Τριχοτόμηση γωνίας!

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1107
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Τριχοτόμηση γωνίας!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Οκτ 20, 2019 12:06 am

Καλό βράδυ-Καλημέρα σε όλους! Έχω την αίσθηση ότι το παρακάτω θέμα έχει προβληθεί
αλλά θεωρώ πως θα τραβήξει το ενδιαφέρον και σε αρκετούς -κυρίως νεότερους-που δεν το γνωρίζουν.
19-10 Τριχοτόμηση γωνίας!.PNG
19-10 Τριχοτόμηση γωνίας!.PNG (8.8 KiB) Προβλήθηκε 459 φορές
Το τρίγωνο ABC έχει AB=AC. Το σημείο N \in BC ώστε BN=2NC.

Εντοπίζουμε το E \in AN ώστε να είναι \widehat{ABE}=\widehat{CAN}.

Να εξεταστεί αν η EN τριχοτομεί την \widehat{BEC} , δηλ. αν \widehat{NEC}=\dfrac{1}{3}\widehat{BEC}.

Παράκληση: Παραπομπή σε λύση ας καθυστερήσει για εύλογο χρονικό διάστημα.
Σας ευχαριστώ, Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 424
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τριχοτόμηση γωνίας!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Οκτ 20, 2019 5:23 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Οκτ 20, 2019 12:06 am
Καλό βράδυ-Καλημέρα σε όλους! Έχω την αίσθηση ότι το παρακάτω θέμα έχει προβληθεί
αλλά θεωρώ πως θα τραβήξει το ενδιαφέρον και σε αρκετούς -κυρίως νεότερους-που δεν το γνωρίζουν.
19-10 Τριχοτόμηση γωνίας!.PNG
Το τρίγωνο ABC έχει AB=AC. Το σημείο N \in BC ώστε BN=2NC.

Εντοπίζουμε το E \in AN ώστε να είναι \widehat{ABE}=\widehat{CAN}.

Να εξεταστεί αν η EN τριχοτομεί την \widehat{BEC} , δηλ. αν \widehat{NEC}=\dfrac{1}{3}\widehat{BEC}.

Παράκληση: Παραπομπή σε λύση ας καθυστερήσει για εύλογο χρονικό διάστημα.
Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Καλησπέρα!

Έστω K σημείο στην προέκταση της AN ώστε \angle CBM=\angle ABE και M το συμμετρικό του ως προς το  C.Επειδή \angle CBM=\angle ABE=\angle NAC το ABCK είναι εγγράψιμο ,έτσι \angle EKB=\angle AKB =\angle ACB άρα EB=EKKN είναι διχοτόμος της \angle CKB και αφού BN=2NC είναι BK=2KC=KM(θεώρημα διχοτόμου) .Το E ανήκει στην μεσοκάθετο του BM άρα EC=EB=EK και αφού στο ισοσκελές EMK το EC είναι διάμεσος θα είναι και ύψος .
Έχουμε \angle BEK=\angle EBA+\angle BAE=\angle A=180^{\circ}-2\angle B=180^{\circ}-2\angle CKE=2\left ( 90^{\circ}-\angle CKE \right )=..=2\angle NEC δηλαδή EN τριχοτόμος της \angle BEC
150.PNG
150.PNG (34.97 KiB) Προβλήθηκε 366 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6785
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τριχοτόμηση γωνίας!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Οκτ 20, 2019 8:07 pm

Τριχοτόμηση_Μήτσιος_a.png
Τριχοτόμηση_Μήτσιος_a.png (18.9 KiB) Προβλήθηκε 333 φορές

α)Αν N' το συμμετρικό του N ως προς το μέσο O του BC θα είναι \widehat {{x_{}}} = \widehat {{y_{}}} και αν φέρω τη μεσοκάθετο του ABπου τέμνει την AN' στο L θα είναι \widehat {{y_{}}} = \widehat {{z_{}}}.

Αν τώρα η BL τέμνει την AN στο E θα είναι \boxed{\widehat {{x_{}}} = \widehat {{z_{}}}}

β)
Τριχοτόμηση_Μήτσιος oritzin.png
Τριχοτόμηση_Μήτσιος oritzin.png (31.75 KiB) Προβλήθηκε 333 φορές

Γράφω τώρα το κύκλο \left( {E,EB} \right) που η προέκταση της AN τον τέμνει στο T.

Επειδή προφανώς \widehat {{a_1}} = \widehat {BET} = \widehat {BAC} τα ισοσκελή τρίγωνα \vartriangle ABC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle EBT είναι

ισοσγώνια και άρα \widehat {{\theta _3}} = \widehat {{\theta _2}} , έτσι το τετράπλευρο ABTC είναι εγγράψιμο και αφού

AB = AC η CN είναι διχοτόμος στο \vartriangle TBC. Έτσι όμως θα είναι και TB = 2TC = 2k

Αν λοιπόν M το μέσο του BT , τα τρίγωνα \vartriangle EMT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle ECT θα είναι ίσα οπότε :

Η EM διχοτομεί την \widehat {BET} και η ET την \widehat {MEC}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6785
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τριχοτόμηση γωνίας!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Οκτ 21, 2019 10:17 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Οκτ 20, 2019 12:06 am
Καλό βράδυ-Καλημέρα σε όλους! Έχω την αίσθηση ότι το παρακάτω θέμα έχει προβληθεί
αλλά θεωρώ πως θα τραβήξει το ενδιαφέρον και σε αρκετούς -κυρίως νεότερους-που δεν το γνωρίζουν.
19-10 Τριχοτόμηση γωνίας!.PNG
Το τρίγωνο ABC έχει AB=AC. Το σημείο N \in BC ώστε BN=2NC.

Εντοπίζουμε το E \in AN ώστε να είναι \widehat{ABE}=\widehat{CAN}.

Να εξεταστεί αν η EN τριχοτομεί την \widehat{BEC} , δηλ. αν \widehat{NEC}=\dfrac{1}{3}\widehat{BEC}.

Παράκληση: Παραπομπή σε λύση ας καθυστερήσει για εύλογο χρονικό διάστημα.
Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Τριχόμηση  γωνίας  new.png
Τριχόμηση γωνίας new.png (45.75 KiB) Προβλήθηκε 281 φορές
Κάπως εν τάχει .

Έστω N' το συμμετρικό του N ως προς το μέσο O του BC.

Φέρνω κάθετη στο N επί τη BC που τέμνει την AC στο F και τον κύκλο (F,N,C) που τέμνει, ακόμα , την AN στο E .

Γράφω ακόμα τον κύκλο (B,E,N) που τα τέμνει την AB στο D.

Το κέντρο αυτού του κύκλου θα ανήκει στη μεσοκάθετο του BNπου θα είναι αναγκαστικά η DN'.Έτσι DN'// = EN. Το τετράπλευρο N'NFD είναι ορθογώνιο.

\widehat {{\theta _{}}} = \widehat {ACB} = \widehat {ABC} = \widehat {{\omega _{}}} ( από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο DENB)

Άρα και το τετράπλευρο [unparseable or potentially dangerous latex formula] είναι εγγράψιμο και \widehat {{x_{}}} = \widehat {{z_{}}} = \widehat {{y_{}}}

\widehat {{\sigma _{}}} = \widehat {ABC} = 2\left( {\widehat {{x_{}}} + \widehat {{\phi _3}}} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\xi _{}}} = \widehat {{x_{}}} + \widehat {{\phi _1}} = \widehat {{x_{}}} + \widehat {{\phi _2}} = \widehat {{x_{}}} + \widehat {{\phi _3}} . Άρα \boxed{\widehat {{\sigma _{}}} = 2\widehat {{\xi _{}}}}


Παρατήρηση :

Θα μπορούσα αντί να γράψω τον κύκλο (B,E,N) να φέρω από το F παράλληλη στην BC μέχρι να κόψει την AB στο D.

Επειδή AD \cdot AB = AF \cdot AC = AE \cdot AN το τετράπλευρο BNED είναι εγγράψιμο με κέντρο στην DN' .

Έτσι η \widehat {{z_{}}} είναι υπό χορδής κι εφαπτομένης…


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1694
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τριχοτόμηση γωνίας!

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Οκτ 22, 2019 1:03 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Οκτ 20, 2019 12:06 am
Καλό βράδυ-Καλημέρα σε όλους! Έχω την αίσθηση ότι το παρακάτω θέμα έχει προβληθεί
αλλά θεωρώ πως θα τραβήξει το ενδιαφέρον και σε αρκετούς -κυρίως νεότερους-που δεν το γνωρίζουν.
19-10 Τριχοτόμηση γωνίας!.PNG
Το τρίγωνο ABC έχει AB=AC. Το σημείο N \in BC ώστε BN=2NC.

Εντοπίζουμε το E \in AN ώστε να είναι \widehat{ABE}=\widehat{CAN}.

Να εξεταστεί αν η EN τριχοτομεί την \widehat{BEC} , δηλ. αν \widehat{NEC}=\dfrac{1}{3}\widehat{BEC}.

Παράκληση: Παραπομπή σε λύση ας καθυστερήσει για εύλογο χρονικό διάστημα.
Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Είναι \angle BEN= \angle EBA+ \angle BAE= \angle A.Επιπλέον, \angle B+ \dfrac{A}{2} =90^0

Θεωρούμε τον περίκυκλο του \triangle ABC. Λόγω της ισότητας των κόκκινων γωνιών θα είναι ZC//AP

και \dfrac{BE}{EZ}= \dfrac{BN}{NC}=2 \Rightarrow BE=2EZ

Άρα το APCZ είναι ισοσκελές τραπέζιο οπότε ZP=AC=AB \Rightarrow BAZP επίσης ισοσκελές τραπέζιο, συνεπώς AE=EZ .

Με M μέσον του BE θα είναι \triangle ABM= \triangle AEC \Rightarrow  \angle NEC= \angle AMZ

και MA \bot AZ κι επειδή \angle AZB= \angle B \Rightarrow  \angle AMZ= \angle NEC= \dfrac{A}{2}
Τριχοτόμηση γωνίας.png
Τριχοτόμηση γωνίας.png (24.08 KiB) Προβλήθηκε 238 φορές


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1107
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Τριχοτόμηση γωνίας!

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Σάβ Νοέμ 16, 2019 11:04 am

Καλημέρα σε όλους! Να ευχαριστήσω τους Πρόδρομο, Νίκο και Μιχάλη για τις εξαιρετικές λύσεις τους!
Ας δούμε και την ακόλουθη:
Τριχοτόμηση..ΙΙ.PNG
Τριχοτόμηση..ΙΙ.PNG (9.58 KiB) Προβλήθηκε 82 φορές
Αν είναι BF=AE τότε τα τρίγωνα ABF,AEC είναι ίσα και \widehat{AFB}=\widehat{AEC} ενώ \widehat{BEN}=\widehat{BAE}+x=\widehat{BAC}.

Έχουμε \dfrac{\left ( BAN \right )}{\left ( CAN \right )}=\dfrac{BN}{NC}=2=\dfrac{\left ( BEN \right )}{\left ( CEN \right )} \Rightarrow  
\dfrac{\left ( ABE \right )}{\left ( BAF\right )} = \dfrac{\left ( ABE \right )}{\left ( AEC \right )}=2 άρα EF=BF=AE

οπότε y=z=\widehat{BEN}/2=\widehat{BAC}/2 και \widehat{NEC}=z=\widehat{BEN}/2 δηλ. \widehat{NEC}=\dfrac{1}{3} \widehat{BEC}.

Σχόλιο: Είναι \widehat{BEC}=\dfrac{3}{2}\widehat{BAC} άρα η ''τριχοτόμησή'' της δεν είναι κάτι περισσότερο από την διχοτόμηση της \widehat{BAC}.

Έχω την αίσθηση ότι και το θέμα Υπολογισμένη καθετότητα ετοιμάζεται να .. :) .. δραπετεύσει από την <<ειρκτή>> των αναπάντητων ! Φιλικά Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης