευθειακά
ΙΙΙ) Αν οι τέμνονται στο τότε . Σας ευχαριστώ , Γιώργος.
Ο κύκλος που ορίζουν τα τέμνει την και στο ενώ την και στο .
Να δείξετε ότι:
Ι) Το τρίγωνο που σχηματίζεται με πλευρές τα τμήματα και είναι ορθογώνιο
ΙΙ)Τα σημεία είναι συνευθειακά
ΙΙΙ) Αν οι τέμνονται στο τότε . Σας ευχαριστώ , Γιώργος.
Λέξεις Κλειδιά:
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13272
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Τετράγωνο, κύκλος και ορθογώνιο τρίγωνο
Καλημέρα! Αφήνω προς το παρόν το σχήμα και θα δώσω τη λύση το απογευματάκι, αν δεν απαντηθεί μέχρι τότεΓιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑Κυρ Οκτ 06, 2019 1:20 amΚαλή Κυριακή.
Τετράγωνο, κύκλος και ορθ. τρίγωνο.PNG
Το είναι τετράγωνο και το με . Η τέμνει την στο .
Ο κύκλος που ορίζουν τα τέμνει την και στο ενώ την και στο .
Να δείξετε ότι:
Ι) Το τρίγωνο που σχηματίζεται με πλευρές τα τμήματα και είναι ορθογώνιο
ΙΙ)Τα σημεία είναι συνευθειακά
ΙΙΙ) Αν οι τέμνονται στο τότε . Σας ευχαριστώ , Γιώργος.
με τον τρόπο που έχω υπόψη μου.
Επεξεργασία: Άρση απόκρυψης.
-
- Δημοσιεύσεις: 2769
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Τετράγωνο, κύκλος και ορθογώνιο τρίγωνο
Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑Κυρ Οκτ 06, 2019 1:20 amΚαλή Κυριακή.
Τετράγωνο, κύκλος και ορθ. τρίγωνο.PNG
Το είναι τετράγωνο και το με . Η τέμνει την στο .
Ο κύκλος που ορίζουν τα τέμνει την και στο ενώ την και στο .
Να δείξετε ότι:
Ι) Το τρίγωνο που σχηματίζεται με πλευρές τα τμήματα και είναι ορθογώνιο
ΙΙ)Τα σημεία είναι συνευθειακά
ΙΙΙ) Αν οι τέμνονται στο τότε . Σας ευχαριστώ , Γιώργος.
2).Είναι άρα και εγγράψιμο ,άρα και
Επιπλέον, αφού διάμετρος του ,επομένως συνευθειακά .
3).Ακόμη, είναι εγγράψιμο άρα .Αλλά άρα,
Έστω
1).
Είναι και
κι εύκολα
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13272
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Τετράγωνο, κύκλος και ορθογώνιο τρίγωνο
Έστω η πλευρά του τετραγώνου και Είναι,Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑Κυρ Οκτ 06, 2019 1:20 amΚαλή Κυριακή.
Τετράγωνο, κύκλος και ορθ. τρίγωνο.PNG
Το είναι τετράγωνο και το με . Η τέμνει την στο .
Ο κύκλος που ορίζουν τα τέμνει την και στο ενώ την και στο .
Να δείξετε ότι:
Ι) Το τρίγωνο που σχηματίζεται με πλευρές τα τμήματα και είναι ορθογώνιο
ΙΙ)Τα σημεία είναι συνευθειακά
ΙΙΙ) Αν οι τέμνονται στο τότε . Σας ευχαριστώ , Γιώργος.
I) και
Από τη λύση του συστήματος των τριών εξισώσεων, βρίσκω
II) Αλλά,
άρα το είναι εγγράψιμο. Αλλά,
και το είναι εγγράψιμο, οπότε τα σημεία είναι συνευθειακά ( κάθετες στην ίδια ευθεία).
III) Το είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, οπότε τα τρίγωνα είναι ίσα και
Re: Τετράγωνο, κύκλος και ορθογώνιο τρίγωνο
Καλησπέρα σε όλους,
Εχω την εντύπωση ότι η σχέση δεν χρειάζεται. Ολα όσα ζητά η άσκηση ισχύουν ανεξάρτητα της θέσης του . Αφήνω και ένα σχήμα όπου προκύπτουν εύκολα τα ζητούμενα με τον σχηματισμό του ορθογωνίου τριγώνου. Το θέτω προς διαβούλευση με επιφύλαξη.
Εχω την εντύπωση ότι η σχέση δεν χρειάζεται. Ολα όσα ζητά η άσκηση ισχύουν ανεξάρτητα της θέσης του . Αφήνω και ένα σχήμα όπου προκύπτουν εύκολα τα ζητούμενα με τον σχηματισμό του ορθογωνίου τριγώνου. Το θέτω προς διαβούλευση με επιφύλαξη.
- Συνημμένα
-
- τετραγωνο κυκλος και ορθογωνιο.png (46.21 KiB) Προβλήθηκε 951 φορές
Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13272
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Τετράγωνο, κύκλος και ορθογώνιο τρίγωνο
Έχεις δίκιο Αλέξανδρε Και η άσκηση γίνεται πολύ πιο ωραία!Altrian έγραψε: ↑Κυρ Οκτ 06, 2019 6:58 pmΚαλησπέρα σε όλους,
Εχω την εντύπωση ότι η σχέση δεν χρειάζεται. Ολα όσα ζητά η άσκηση ισχύουν ανεξάρτητα της θέσης του . Αφήνω και ένα σχήμα όπου προκύπτουν εύκολα τα ζητούμενα με τον σχηματισμό του ορθογωνίου τριγώνου. Το θέτω προς διαβούλευση με επιφύλαξη.
