Μικροδιαφορά

KARKAR · #1

: Μικροδιαφορά.png (9.12 KiB) Προβλήθηκε 613 φορές

Στο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , με c<b

, έχουμε "εγγράψει" τον ρόμβο APST

.

α) Δείξτε ότι ο ρόμβος καταλαμβάνει λιγότερη από το μισή επιφάνεια του τριγώνου.

β) Αν : $(APST)=48\% (ABC)$ , βρείτε το λόγο των πλευρών : $\dfrac{c}{b}$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 05, 2019 7:51 pm
Μικροδιαφορά.pngΣτο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , με , έχουμε "εγγράψει" τον ρόμβο .

α) Δείξτε ότι ο ρόμβος καταλαμβάνει λιγότερη από το μισή επιφάνεια του τριγώνου.

β) Αν : $(APST)=48\% (ABC)$ , βρείτε το λόγο των πλευρών : $\dfrac{c}{b}$

Αν

τότε

και από την ομοιότητα των πράσινων τριγώνων με το μεγάλο έχουμε x:y= PS:TC=ST:SC=c:b

. Ειδικά $x\ne y$ . Επίσης

$\displaystyle{(PBS)+(TSC)= \frac {x^2}{a^2}(ABC)+\dfrac {y^2}{a^2}(ABC)= \dfrac {(x+y)^2+(x-y)^2}{2a^2} (ABC) }$

$\displaystyle{> \dfrac {(x+y)^2}{2a^2} (ABC) = \dfrac {1}{2}(ABC) }$ , από όπου το ζητούμενο.

Αν ακόμη $(APST)=48\% (ABC)$ τότε $\displaystyle{\frac {x^2+y^2}{a^2} = \frac {52}{100}$ . Μαζί με την x+y=a

βρίσκουμε τα x,y

(άμεσο) και άρα το $\displaystyle{\frac {c}{b} =\frac {x}{y}}$ . Εδώ βγαίνει x=2a/5, y=3a/5

, και λοιπά.

Altrian · #3

Καλημέρα,

Η μικροδιαφορά εποπτικά με κόκκινο. (Σημ. το χρώμα δεν είναι τυχαίο).

KARKAR · #4

: Μικροδιαφορά επέκταση.png (6.45 KiB) Προβλήθηκε 518 φορές

Για την απάντηση στα αρχικά ερωτήματα αρκεί ο λόγος $\dfrac{c}{b}$ , που είναι $\dfrac{2}{3}$ όπως εννοεί ο Μιχάλης

με την έκφραση "και λοιπά" . Αν όμως θέλουμε να βρούμε έναν τύπο για την διαφορά αυτή ,

( το κόκκινο εξόγκωμα του Antrian ) , θα χρειασθούμε και την πλευρά

.

Θέτω λοιπόν ένα πρόσθετο ερώτημα : Αν ο ρόμβος έχει εμβαδόν το $48\%$ του τριγώνου

και είναι γνωστή η μικρότερη πλευρά

, ποια είναι η μέγιστη τιμή της διαφοράς ;

Altrian · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 06, 2019 11:43 am
Μικροδιαφορά επέκταση.pngΓια την απάντηση στα αρχικά ερωτήματα αρκεί ο λόγος $\dfrac{c}{b}$ , που είναι $\dfrac{2}{3}$ όπως εννοεί ο Μιχάλης

με την έκφραση "και λοιπά" . Αν όμως θέλουμε να βρούμε έναν τύπο για την διαφορά αυτή ,

( το κόκκινο εξόγκωμα του Antrian ) , θα χρειασθούμε και την πλευρά .

Θέτω λοιπόν ένα πρόσθετο ερώτημα : Αν ο ρόμβος έχει εμβαδόν το $48\%$ του τριγώνου

και είναι γνωστή η μικρότερη πλευρά , ποια είναι η μέγιστη τιμή της διαφοράς ;

Οπως έγραψε και ο κ. Λάμπρου (χρόνια πολλά με την ευκαιρία) έχουμε:

Εστω $(PBS)=E_{1}...(TSC)=E_{2}...(APST)=E_{3}$ .

$\dfrac{E_{1}+E_{2}}{(ABC)}=\dfrac{x^{2}+y^{2}}{(x+y)^{2}}\Rightarrow \dfrac{E_{3}}{(ABC)}=\dfrac{2xy}{(x+y)^{2}}\Rightarrow \dfrac{E_{1}+E_{2}-E_{3}}{(ABC)}=\dfrac{(x-y)^{2}}{(x+y)^{2}}$

Δίνεται επίσης ότι: $\dfrac{(x-y)^{2}}{(x+y)^{2}}=\dfrac{4}{100}\Rightarrow \dfrac{y-x}{y+x}=\dfrac{2}{10}\Rightarrow \dfrac{x}{y}=\dfrac{2}{3}$ .

Επειδή η

είναι διχοτόμος της $\angle A$ έχουμε ότι: $\dfrac{x}{y}=\dfrac{c}{b}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow b=\dfrac{3c}{2}$
δηλαδή σταθερή.
Αρα το (ABC)

μεγιστοποιείται όταν $\angle A=90\Rightarrow (ABC)_{max}=c*b/2=\dfrac{3c^{2}}{4}$

Ετσι η μέγιστη μικροδιαφορά είναι το $\dfrac{4}{100}$ αυτού δηλ. $\dfrac{3c^{2}}{100}$

Μικροδιαφορά

Μικροδιαφορά

Re: Μικροδιαφορά

Re: Μικροδιαφορά

Re: Μικροδιαφορά

Re: Μικροδιαφορά

Μέλη σε σύνδεση