Ειδικό ισοσκελές

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10945
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ειδικό ισοσκελές

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Οκτ 15, 2019 12:39 pm

Ειδικό  ισοσκελές.png
Ειδικό ισοσκελές.png (6.69 KiB) Προβλήθηκε 390 φορές
Το σημείο S ανήκει στην βάση BC του ισοσκελούς τριγώνου \displaystyle ABC , ενώ όλα τα εμφανιζόμενα

τμήματα έχουν ακέραια μήκη . Σχεδιάστε κι εσείς τέτοιο τρίγωνο , φυσικά όχι όμοιο προς το δοθέν .

Απαράβατος όρος : Πρέπει να εξηγήσετε πως το κατασκευάσατε :x



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8506
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ειδικό ισοσκελές

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Οκτ 15, 2019 1:54 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Οκτ 15, 2019 12:39 pm
Ειδικό ισοσκελές.pngΤο σημείο S ανήκει στην βάση BC του ισοσκελούς τριγώνου \displaystyle ABC , ενώ όλα τα εμφανιζόμενα

τμήματα έχουν ακέραια μήκη . Σχεδιάστε κι εσείς τέτοιο τρίγωνο , φυσικά όχι όμοιο προς το δοθέν .

Απαράβατος όρος : Πρέπει να εξηγήσετε πως το κατασκευάσατε :x
Ειδικό ισοσκελές.Κ..png
Ειδικό ισοσκελές.Κ..png (7.98 KiB) Προβλήθηκε 365 φορές
Διάλεξα τυχαία b=c=12, AS=10 και με Stewart προσδιόρισα τα τμήματα BS, SC.

Άλλα: (b=c=8, AS=6,BS=4, SC=7), (b=c=13, AS=11,BS=6, SC=8), κλπ. Βρίσκονται πολύ εύκολα.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6783
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ειδικό ισοσκελές

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Οκτ 15, 2019 8:19 pm

Λίγο μπακαλίστικα.

Έστω κύκλος με κέντρο A και ακτίνα , R (φυσικός μεγαλύτερο του 3)

Μια χορδή του BC αποτελείται από τα ακέραια τμήματα : a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,b\,. Θέτω AS = x

Επειδή : ab = {R^2} - {x^2} \Leftrightarrow \boxed{{x^2} = {R^2} - ab} .

Το τμήμα x είναι κι αυτό ακέραιος αν και μόνο αν η διαφορά {R^2} - ab είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου
Ειδικό ισοσκελές_KARKAR.png
Ειδικό ισοσκελές_KARKAR.png (18.15 KiB) Προβλήθηκε 332 φορές
Ας πάρουμε π. χ. a = 4\,\,,b = 7\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,R = 8 \Rightarrow x = \sqrt {64 - 28}  = 6

Ας το δούμε κι αλλιώς; Έστω a = 7\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,b = 9 επειδή ab = 63 αναζητώ την ακτίνα

R ώστε {R^2} - 63 να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου . Αν επιλέξω :

R = 12 θα είναι : x = \sqrt {144 - 63}  = 9.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11542
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ειδικό ισοσκελές

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Οκτ 15, 2019 9:05 pm

Βιαστικά χωρίς κάποιες λεπτομέρειες καθώς ετοιμάζομαι για πολύωρο ταξίδι στο εξωτερικό, στις 4 το πρωί. Θα επανέλθω, αν χρειαστεί, αύριο βράδυ ώρα Ελλάδας όταν με το καλό φτάσω στον προορισμό μου.

Σε ευθεία BC παίρνουμε σημείο D και BD=DC= 2ab(m^2-n^2). Εδώ τα m,n,a,b είναι φυσικοί με m>n, a>b. Παίρνουμε SD= 2mn(a^2-b^2).

Στην κάθετο της BC στο D παίρνουμε DA= 4mnab (δηλαδή το AD είναι ύψος του ισοσκελούς).

Είναι τότε AB=AC= 2ab(m^2+n^2), \, AS= 2mn(a^2+b^2), όλα ακέραιοι. Επίσης BS, \, SC ακέραιοι ως διαφορά ή άθροισμα ακεραίων.

Η κατασκευή ουσιαστικά είναι δύο Πυθαγόρεια τρίγωνα, τα ASD, ADC, κολλημένα πλάτη με πλάτη αφού τα μεγενθύνουμε κατάλληλα ώστε μία καθετος του ενός να είναι ίση με του άλλου (η AD).


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6783
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Οκτ 16, 2019 1:48 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Οκτ 15, 2019 12:39 pm
Ειδικό ισοσκελές.pngΤο σημείο S ανήκει στην βάση BC του ισοσκελούς τριγώνου \displaystyle ABC , ενώ όλα τα εμφανιζόμενα

τμήματα έχουν ακέραια μήκη . Σχεδιάστε κι εσείς τέτοιο τρίγωνο , φυσικά όχι όμοιο προς το δοθέν .