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Τετράγωνο, κύκλος και ορθογώνιο τρίγωνο
Καλημέρα σε όλους! Γιώργο και Μιχάλη σας ευχαριστώ για τις πλήρεις λύσεις!!
Για τα ζητούμενα ΙΙ και ΙΙΙ (είχα τον λόγο μου να ) γνωρίζω ότι ισχύουν γενικότερα. Το πρώτο δεν σκέφτηκα να το ελέγξω..
Ο Αλέξανδρος έχει βεβαίως .. δίκιο!
Άλλωστε μπορώ να φέρω..αντίρρηση σ'αυτόν που.. ..έλκει την καταγωγή του από την Άρτα και μάλιστα από την γειτονιά μου ;
Ας δούμε λοιπόν μια προέκταση-γενίκευση του θέματος που είχα σκοπό να θέσω για συνέχεια Θεωρούμε ότι ισχύει με και τα λοιπά ως έχουν στην αρχική διατύπωση.Αν
Να εκφραστεί το ως συνάρτηση του
Εφαρμογή: Βρείτε την κλίση της αν θέσουμε . Ευχαριστώ και πάλι, Γιώργος.
Για τα ζητούμενα ΙΙ και ΙΙΙ (είχα τον λόγο μου να ) γνωρίζω ότι ισχύουν γενικότερα. Το πρώτο δεν σκέφτηκα να το ελέγξω..
Ο Αλέξανδρος έχει βεβαίως .. δίκιο!
Άλλωστε μπορώ να φέρω..αντίρρηση σ'αυτόν που.. ..έλκει την καταγωγή του από την Άρτα και μάλιστα από την γειτονιά μου ;
Ας δούμε λοιπόν μια προέκταση-γενίκευση του θέματος που είχα σκοπό να θέσω για συνέχεια Θεωρούμε ότι ισχύει με και τα λοιπά ως έχουν στην αρχική διατύπωση.Αν
Να εκφραστεί το ως συνάρτηση του
Εφαρμογή: Βρείτε την κλίση της αν θέσουμε . Ευχαριστώ και πάλι, Γιώργος.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13272
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Τετράγωνο, κύκλος και ορθογώνιο τρίγωνο
Αν είναι η πλευρά του τετραγώνου και θεωρήσουμε γνωστά τα προηγούμενα ευρήματα (αλλιώς αποδεικνύονται), τότε Το είναι χαρταετός, άραΓιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑Δευ Οκτ 07, 2019 12:29 am
Θεωρούμε ότι ισχύει με και τα λοιπά ως έχουν στην αρχική διατύπωση.Αν
Να εκφραστεί το ως συνάρτηση του
Εφαρμογή: Βρείτε την κλίση της αν θέσουμε . Ευχαριστώ και πάλι, Γιώργος.
Για η κλίση της είναι
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13272
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Τετράγωνο, κύκλος και ορθογώνιο τρίγωνο
Ας δούμε την αρχική άσκηση για τυχαίο τμήμα και έστω η πλευρά του τετραγώνου.
εγγράψιμο, άρα κι επειδή τα είναι συνευθειακά.
Το είναι επίσης εγγράψιμο, άρα το είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, οπότε τα τρίγωνα
είναι ίσα και
Από τον τύπο της διχοτόμου,
και με θεώρημα στο και τέμνουσα είναι:
και εύκολα τώρα,
Τα τρίγωνα είναι ίσα και οπότε το είναι εγγράψιμο, άρα κι επειδή τα είναι συνευθειακά.
Το είναι επίσης εγγράψιμο, άρα το είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, οπότε τα τρίγωνα
είναι ίσα και
Από τον τύπο της διχοτόμου,
και με θεώρημα στο και τέμνουσα είναι:
και εύκολα τώρα,
Re: Τετράγωνο, κύκλος και ορθογώνιο τρίγωνο
Για το i)
Φέρνω κάθετη στην . Τότε . Αρα . Ετσι το είναι ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές τις
Φέρνω κάθετη στην . Τότε . Αρα . Ετσι το είναι ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές τις
- Συνημμένα
-
- τετραγωνο κυκλος και ορθογωνιο2.png (47.63 KiB) Προβλήθηκε 820 φορές
Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13272
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Τετράγωνο, κύκλος και ορθογώνιο τρίγωνο
Χαιρετώ τους φίλους! Μετά και τις νέες εξαιρετικές προσθήκες από τους Γιώργο και Αλέξανδρο
ας δούμε τον σκοπό για τον οποίο ζήτησα τη σχέση μεταξύ των και (δείτε την ανάρτηση #8 του παρόντος)
Έχουμε οπότε ενώ .
Βρίσκουμε και .
Συνεπώς προκύπτει η σχέση ()
Αφετηρία για την δημιουργία του παρόντος ήταν το παλαιό - υπέροχο- θέμα ΤΟΥΤΟ.
Εκεί , αντίστροφα δίνεται η σχέση () με ζητούμενο την ομοκυκλικότητα των πέντε σημείων!
Φιλικά , Γιώργος
ας δούμε τον σκοπό για τον οποίο ζήτησα τη σχέση μεταξύ των και (δείτε την ανάρτηση #8 του παρόντος)
Έχουμε οπότε ενώ .
Βρίσκουμε και .
Συνεπώς προκύπτει η σχέση ()
Αφετηρία για την δημιουργία του παρόντος ήταν το παλαιό - υπέροχο- θέμα ΤΟΥΤΟ.
Εκεί , αντίστροφα δίνεται η σχέση () με ζητούμενο την ομοκυκλικότητα των πέντε σημείων!
Φιλικά , Γιώργος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες