Τετράγωνο και εφαπτομένη

#1

: Τετράγωνο και εφαπτομένη.png (11.43 KiB) Προβλήθηκε 498 φορές

Στην προέκταση της πλευράς

τετραγώνου ABCD

πλευράς

θεωρούμε σημείο

Η

τέμνει την

στο

Γράφουμε τον κύκλο διαμέτρου NS.

Να προσδιορίσετε τη θέση του

ώστε η

να εφάπτεται του κύκλου.

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #2

Έστω

Είναι $DP^{2}=a\left ( a+x \right )\Leftrightarrow DP=\sqrt{a\left ( a+x \right )}\,\,(1)$ και $BP^{2}=a\cdot BN\,\,(2)$ .
Ακόμη $\dfrac{BN}{BC}=\dfrac{a}{x}$ και BN+NC=a

, απο τις οποίες προκύπτει $BN=\dfrac{a^{2}}{x+a}\,\,(3)$
Τώρα είναι:
$(2)\overset{(1),\left ( 3 \right )}{\Leftrightarrow }\left ( \sqrt{a\left ( a+x \right )}-a\sqrt{2} \right ) ^{2}=\dfrac{a^{3}}{x+a}\Leftrightarrow a\left ( a+x \right )+2a^{2}-2a\sqrt{2a\left ( a+x \right )}=\dfrac{a^{3}}{x+a}\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow\,\,,, x^{2}+4ax+2a^{2}-2\left ( x+a \right)\sqrt{2a\left ( x+a \right )}=0$
με δεκτή ρίζα την $x=\sqrt{3}a+a$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 03, 2019 7:34 pm
Τετράγωνο και εφαπτομένη.png
Στην προέκταση της πλευράς τετραγώνου πλευράς θεωρούμε σημείο Η τέμνει την στο

Γράφουμε τον κύκλο διαμέτρου Να προσδιορίσετε τη θέση του ώστε η να εφάπτεται του κύκλου.

Ισχύει $\dfrac{DS}{a}= \dfrac{DK}{KB} = \dfrac{a}{BN} \Rightarrow DS . BN=a^2$

Επιπλέον BP^2=BN . a

και

και

$(BP . DP)^2=a^2 . (DS.NB)=a^4 \Rightarrow BP . DP=a^2 \Rightarrow x(x+a \sqrt{2})=a^2 \Rightarrow x= \dfrac{a \sqrt{2}( \sqrt{3}-1) }{2}$

Από την x^2=BN . a

παίρνουμε $BN=a(2- \sqrt{3} )$ κι από την $\dfrac{a}{NB} = \dfrac{y}{a-NB} \Rightarrow ..y=CS=a( \sqrt{3}+1)$

: τετράγωνο και εφαπτομένη.png (14.89 KiB) Προβλήθηκε 418 φορές

#4

Ανάλυση

Έστω λυμένο το πρόβλημα. Αν θέσω NB = y

επειδή

από τα όμοια τρίγωνα , $CSN\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BAN$ θα είναι : $CS = ka\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CN = ky\,\,,\,\,k > 0$ .

Από τις δυνάμεις των $D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$ ως προς τον κύκλο έχω :

$\left\{ \begin{gathered} {\left( {a\sqrt 2 + x} \right)^2} = a\left( {ka + a} \right) = {a^2}\left( {k + 1} \right) \hfill \\ \left( {ay = } \right)\,\,{x^2} = y\left( {ky + y} \right) = {y^2}\left( {k + 1} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και διαιρώντας κατά μέλη προκύπτει :

: Διαγώνιος κι εφαπτομένη.png (24.63 KiB) Προβλήθηκε 373 φορές

$\dfrac{{a\sqrt 2 + x}}{x} = \dfrac{a}{y} = \dfrac{{{a^2}}}{{ay}} = \dfrac{{{a^2}}}{{{x^2}}} \Rightarrow {x^2} + ax\sqrt 2 = {a^2}\,\,(1)\,\,$

Από το Θ συνημίτονου στο BAP

έχω $A{P^2} = {a^2} + {x^2} + ax\sqrt 2 \mathop = \limits^{\left( 1 \right)} 2{a^2}$ . Άρα $\boxed{PA = AC = PC}$

Κατασκευή :

: Διαγώνιος κι εφαπτομένη κατασκευή.png (18.83 KiB) Προβλήθηκε 368 φορές

Ο κύκλος : (A,AC)

τέμνει την ευθεία

στο

. Η μεσοκάθετος στο

και η κάθετος στην

στο

τέμνονται στο κέντρο του κύκλου που ζητάμε,

Altrian · #5

Παρόμοια με του Νίκου,

Η

είναι μεσοκάθετος της

. Αρα εύκολα προκύπτει ότι $\angle FPA=\angle FPC=\phi+\theta\Rightarrow AF=FP$ .
Αλλά λόγω της μεσοκαθέτου $AF=FC\Rightarrow FC=FP$ .
Επίσης έχουμε ότι: $\angle CBD=45=\phi+(\phi+\theta)\Rightarrow 2\phi+\theta=45 [1]$
Τα τρίγωνα CFO,FPO

είναι ίσα (τρεις πλευρές ίσες άρα $2\phi=2\theta\Rightarrow \phi=\theta$ και με βάση την $[1]\Rightarrow \phi=\theta=15$ .

Επομένως $\angle CAS=45-15=30$ και η κατασκευή ολοκληρώνεται γεωμετρικά.

Τετράγωνο και εφαπτομένη

Τετράγωνο και εφαπτομένη

Re: Τετράγωνο και εφαπτομένη

Re: Τετράγωνο και εφαπτομένη

Re: Τετράγωνο και εφαπτομένη

Re: Τετράγωνο και εφαπτομένη

Μέλη σε σύνδεση