Απαράβατος όρος : Πρέπει να εξηγήσετε πως το κατασκευάσατε :x
Ας δούμε και ένα άλλο σκεφτικό (Ίσως αυτό του KARKAR)

Επιλέγω δύο ακέραια ευθύγραμμα τμήματα a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,b με γινόμενο τέλειο τετράγωνο

Για παράδειγμα :a = 5\,\,\kappa \alpha \iota \,\,b = 20\,\,\,\left( {5 \cdot 20 = {{10}^2}} \right) .Η χορδή BC = a + b στο παράδειγμα BC = 5 + 20 = 25

θεωρώ Πυθαγόρεια τριάδα

Με μια κάθετη πλευρά ίση με :{K_2} = \sqrt {ab} . Τα R\,\,\kappa \alpha \iota \,\,x είναι η υποτείνουσα : Y και η άλλη κάθετη πλευρά : {K_1}




Στο παράδειγμα, \left\{ \begin{gathered} 
  {k^2} + {l^2} = Y \hfill \\ 
  {k^2} - {l^2} = {K_1} \hfill \\ 
  2kl = 10 = {K_2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  {k^2} + {l^2} = Y \hfill \\ 
  {k^2} - {l^2} = {K_1} \hfill \\ 
  kl = 5 \cdot 1 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  {5^2} + {1^2} = 26 \hfill \\ 
  {5^2} - {1^2} = 24 \hfill \\ 
  kl = 5 \cdot 1 \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Ισοσκελές και τμήμα_ακέραιοι.png
Ισοσκελές και τμήμα_ακέραιοι.png (13.35 KiB) Προβλήθηκε 244 φορές
Στο παράδειγμα του KARKAR :

\left\{ \begin{gathered} 
  a = 4 \hfill \\ 
  b = 9 \hfill \\ 
  \boxed{{K_1} = \sqrt {4 \cdot 9}  = 6} \hfill \\ 
  BC = 4 + 9 = 13 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  {K_1} = \sqrt {4 \cdot 9}  \hfill \\ 
  R = 10 = Y \hfill \\ 
  {K_2} = 8 = x \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Ας δούμε ακόμα ένα παράδειγμα :

Έστω η Πυθαγόρεια τριάδα : (17,15,8) Γράφω κύκλο (A,17).

Η κάθετη πλευρά 8 έχει τετράγωνο 64 = 4 \cdot 16. Θεωρώ χορδή \overline {BSC}  = 4 + 16 = 20

Τότε : AS = 15
Ισοσκελές και τμήμα_ακέραιοι_1.png
Ισοσκελές και τμήμα_ακέραιοι_1.png (12.79 KiB) Προβλήθηκε 244 φορές
Παρατήρηση : Ο πιο πάνω τρόπος μας εξασφαλίζει μόνο μια κατηγορία τέτοιων τριγώνων


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1816
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Ειδικό ισοσκελές

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Πέμ Οκτ 17, 2019 3:13 pm

Με πλευρά μικροτερη του 10 υπάρχουν καμμιά δεκαριά.

Τι να πρωτογραψω ;; :lol:


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1816
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Ειδικό ισοσκελές

