Ελαχιστοποίηση γινομένου

KARKAR · #1

: Ελαχιστοποίηση γινομένου.png (13.36 KiB) Προβλήθηκε 669 φορές

Τα ύψη

και

του ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , τέμνονται στο σημείο

.

Σημείο

κινείται μεταξύ των σημείων

και

. Ενδιαφερόμαστε για το $AT\cdot AS$

Είναι σχεδόν προφανές (;) ότι για τις ακραίες θέσεις του

, είναι $AD\cdot AB=AK \cdot AM$

Δείξτε ότι για τις άλλες θέσεις του

, το $AT\cdot AS$ είναι μικρότερο και αναζητήστε την ελάχιστη τιμή του .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 19, 2019 8:26 am
Ελαχιστοποίηση γινομένου.png
Τα ύψη και του ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , τέμνονται στο σημείο .

Σημείο κινείται μεταξύ των σημείων και . Ενδιαφερόμαστε για το $AT\cdot AS$

Είναι σχεδόν προφανές (;) ότι για τις ακραίες θέσεις του , είναι $AD\cdot AB=AK \cdot AM$

Δείξτε ότι για τις άλλες θέσεις του , το $AT\cdot AS$ είναι μικρότερο και αναζητήστε την ελάχιστη τιμή του .

: Ελαχιστοποίηση γινομένου.png (11.85 KiB) Προβλήθηκε 650 φορές

$\displaystyle AT \cdot AS = \frac{{AD}}{{\cos x}} \cdot \frac{{AM}}{{\cos (30^\circ - x)}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{2\cos x(\sqrt 3 \cos x + \sin x)}}$ που ελαχιστοποιείται όταν

μεγιστοποιηθεί η $\displaystyle f(x) = 2\cos x(\sqrt 3 \cos x + \sin x),$ πράγμα που συμβαίνει για $x=15^\circ$ και παίρνει μέγιστη τιμή $2+\sqrt 3.$

Το γινόμενο ελαχιστοποιείται λοιπόν όταν η

είναι διχοτόμος της $B\widehat AM$ και $\boxed{{\left( {AT \cdot AS} \right)_{\min }} = {a^2}\left( {2\sqrt 3 - 3} \right)}$

#3

Για το πρώτο .

α) Ας είναι $\boxed{MS = x\,\,,\,\,x \in \left( {0,\frac{a}{2}} \right)}$ .Από Θ Μενελάου στο $\vartriangle ABS$ με τέμνουσα $\overline {DTC}$ έχω:

$\dfrac{{AD}}{{DB}} \cdot \dfrac{{BC}}{{CS}} \cdot \dfrac{{ST}}{{TA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{TA}}{{TS}} = \dfrac{{2a}}{{a + 2x}} \Rightarrow \boxed{\frac{{TA}}{{AS}} = \frac{{2a}}{{3a + 2x}}}\,\,(1)$

Αλλά $AK \cdot AM = AD \cdot AB = \dfrac{{{a^2}}}{2}\,\,\,(2)$ γιατί το τετράπλευρο BMKD

είναι εγγράψιμο .

Ενώ $A{S^2} = {x^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}\,\,(3)$ από το Π. Θεώρημα στο $\vartriangle MAS$ .

: Ελαχιστοποίηση γινομένου_oritzin_a.png (15.57 KiB) Προβλήθηκε 631 φορές

Η

δίδει : $AT \cdot AS = \dfrac{{2a}}{{3a + 2x}}A{S^2}\mathop = \limits^{(3)} \dfrac{{2a}}{{3a + 2x}}\left( {{x^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}} \right)$ , οπότε λόγω της (2)

αρκεί να δείξω ότι :

$\boxed{\dfrac{{2a}}{{3a + 2x}}\left( {{x^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}} \right) < \dfrac{{{a^2}}}{2}}$ που ισοδύναμα ( αφού a,x > 0

) δίδει :

$\dfrac{2}{{3a + 2x}}\left( {4{x^2} + 3{a^2}} \right) < 2a \Leftrightarrow 4{x^2} + 3{a^2} < a(3a + 2x) \Leftrightarrow 2x < a$ που είναι αληθής .

β) Η συνάρτηση

με $\boxed{f(x) = AT \cdot AS = \frac{{a\left( {4{x^2} + 3{a^2}} \right)}}{{2(3a + 2x)}}\,,\,\,\,\,\,0 < x < \frac{a}{2}}$

Παρουσιάζει ελάχιστο στο ${x_0} = a\left( {\sqrt 3 - \dfrac{3}{2}} \right)$ το $f({x_0}) = {a^2}\left( {2\sqrt 3 - 3} \right)$

#4

Για το πρώτο (μου διέφυγε τελείως, μέχρι που είδα την απάντηση του Νίκου).

: Ελαχιστοποίηση γινομένου.a.png (13.43 KiB) Προβλήθηκε 609 φορές

Επειδή η $A\widehat SB$ είναι αμβλεία, η από το

κάθετη στην

την τέμνει σε σημείο

στην προέκταση του AS.

$\displaystyle AT \cdot AS < AT \cdot AE = AD \cdot AB$ (το οποίο ισχύει σε κάθε τρίγωνο όχι μόνο σε ισόπλευρο).

#5

Ας το γενικεύσουμε:

: Ελαχιστοποίηση γινομένου.c.png (10.42 KiB) Προβλήθηκε 592 φορές

Αν το

είναι τυχαίο οξυγώνιο τρίγωνο, εξετάστε αν το γινόμενο $AT\cdot AS$ ελαχιστοποιείται όταν η

διχοτομεί τη γωνία $B\widehat AM.$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 19, 2019 8:26 am
Ελαχιστοποίηση γινομένου.png
Τα ύψη και του ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , τέμνονται στο σημείο .

Σημείο κινείται μεταξύ των σημείων και . Ενδιαφερόμαστε για το $AT\cdot AS$

Είναι σχεδόν προφανές (;) ότι για τις ακραίες θέσεις του , είναι $AD\cdot AB=AK \cdot AM$

Δείξτε ότι για τις άλλες θέσεις του , το $AT\cdot AS$ είναι μικρότερο και αναζητήστε την ελάχιστη τιμή του .

1)Επειδή $\angle ASB>90^0$ η κάθετη στην

στο

τέμνει την

σε εσωτερικό της σημείο έστω

συνεπώς

Ισχύει,

2)Είναι, $\dfrac{a}{2} . AL=AT . AS$ άρα ψάχνουμε την ελαχιστοποίηση του

Με ν.συνημιτόνου στο $\triangle BLS έχουμε$ LS^2= (a-AL)^2+x^2-(a-AL)x

$AL^2=AS^2+LS^2= \dfrac{3a^2}{4}+( \dfrac{a}{2} -x)^2+(a-AL)^2+x^2-(a-AL)x$ απ όπου

έχουμε $AL=f(x)=2 \dfrac{a^2+x^2-ax}{2a-x}$ με $0<x< \dfrac{a}{2}$

Εύκολα βρίσκουμε $AL_{min}$ όταν $x=a(2- \sqrt{3} )$ και $(AT . AS )_{min} =a^2(2 \sqrt{3}-3)$

: ελαχιστοποίηση γινομένου.png (49.56 KiB) Προβλήθηκε 577 φορές

Ελαχιστοποίηση γινομένου

Ελαχιστοποίηση γινομένου

Re: Ελαχιστοποίηση γινομένου

Re: Ελαχιστοποίηση γινομένου

Re: Ελαχιστοποίηση γινομένου

Re: Ελαχιστοποίηση γινομένου

Re: Ελαχιστοποίηση γινομένου

Μέλη σε σύνδεση