Σταθερό σημείο

#1

: Σταθερό σημείο..png (10.47 KiB) Προβλήθηκε 1202 φορές

Δίνεται τρίγωνο $ABC (AB\ne AC).$ Στην ευθεία

θεωρώ τα σημεία M, D

και στην

το σημείο

ώστε

Αν οι

τέμνονται στο

να δείξετε ότι οι KD, CA

τέμνονται σε σταθερό

σημείο (ανεξάρτητο της επιλογής των M, N

).

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

george visvikis έγραψε: Τετ Οκτ 30, 2019 10:02 am Σταθερό σημείο..png
Δίνεται τρίγωνο $ABC (AB\ne AC).$ Στην ευθεία θεωρώ τα σημεία και στην το σημείο ώστε

Αν οι τέμνονται στο να δείξετε ότι οι τέμνονται σε σταθερό

σημείο (ανεξάρτητο της επιλογής των ).

Καλησπέρα!
Έστω MC=NC=x

.Από το θ.Μενελάου στο ABN

διατέμνουσας $\overline{MKC}$ έχουμε
$\dfrac{KB}{KN}\cdot \dfrac{CN}{CA}\cdot \dfrac{MA}{MB}=1\Leftrightarrow \dfrac{KB}{KN}=\dfrac{bx}{(c-x)x}=\dfrac{b}{c-x}$ .
Επίσης είναι $\dfrac{DA}{DB}=\dfrac{c-b}{b}$ .Από το θ.Μενελάου στο ABN

διατέμνουσας $\overline{KDS}$ είναι

$\dfrac{KB}{KN}\cdot \dfrac{SN}{SA}\cdot \dfrac{AD}{BD}=1\Rightarrow \dfrac{b}{c-x}\cdot \dfrac{SA+b-x}{SA}\cdot \dfrac{c-b}{b}=1\Leftrightarrow SA\left ( b-x \right )=bc-b^2-xc+bx=...=(b-x)(c-b)\Leftrightarrow SA=c-b$
Δηλαδή

σταθερό.

KARKAR · #3

Η απάντηση είναι έξοχη , θαρρώ πάντως ότι το θέμα είναι εξαιρετικό

.

Είναι αυτό που λένε θα ζήλευε κάθε θεματοδότης !

Γιώργος Μήτσιος · #4

Καλό βράδυ-Καλημέρα σε όλους! Πριν υποβάλω (σε επόμενη ανάρτηση κι' εφόσον δεν καλυφθεί) μια ακόμη
προσέγγιση-λύση του παρόντος θαυμάσιου θέματος
αν μου επιτρέπει ο συνονόματος εισηγητής να δώσω την ακόλουθη προέκταση

: Σταθερό σημείο G.V.PNG (7.51 KiB) Προβλήθηκε 1090 φορές

Στο σχήμα ισχύουν τα αρχικά δεδομένα. Ας είναι AB>AC

και

η τομή των DK,BC

.

Θεωρούμε τους λόγους $\dfrac{BE}{BC}=\lambda$ και $\dfrac{\left ( DAS \right )}{\left ( BAC \right )}=m$ .

Να εξεταστεί αν οι $\lambda$ και

είναι σταθεροί και επιπλέον αν οι αριθμοί $\lambda -\lambda ^{2}$ και m+4

είναι αντίστροφοι.

Ευχαριστώ τον Γιώργο για την άδεια...Φιλικά Γιώργος.

#5

Η πρόταση κάτι μου θυμίζει από Πάππο. Ίσως. Δεν μπορώ να το προσδιορίσω.

Πάντως σίγουρα η ευθεία

είναι σταθερή και παράλληλη στη διχοτόμο της γωνίας

.

#6

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Τετ Οκτ 30, 2019 11:33 pm Καλό βράδυ-Καλημέρα σε όλους! Πριν υποβάλω (σε επόμενη ανάρτηση κι' εφόσον δεν καλυφθεί) μια ακόμη
προσέγγιση-λύση του παρόντος θαυμάσιου θέματος
αν μου επιτρέπει ο συνονόματος εισηγητής να δώσω την ακόλουθη προέκταση
Σταθερό σημείο G.V.PNG
Στο σχήμα ισχύουν τα αρχικά δεδομένα. Ας είναι και η τομή των .

Θεωρούμε τους λόγους $\dfrac{BE}{BC}=\lambda$ και $\dfrac{\left ( DAS \right )}{\left ( BAC \right )}=m$ .

Να εξεταστεί αν οι $\lambda$ και είναι σταθεροί και επιπλέον αν οι αριθμοί $\lambda -\lambda ^{2}$ και είναι αντίστροφοι.

Ευχαριστώ τον Γιώργο για την άδεια...Φιλικά Γιώργος.

Καλό μεσημέρι σε όλους!

: Σταθερό σημείο.β.png (14.65 KiB) Προβλήθηκε 1042 φορές

Αν

είναι η διχοτόμος του ABC

τότε από την αρχική άσκηση είναι AD=AS,

οπότε

$\displaystyle \frac{{BE}}{{BF}} = \frac{{BD}}{{BA}} = \frac{b}{c} \Leftrightarrow \frac{{BE}}{{\frac{{ac}}{{b + c}}}} = \frac{b}{c} \Leftrightarrow BE = \frac{{ab}}{{b + c}} \Rightarrow \lambda = \frac{{b}}{{{{b + c}}}}$ και $\boxed{\lambda - {\lambda ^2} = \frac{{bc}}{{{{(b + c)}^2}}}}$

Τα τρίγωνα DAS, BAC

έχουν μία γωνία παραπληρωματική:

$\displaystyle \frac{{(DAS)}}{{(BAC)}} = \frac{{D{A^2}}}{{bc}} \Leftrightarrow m = \frac{{{{(b - c)}^2}}}{{bc}} \Leftrightarrow m + 4 = \frac{{{{(b + c)}^2}}}{{bc}} \Rightarrow$ $\boxed{m + 4 = \frac{1}{{\lambda - {\lambda ^2}}}}$

#7

Ας είναι

η τομή των ευθειών $DK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ .

Θέτω $BM = NC = k\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MD = AN = m$ και άρα BD = k + m = AC = b

.

Θ Μενελάου στα τρίγωνα: $AMC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MBC$ με τέμνουσες: $\overline {BKN} \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\overline {DKF}$

$\left\{ \begin{gathered} \frac{{AB}}{{BM}} \cdot \frac{{MK}}{{KC}} \cdot \frac{{CN}}{{NA}} = 1 \hfill \\ \frac{{MD}}{{DB}} \cdot \frac{{BF}}{{FC}} \cdot \frac{{CK}}{{KM}} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{c}{k} \cdot \frac{{MK}}{{KC}} \cdot \frac{k}{m} = 1\,\,\,\,\,\,(1) \hfill \\ \frac{m}{b} \cdot \frac{{BF}}{{FC}} \cdot \frac{{CK}}{{KM}} = 1\,\,(2) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

: Σταθερό σημείο_b.png (26.27 KiB) Προβλήθηκε 1001 φορές

Πολλαπλασιάζω τις $(1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2)$ κατά μέλη κι έχω : $\boxed{\frac{{BF}}{{FC}} = \frac{b}{c}}\,\,\,(3)$

Δηλαδή το

σταθερό σημείο , άρα οι ευθείες : $AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DF$ ως σταθερές

Τέμνονται σε σταθερό σημείο

,

Παρατηρήσεις :

α) Αν φέρω τη διχοτόμο

του $\vartriangle ABC$ , επειδή $\dfrac{{EC}}{{EB}} = \dfrac{b}{c}$ και θέσω :

$BF = x\,\,,\,\,FE = u\,\,,\,\,EC = y$ θα έχω : $\dfrac{x}{{y + u}} = \dfrac{y}{{x + u}} \Leftrightarrow (x - y)(x + y + u) = 0 \Rightarrow \boxed{x = y}$

β) $\dfrac{{BD}}{{BA}} = \dfrac{b}{c}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\dfrac{{BF}}{{BE}} = \dfrac{x}{{x + u}} = \dfrac{y}{{x + u}} = \dfrac{b}{c} \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{BA}} = \dfrac{{BF}}{{BE}} \Rightarrow \boxed{AE//DF}$

γ) Η ευθεία που ενώνει τα μέσα των $BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MN$ είναι παράλληλη στη διχοτόμο

( άρα και στη

) και διέρχεται απ το μέσο του

.

δ) Προφανώς το τρίγωνο ASD

είναι ισοσκελές

Έχει κι άλλα «καλούδια» όπως δείχνει η παρέμβαση του Γιώργου του Μήτσιου

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #8

rek2 έγραψε: Πέμ Οκτ 31, 2019 12:07 am Η πρόταση κάτι μου θυμίζει από Πάππο. Ίσως. Δεν μπορώ να το προσδιορίσω.

Πάντως σίγουρα η ευθεία είναι σταθερή και παράλληλη στη διχοτόμο της γωνίας .

Επίσης να αναφέρουμε ότι το παραπάνω μαζί με γεγονός ότι τα μέσα των BC,MN,AD

είναι συνευθειακά προκύπτουν από το AD=AS

σε συνδυασμό με το παρακάτω γνωστό λήμμα:

Αν σε τετράπλευρο ABCD

είναι

τότε η ευθεία που ενώνει τα μέσα των AB,CD

είναι παράλληλη στην διχοτόμο της γωνίας που σχηματίζουν οι DA,CB

προεκτεινόμενες .

Γιώργος Μήτσιος · #9

Χαιρετώ την κραταιά ομάδα! .Θεωρώ το παραλληλόγραμμο ABHC

και την διχοτόμο

.

: Σταθερό σημείο.. 2 PNG.PNG (11.22 KiB) Προβλήθηκε 978 φορές

Σύμφωνα με την τελευταία πρόταση στο δημοφιλές θέμα : Η εκ του Nagel ..

η

είναι διχοτόμος της $\widehat{BHC}$ άρα σταθερή και $HK\parallel AZ$ .

Αν τέμνει την

στο

και την

στο

, αρκεί να δείξουμε ότι BD=AC

.

Πράγματι έχουμε τις γωνίες $\varphi =\omega$ συνεπώς AS=AD

και

δηλ η

ταυτίζεται με την

που δόθηκε αρχικά.Άρα και το

είναι σταθερό σημείο.Φιλικά , Γιώργος

Σταθερό σημείο

Σταθερό σημείο

Re: Σταθερό σημείο

Re: Σταθερό σημείο

Re: Σταθερό σημείο

Re: Σταθερό σημείο

Re: Σταθερό σημείο

Re: Σταθερό σημείο

Re: Σταθερό σημείο

Re: Σταθερό σημείο

Μέλη σε σύνδεση