Ώρα για ότι θέλετε

KARKAR · #1

: Ώρα για ότι θέλετε.png (16.18 KiB) Προβλήθηκε 505 φορές

Ο έγκυκλος (K)

του ισοσκελούς τριγώνου $\displaystyle ABC , (AB=AC)$ διέρχεται από το κέντρο

του περικύκλου του . Βρείτε έναν τριγωνομετρικό αριθμό της γωνίας $\hat{B}$ , ( όποιον θέλετε )

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 16, 2019 1:18 pm
Ώρα για ότι θέλετε.pngΟ έγκυκλος του ισοσκελούς τριγώνου $\displaystyle ABC , (AB=AC)$ διέρχεται από το κέντρο

του περικύκλου του . Βρείτε έναν τριγωνομετρικό αριθμό της γωνίας $\hat{B}$ , ( όποιον θέλετε )

: Ό,τι νάναι.png (12.71 KiB) Προβλήθηκε 471 φορές

$\displaystyle {R^2} - 2Rr = O{K^2} = {r^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{R=r(1+\sqrt 2)}$ (1)

$\displaystyle \frac{1}{2}a \cdot (R + 2r) = (ABC) = \frac{{a + 2b}}{2} \cdot r\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} a(\sqrt 2 + 3) = a + 2b \Leftrightarrow \frac{a}{{2b}} = \frac{1}{{\sqrt 2 + 2}} \Leftrightarrow$ $\boxed{ \cos B = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{2}}$

#3

Ας είναι

το σημείο τομής της

με το κύκλο (O,a)

και

το σημείο επαφής της

με το κύκλο (K,b)

.

Θέτω $HD = x \Rightarrow \boxed{x = a - 2b}\,\,(1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BH = y \Rightarrow \boxed{{y^2} = 2ax = 2a(a - 2b)}\,\,(2)$

Επειδή το τετράπλευρο KEBD

είναι εγγράψιμο θα ισχύει :

$\widehat {{\omega _{}}} = \widehat {{\theta _{}}} \Rightarrow \boxed{\cos \omega = \cos \theta = \frac{b}{{a + b}} = \frac{1}{{t + 1}}}\,\,(3)$ . Όπου $\boxed{a = tb}$

Αλλά BH//EK

και άρα :

: Ωρα για ότι θέλετε.png (20.48 KiB) Προβλήθηκε 411 φορές

$\dfrac{{EK}}{{BH}} = \dfrac{{AK}}{{AH}} \Rightarrow \dfrac{b}{y} = \dfrac{{a + b}}{{2a}} \Rightarrow 2ab = y(a + b) \Rightarrow 4{a^2}{b^2} = {y^2}{(a + b)^2}$ που λόγω της (2)

Δίδει: $4{a^2}{b^2} = 2a(a - 2b){(a + b)^2} \Rightarrow 2a{b^2} = (a - 2b){(a + b)^2}$ .

Η τελευταία δίδει : ${a^3} - 5a{b^2} - 2{b^3} = 0$ (ομογενής) . Αφού όμως: a = tb

και

θα προκύψει

${t^3} - 5t - 2 = 0$ που εύκολα με το γνωστό σχήμα δίδει : $(t + 2)({t^2} - 2t - 1) = 0$ που έχει μοναδική δεκτή ρίζα :

$\boxed{t = 1 + \sqrt 2 }$ . Άρα $\boxed{\cos \omega = \frac{1}{{1 + 1 + \sqrt 2 }} = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{2}}$

Βεβαίως από τη σχέση του που δίδει την απόσταση του περικέντρου από το έγκεντρο, η μας δίδει άμεσα το αποτέλεσμα

Ώρα για ότι θέλετε

Ώρα για ότι θέλετε

Re: Ώρα για ότι θέλετε

Re: Ώρα για ότι θέλετε

Μέλη σε σύνδεση