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Πέμ Οκτ 17, 2019 5:34 pm

πλευρά - βάση- τμήμα βάσης - τμήμα βάσης - σεβασιανή

4 7 3 4 2
6 9 4 5 4
7 10 4 6 5
7 11 3 8 5
7 13 5 8 3
8 8 3 5 7
8 11 4 7 6
8 14 6 8 4
9 12 4 8 7
9 14 5 9 6
9 15 7 8 5
9 17 8 9 3
10 13 4 9 8
10 15 3 12 8
10 19 7 12 4
11 10 3 7 10
11 13 5 8 9
11 14 4 10 9
11 17 8 9 7
11 18 6 12 7
11 20 8 12 5
12 15 4 11 10
12 16 7 9 9
12 18 8 10 8
12 21 5 16 8
12 21 9 12 6
13 14 6 8 11
13 16 4 12 11
13 19 3 16 11
13 19 8 11 9
13 22 7 15 8
13 22 10 12 7
13 23 8 15 7
13 25 9 16 5
14 12 3 9 13
14 17 4 13 12
14 20 5 15 11
14 20 8 12 10
14 22 6 16 10
14 23 11 12 8
14 26 10 16 6
14 27 12 15 4
15 15 7 8 13
15 18 4 14 13
15 21 8 13 11
15 25 9 16 9
15 26 8 18 9
15 27 11 16 7
16 16 6 10 14
16 17 5 12 14
16 19 4 15 14
16 22 8 14 12
16 23 3 20 14
16 23 7 16 12
16 24 9 15 11
16 25 12 13 10
16 28 12 16 8
16 31 11 20 6
16 31 15 16 4
17 14 3 11 16
17 20 4 16 15
17 22 10 12 13
17 23 8 15 13
17 26 6 20 13
17 26 12 14 11
17 29 5 24 13
17 29 8 21 11
17 29 13 16 9
17 30 9 21 10
17 31 7 24 11
17 31 15 16 7
17 32 12 20 7
18 12 5 7 17
18 20 9 11 15
18 21 4 17 16
18 24 8 16 14
18 27 12 15 12
18 28 10 18 12
18 29 9 20 12
18 30 14 16 10
18 33 13 20 8
18 34 16 18 6
19 17 8 9 17
19 18 6 12 17
19 22 4 18 17
19 22 7 15 16
19 25 8 17 15
19 26 5 21 16
19 26 11 15 14
19 27 3 24 17
19 28 12 16 13
19 31 15 16 11
19 32 8 24 13
19 32 12 20 11
19 34 10 24 11
19 34 14 20 9
19 37 13 24 7
19 37 16 21 5
20 16 3 13 19
20 23 4 19 18
20 25 9 16 16
20 26 8 18 16
20 29 12 17 14
20 30 6 24 16
20 32 7 25 15
20 32 11 21 13
20 35 15 20 10
20 37 12 25 10
20 37 16 21 8
20 38 14 24 8


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8506
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ειδικό ισοσκελές

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Οκτ 17, 2019 6:03 pm

rek2 έγραψε:
Πέμ Οκτ 17, 2019 5:34 pm
πλευρά - βάση- τμήμα βάσης - τμήμα βάσης - σεβασιανή

4 7 3 4 2
6 9 4 5 4
7 10 4 6 5
7 11 3 8 5
7 13 5 8 3
8 8 3 5 7
8 11 4 7 6
8 14 6 8 4
9 12 4 8 7
9 14 5 9 6
9 15 7 8 5
9 17 8 9 3
10 13 4 9 8
10 15 3 12 8
10 19 7 12 4
11 10 3 7 10
11 13 5 8 9
11 14 4 10 9
11 17 8 9 7
11 18 6 12 7
11 20 8 12 5
12 15 4 11 10
12 16 7 9 9
12 18 8 10 8
12 21 5 16 8
12 21 9 12 6
13 14 6 8 11
13 16 4 12 11
13 19 3 16 11
13 19 8 11 9
13 22 7 15 8
13 22 10 12 7
13 23 8 15 7
13 25 9 16 5
14 12 3 9 13
14 17 4 13 12
14 20 5 15 11
14 20 8 12 10
14 22 6 16 10
14 23 11 12 8
14 26 10 16 6
14 27 12 15 4
15 15 7 8 13
15 18 4 14 13
15 21 8 13 11
15 25 9 16 9
15 26 8 18 9
15 27 11 16 7
16 16 6 10 14
16 17 5 12 14
16 19 4 15 14
16 22 8 14 12
16 23 3 20 14
16 23 7 16 12
16 24 9 15 11
16 25 12 13 10
16 28 12 16 8
16 31 11 20 6
16 31 15 16 4
17 14 3 11 16
17 20 4 16 15
17 22 10 12 13
17 23 8 15 13
17 26 6 20 13
17 26 12 14 11
17 29 5 24 13
17 29 8 21 11
17 29 13 16 9
17 30 9 21 10
17 31 7 24 11
17 31 15 16 7
17 32 12 20 7
18 12 5 7 17
18 20 9 11 15
18 21 4 17 16
18 24 8 16 14
18 27 12 15 12
18 28 10 18 12
18 29 9 20 12
18 30 14 16 10
18 33 13 20 8
18 34 16 18 6
19 17 8 9 17
19 18 6 12 17
19 22 4 18 17
19 22 7 15 16
19 25 8 17 15
19 26 5 21 16
19 26 11 15 14
19 27 3 24 17
19 28 12 16 13
19 31 15 16 11
19 32 8 24 13
19 32 12 20 11
19 34 10 24 11
19 34 14 20 9
19 37 13 24 7
19 37 16 21 5
20 16 3 13 19
20 23 4 19 18
20 25 9 16 16
20 26 8 18 16
20 29 12 17 14
20 30 6 24 16
20 32 7 25 15
20 32 11 21 13
20 35 15 20 10
20 37 12 25 10
20 37 16 21 8
20 38 14 24 8
Ναι, αλλά πρέπει να εξηγήσεις πώς κατασκεύασες το καθένα :lol:


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1816
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Ειδικό ισοσκελές

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Πέμ Οκτ 17, 2019 6:12 pm

george visvikis έγραψε:
Πέμ Οκτ 17, 2019 6:03 pm
rek2 έγραψε:
Πέμ Οκτ 17, 2019 5:34 pm
πλευρά - βάση- τμήμα βάσης - τμήμα βάσης - σεβασιανή

4 7 3 4 2
6 9 4 5 4
7 10 4 6 5
7 11 3 8 5
7 13 5 8 3
8 8 3 5 7
8 11 4 7 6
8 14 6 8 4
9 12 4 8 7
9 14 5 9 6
9 15 7 8 5
9 17 8 9 3
10 13 4 9 8
10 15 3 12 8
10 19 7 12 4
11 10 3 7 10
11 13 5 8 9
11 14 4 10 9
11 17 8 9 7
11 18 6 12 7
11 20 8 12 5
12 15 4 11 10
12 16 7 9 9
12 18 8 10 8
12 21 5 16 8
12 21 9 12 6
13 14 6 8 11
13 16 4 12 11
13 19 3 16 11
13 19 8 11 9
13 22 7 15 8
13 22 10 12 7
13 23 8 15 7
13 25 9 16 5
14 12 3 9 13
14 17 4 13 12
14 20 5 15 11
14 20 8 12 10
14 22 6 16 10
14 23 11 12 8
14 26 10 16 6
14 27 12 15 4
15 15 7 8 13
15 18 4 14 13
15 21 8 13 11
15 25 9 16 9
15 26 8 18 9
15 27 11 16 7
16 16 6 10 14
16 17 5 12 14
16 19 4 15 14
16 22 8 14 12
16 23 3 20 14
16 23 7 16 12
16 24 9 15 11
16 25 12 13 10
16 28 12 16 8
16 31 11 20 6
16 31 15 16 4
17 14 3 11 16
17 20 4 16 15
17 22 10 12 13
17 23 8 15 13
17 26 6 20 13
17 26 12 14 11
17 29 5 24 13
17 29 8 21 11
17 29 13 16 9
17 30 9 21 10
17 31 7 24 11
17 31 15 16 7
17 32 12 20 7
18 12 5 7 17
18 20 9 11 15
18 21 4 17 16
18 24 8 16 14
18 27 12 15 12
18 28 10 18 12
18 29 9 20 12
18 30 14 16 10
18 33 13 20 8
18 34 16 18 6
19 17 8 9 17
19 18 6 12 17
19 22 4 18 17
19 22 7 15 16
19 25 8 17 15
19 26 5 21 16
19 26 11 15 14
19 27 3 24 17
19 28 12 16 13
19 31 15 16 11
19 32 8 24 13
19 32 12 20 11
19 34 10 24 11
19 34 14 20 9
19 37 13 24 7
19 37 16 21 5
20 16 3 13 19
20 23 4 19 18
20 25 9 16 16
20 26 8 18 16
20 29 12 17 14
20 30 6 24 16
20 32 7 25 15
20 32 11 21 13
20 35 15 20 10
20 37 12 25 10
20 37 16 21 8
20 38 14 24 8
Ναι, αλλά πρέπει να εξηγήσεις πώς κατασκεύασες το καθένα :lol:
Χα χα χα χα !!!! :clap: :clap:


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1816
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Ειδικό ισοσκελές

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Πέμ Οκτ 17, 2019 6:34 pm

Λοιπόν, Γιώργο από, Στιούαρτ αρκεί να λύσουμε στους φυσικούς την εξίσωση

a^2=d^2 +x y, με x+y<2a,

όπου a η πλευρά του τριγώνου, d η σεβασιανή και x, y τα τμήματα της βάσης.

Xa xa! Πήρα, λοιπόν, στα γρήγορα, μία πυθαγόρεια τριάδα αριθμών π.χ 10^2=8^2 +6^2 και έγραψα το 36 σαν γινόμενο 4χ9,3χ12 (όχι 2χ18) και άμεσα βρήκα δύο τρίγωνα!

Μετά, όμως, :winner_second_h4h: έγραψα το πραγραμματάκι :

10 for a=2 to 20
20 n=2*a-1
30 for b = 3 to n
40 m = int(b/2)
50 for x=1 to m
60 y=b-x
70 d=sqr(a^2-x*y)
80 if ((d-int(d)=0) and (x<>y)) then print a, b, x, y, d
90 next x
100 next b
110 next a

... και run! :lol: :lol: :lol: όλα τα τρίγωνα με πλευρά μικρότερη ή ίση του 20. Αγνόησα τις περιπτώσεις που σεβασανή είναι η διάμεσος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες