Αξεπέραστη διχοτόμηση τμήματος

KARKAR · #1

: Αξεπέραστη διχοτόμηση τμήματος.png (20.28 KiB) Προβλήθηκε 752 φορές

Η διχοτόμος

τριγώνου $\displaystyle ABC$ τέμνει τον περίκυκλό του στο σημείο

. Έστω

το μέσο της

. Ο κύκλος (A,M,S)

τέμνει την προέκταση της

στο σημείο

.

Δείξτε ότι η ευθεία

διέρχεται από το μέσο

του τμήματος

.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Έστω

το σημείο τομής της

με την

.

Από το εγγράψιμο AMST

έχουμε ότι $\widehat{ASC}=\widehat{AMN'}$ ή $\widehat{ABC}=\widehat{AMN'}$ .

Οπότε το ABMN'

είναι εγγράψιμο και συνεπώς $\widehat{MAN'}=\widehat{MBN'}=\widehat{SBC}=\widehat{SAC}$ .

Προκύπτει λοιπόν πως $\widehat{MAS}=\widehat{N'AC}$ .

Όμως εύκολα παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα ABS

και

είναι όμοια, επομένως αφού η

είναι διάμεσος στο ABS

, είναι και η AN'

διάμεσος στο ADC

,

μέσο του

.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 21, 2019 1:45 pm
Αξεπέραστη διχοτόμηση τμήματος.pngΗ διχοτόμος τριγώνου $\displaystyle ABC$ τέμνει τον περίκυκλό του στο σημείο . Έστω

το μέσο της . Ο κύκλος τέμνει την προέκταση της στο σημείο .

Δείξτε ότι η ευθεία διέρχεται από το μέσο του τμήματος .

Έστω

: Αξεπέραστη διχοτόμηση τμήματος.png (20.88 KiB) Προβλήθηκε 709 φορές

Από τα εγγεγραμμένα τετράπλευρα που σχηματίζονται, όλες οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες, καθώς επίσης και οι μπλε. Τα τρίγωνα λοιπόν ABC, AMT

είναι όμοια. Είναι ακόμα $\displaystyle N\widehat AT = B\widehat CS = B\widehat AS = \frac{{\widehat A}}{2}.$ Άρα η

είναι διχοτόμος του τριγώνου AMT,

οπότε $\boxed{\frac{{MN}}{{NT}} = \frac{{AM}}{{AT}} = \frac{c}{b}}$ (1)

$\displaystyle \bullet$ Μενέλαος στο MTS

με διατέμνουσα $\displaystyle \overline {BNC}:$ $\displaystyle \frac{{CT}}{{CS}} \cdot \frac{{SB}}{{BM}} \cdot \frac{{MN}}{{NT}} = 1\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} \frac{{CT}}{{CS}} = \frac{b}{{2c}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{CT}}{{ST}} = \frac{b}{{b + 2c}}}$ (2)

$\displaystyle \bullet$ Μενέλαος στο BSC

με διατέμνουσα $\displaystyle \overline {MNT}:$

$\displaystyle \frac{{CT}}{{ST}} \cdot \frac{{MS}}{{MB}} \cdot \frac{{BN}}{{NC}} = 1\mathop \Rightarrow \limits^{(2)} \frac{b}{{b + 2c}} = \frac{{NC}}{{BN}} = \frac{x}{{a - x}} \Leftrightarrow x = \frac{{ab}}{{2(b + c)}} = \frac{{DC}}{2}$

Άρα το

είναι μέσο του DC.

Αξεπέραστη διχοτόμηση τμήματος

Αξεπέραστη διχοτόμηση τμήματος

Re: Αξεπέραστη διχοτόμηση τμήματος

Re: Αξεπέραστη διχοτόμηση τμήματος

Μέλη σε σύνδεση