Μειούμενη διαφορά

KARKAR · #1

: Μειούμενη διαφορά.png (14.31 KiB) Προβλήθηκε 888 φορές

Το τρίγωνο $\displaystyle ABC$ έχει εμβαδόν

και η

είναι μία διάμεσός του . Επιλέξτε σημείο

της

, ώστε αν : $T\equiv AS\cap BM$ , να προκύψει : (ABT)-(TMCS)=6

.

Altrian · #2

και

. Αρα $(TMCS)+(ATM)=4\Rightarrow (ASC)=4\Rightarrow \dfrac{BC}{SC}=\dfrac{(ABC)}{(ASC)}=\dfrac{20}{4}=5$ .

Επομένως επιλέγουμε το

τέτοιο ώστε $SC=\dfrac{BC}{5}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 04, 2019 8:07 pm
Το τρίγωνο $\displaystyle ABC$ έχει εμβαδόν και η είναι μία διάμεσός του . Επιλέξτε σημείο

της , ώστε αν : $T\equiv AS\cap BM$ , να προκύψει : .

Καλημέρα...., Μια ακόμα λύση με περισσότερε λόγια....

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Σχέση εμβαδών 1.png (27.2 KiB) Προβλήθηκε 821 φορές

Από τις σημειωμένες σχέσεις του σχήματος προκύπτουν εύκολα οι ακόλουθες:

$\displaystyle{ \begin{matrix} E_1+E_2+E_3+E_4=20 \ \ (4) \\\\ E_1-E_2=6 \ \ (5)\\\\E_1+E_3=E_2+E_4 \ \ (6) \end{Bmatrix}}$

Ακόμα είναι:

$\displaystyle{\\ \frac{E_1+E_4}{E_2+E_3}=x \ \ (7)}$

Από τις (5) και (6) προκύπτει:

$\displaystyle{E_4-E_3=6 \ \ (8)}$

Έτσι προσθέτοντας τις (5) και (8) κατά μέλη προκύπτει:

$\displaystyle{(E_1+E_4)-(E_2+E_3)=12 \ \ (9)}$

Έτσι από την (7) και την (9) έχουμε:

$\displaystyle{E_2+E_3=\frac{12}{x-1} \ \ (10)}$

και

$\displaystyle{E_1+E_4=\frac{12x}{x-1} \ \ (11)}$

με $\displaystyle{x\neq 1}$

Τέλος από τις (1),(10) και (11) προκύπτει η εξίσωση:

$\displaystyle{\frac{12}{x-1}+\frac{12x}{x-1}=20}$

η οποία έχει λύση την $\displaystyle{x=4 \neq1}$ δεκτή.

Η λύση αυτή από την (3) σημαίνει ότι:

$\displaystyle{\frac{BS}{SC}=\frac{4}{1} }$

δηλαδή το σημείο $\displaystyle{S}$ χωρίζει το τμήμα $\displaystyle{BC}$ σε μερικό λόγο

$\displaystyle{(BCS)=4}$

άρα προσδιορίζεται γεωμετρικά.

Παρατήρηση:
Από τα ανωτέρω δείχνεται ότι:
"Αν σε ένα τρίγωνο ABC φέρουμε τη διάμεσο BM και την AS, με S σημείο του τμήματος BC,
η οποία τέμνει την ΒΜ στο σημείο Τ τότε:
Αν ισχύει $\displaystyle{(ABT)-(TMCS)= k}$ τότε θα είναι: $\displaystyle{(BST)-(ATM)=k}$

Κώστας Δόρτσιος

#4

: Μειούμενη διαφορά_1.png (23.13 KiB) Προβλήθηκε 777 φορές

Στο δρόμο που χάραξε ο Αλέξανδρος πιο πάνω .

$X = Y + 6 \Leftrightarrow X + Z = \left( {Y + Z} \right) + 6 \Leftrightarrow \left( {ABS} \right) = 16 \Leftrightarrow \boxed{BS = \frac{4}{5}BC}$

Ένα σχόλιο για τον φίλτατο : Θανάση η συνεισφορά των "πρασίνων" είχε ωφέλεια για τους "κόκκινους" και τους "κίτρινους"!!!

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 04, 2019 8:07 pm
Μειούμενη διαφορά.pngΤο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ έχει εμβαδόν και η είναι μία διάμεσός του . Επιλέξτε σημείο

της , ώστε αν : $T\equiv AS\cap BM$ , να προκύψει : .

Αλλιώς..

Έστω AF//MS

.Τότε $\big(CMT\big)= \big(MTA\big)= \big(TFS\big) =X$

$\big(ABT\big) - \big(MTSC\big)=6 \Leftrightarrow \big(BTC\big)- \big(MTSC\big)=6 \Leftrightarrow \big(BTS\big)- \big(MTC\big)=6 \Leftrightarrow\big(BTS\big) - X=6 \Leftrightarrow \big(BFS\big) =6$

Άρα, $2X+ \big(TCS\big) =4 \Rightarrow \big(ASC\big)=4 \Rightarrow \dfrac{(ABC)}{(ASC)}=5 \Rightarrow CS= \dfrac{1}{5}BC$

: Μειούμενη διαφορά.png (35.94 KiB) Προβλήθηκε 757 φορές

KARKAR · #6

: Μειούμενη διαφορά.png (16.08 KiB) Προβλήθηκε 746 φορές

Ένα σχόλιο για τον φίλτατο Doloros

: Το Αγρίνιο είναι "χαμηλά" αλλά δικαιώνει την όμορφη

παρατήρηση του αγαπητού KDORTSI

, περί ίσων διαφορών και δεν υπάρχει "λευκή ομάδα

Μειούμενη διαφορά

Μειούμενη διαφορά

Re: Μειούμενη διαφορά

Re: Μειούμενη διαφορά

Re: Μειούμενη διαφορά

Re: Μειούμενη διαφορά

Re: Μειούμενη διαφορά

Μέλη σε σύνδεση