όριο παραγώγου

panagiotis iliopoulos · #1

Έστω κυρτή συνάρτηση

με πεδίο ορισμού R. Αν $\lim_{x\rightarrow +00}f(x)\epsilon \mathbb{R}$
να βρεθεί το όριο $\lim_{x\rightarrow+00 }f'(x)$ .

#2

panagiotis iliopoulos έγραψε: Πέμ Νοέμ 07, 2019 9:27 pm Έστω κυρτή συνάρτηση με πεδίο ορισμού R. Αν $\lim_{x\rightarrow +00}f(x)\epsilon \mathbb{R}$
να βρεθεί το όριο $\lim_{x\rightarrow+00 }f'(x)$ .

...μια αντιμετώπιση νυχτερινή....

Για $x-1<x<x+1,\,\,\,x>0$ σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής στα διαστήματα $[x-1,\,x],\,\,[x,x+1]$ υπάρχουν

${{x}_{1}}\in (x-1,\,x),\,\,{{x}_{2}}\in (x,x+1)$ ώστε $\displaystyle {f}'({{x}_{1}})=\frac{f(x)-f(x-1)}{x-(x-1)},\,\,{f}'({{x}_{2}})=\frac{f(x+1)-f(x)}{x+1-x}$

και τότε θα ισχύει, αφού $x-1<{{x}_{1}}<x<{{x}_{2}}<x+1$ και επειδή η {f}'

είναι γνήσια αύξουσα αφού

κυρτή, ότι

${f}'({{x}_{1}})<{f}'(x)<{f}'({{x}_{2}})$ ή f(x)-f(x-1)<{f}'(x)<f(x+1)-f(x)

και αφού

$\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f(x-1)=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f(x+1)=\ell \in R$

θα είναι $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(f(x)-f(x-1))=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(f(x+1)-f(x))=0$

και σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'(x)=0$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Tolaso J Kos · #3

panagiotis iliopoulos έγραψε: Πέμ Νοέμ 07, 2019 9:27 pm Έστω κυρτή συνάρτηση με πεδίο ορισμού R. Αν $\lim_{x\rightarrow +00}f(x)\epsilon \mathbb{R}$
να βρεθεί το όριο $\lim_{x\rightarrow+00 }f'(x)$ .

Επειδή η

είναι κυρτή η

είναι αύξουσα. Συνεπώς το $\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} f'(x)$ υπάρχει είτε είναι πεπερασμένο είτε άπειρο. Τότε έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \ell &= \lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) \\ &=\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{e^x f(x)}{e^x} \\ &=\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{e^x f(x) + e^x f'(x)}{e^x} \\ &=\lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( f(x) + f'(x) \right ) \end{aligned}}$
Αν το όριο $\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} f'(x)$ ήταν άπειρο τότε η τελευταία σχέση θα έδινε $\mathbb{R} \ni \ell = \infty$ το οποίο είναι άτοπο. Άρα το όριο είναι πεπερασμένο , δηλ. $\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} f'(x) = \kappa \in \mathbb{R}$ . Από τη τελευταία σχέση παίρνουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \ell &= \lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( f(x) + f'(x) \right ) \\ &= \lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) + \lim_{x\rightarrow +\infty} f'(x) \\ &=\ell + \kappa \\ &\implies \kappa =0 \end{aligned}}$
Άρα $0=\kappa = \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} f'(x)$ .

KARKAR · #4

Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η συνάρτηση

της εκφώνησης , είναι γνησίως φθίνουσα ;

Λάμπρος Κατσάπας · #5

KARKAR έγραψε: Παρ Νοέμ 08, 2019 9:54 am Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η συνάρτηση της εκφώνησης , είναι γνησίως φθίνουσα ;

Ναι είναι απλό. Αν η παράγωγος μηδενιστεί κάπου τότε θα υπάρχει διάστημα $(a,+\infty)$ στο οποίο θα είναι

θετική (από τη μονοτονία της) και ας πούμε μεγαλύτερη από m>0.

Τότε

και

παίρνοντας όριο στο $+\infty$ βρίσκουμε $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$ (άτοπο).

Άρα η παράγωγος δεν μηδενίζεται. Ούτε θετική δεν μπορεί να γίνει όπως φαίνεται από το παραπάνω.

Άρα μόνο αρνητική μπορεί να είναι απ'όπου προκύπτει το συμπέρασμα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

panagiotis iliopoulos έγραψε: Πέμ Νοέμ 07, 2019 9:27 pm Έστω κυρτή συνάρτηση με πεδίο ορισμού R. Αν $\lim_{x\rightarrow +00}f(x)\epsilon \mathbb{R}$
να βρεθεί το όριο $\lim_{x\rightarrow+00 }f'(x)$ .

Παναγιώτη απέδειξε το ισχυρότερο.

$\lim_{x\rightarrow+\infty }xf'(x)=0$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

Tolaso J Kos έγραψε: Παρ Νοέμ 08, 2019 8:43 am
panagiotis iliopoulos έγραψε: Πέμ Νοέμ 07, 2019 9:27 pm Έστω κυρτή συνάρτηση με πεδίο ορισμού R. Αν $\lim_{x\rightarrow +00}f(x)\epsilon \mathbb{R}$
να βρεθεί το όριο $\lim_{x\rightarrow+00 }f'(x)$ .
Επειδή η είναι κυρτή η είναι αύξουσα. Συνεπώς το $\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} f'(x)$ υπάρχει είτε είναι πεπερασμένο είτε άπειρο. Τότε έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \ell &= \lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) \\ &=\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{e^x f(x)}{e^x} \\ &=\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{e^x f(x) + e^x f'(x)}{e^x} \\ &=\lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( f(x) + f'(x) \right ) \end{aligned}}$
Αν το όριο $\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} f'(x)$ ήταν άπειρο τότε η τελευταία σχέση θα έδινε $\mathbb{R} \ni \ell = \infty$ το οποίο είναι άτοπο. Άρα το όριο είναι πεπερασμένο , δηλ. $\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} f'(x) = \kappa \in \mathbb{R}$ . Από τη τελευταία σχέση παίρνουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \ell &= \lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( f(x) + f'(x) \right ) \\ &= \lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) + \lim_{x\rightarrow +\infty} f'(x) \\ &=\ell + \kappa \\ &\implies \kappa =0 \end{aligned}}$
Άρα $0=\kappa = \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} f'(x)$ .

Τόλη υπάρχει πρόβλημα στο εξής:
$\displaystyle{\begin{aligned} \ell &= \lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) \\ &=\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{e^x f(x)}{e^x} \\ &=\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{e^x f(x) + e^x f'(x)}{e^x} \\ &=\lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( f(x) + f'(x) \right ) \end{aligned}}$ Για σχολικά αλλά και κανονικά Μαθηματικά δεν ισχύει ότι

Αν

$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=l$

και πληρούνται οι προυποθέσεις του DHL
είναι

$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=l$

Ισχύει αν ξέρουμε ότι το όριο του πηλίκου των παραγώγων υπάρχει.

Στην συγκεκριμένη περίπτωση δεν ξέρουμε αν υπάρχει.

Συμπλήρωμα.Ακυρο Τόλη.Εχεις πει προηγουμένως ότι το όριο της παραγώγου υπάρχει.
Βέβαια αυτό είναι εκτός σχολικής ύλης.
Σε περίπτωση που είμαστε εκτός σχολικής ύλης είναι σχεδόν τετριμένο με ακολουθίες το εξής:
Αν
$\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=l\in \mathbb{R}$
και
$\lim_{x\rightarrow \infty }f'(x)=c$
τότε c=0

χωρίς να χρειάζονται για την

άλλες προυποθέσεις.

#8

Για την παρατήρηση του Σταύρου

Με ΘΜΤ στο $\displaystyle{[x,2x]}$ έχουμε $\displaystyle{f(2x)-f(x)=xf'(u), x<u<2x \Rightarrow f(2x)-f(x)>xf'(x)}$ όμοια

$\displaystyle{f(x)-f(x/2)=x/2f'(v),x/2<v<x \Rightarrow 2(f(x)-f(x/2))=xf'(v)<xf'(x)}$

όμως $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}f(x)=a\in R}$ και $\displaystyle{x/2,2x}$ είναι θετικές μεταβλητές που τείνουν στο + άπειρο

άρα από το Κρ.Παρ έχουμε το ζητούμενο

#9

Μορφή $\displaystyle{«a/+\infty}$ » γενικότερη της « $\displaystyle{+\infty/+\infty}$ »
$\displaystyle{ f, g }$ ορίζονται τουλάχιστον σε σύνολο μορφής $\displaystyle{(a,x_0)}$ , $\displaystyle{(x_0,b)}$ , $\displaystyle{(a,x_0)\cup (x_0,b)}$ .
$\displaystyle{\lim_{x\to x_0}|g'(x)|=+\infty}$
$\displaystyle{g}$ είναι γνήσια μονότονη δεξιά και αριστερά του $\displaystyle{x_0}$ , όταν αυτό έχει νόημα.
$\displaystyle{ f, g}$ παραγωγίσιμες στο αντίστοιχο σύνολο.
υπάρχει περιοχή του $\displaystyle{x_0:g'(x)\ne 0}$ σε περιοχή του $\displaystyle{x_0}$ , εκτός ίσως του $\displaystyle{x_0}$
$\displaystyle{\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=l}$
Απ’ όλα τα παραπάνω: .
$\displaystyle{\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=l}$
το θεώρημα αυτό βοηθά να απαντήσουμε σωστά στο προτελευταίο post

panagiotis iliopoulos · #10

Έχουμε $\lim_{x\rightarrow +00}f(x)=a\Rightarrow \lim_{x\rightarrow +00}\frac{xf(x)}{x}=a\Rightarrow \lim_{x\rightarrow +00}(xf'(x)+f(x))=a$ .
Θέτω $K(x)=xf'(x)+f(x), \lim_{x\rightarrow +00}K(x)=a$ και αφού $xf'(x)=K(x)-f(x)\Rightarrow \lim_{x\rightarrow +00}xf'(x)=a-a=0$ .

panagiotis iliopoulos · #11

Βέβαια, ο τρόπος μου 'μπάζει' λίγο διότι δεν εξετάζω την περίπτωση που το όριο της συνάρτησης είναι μηδέν.

Λάμπρος Κατσάπας · #12

panagiotis iliopoulos έγραψε: Κυρ Νοέμ 10, 2019 2:43 pm Βέβαια, ο τρόπος μου 'μπάζει' λίγο διότι δεν εξετάζω την περίπτωση που το όριο της συνάρτησης είναι μηδέν.

Aυτό διορθώνεται. Κούνα λίγο τη συναρτησή πάνω ή κάτω. Η παράγωγος της κουνημένης είναι ίδια με της αρχικής και μπορείς να ξανακάνεις τα ίδία. Το πρόβλημα είναι αλλού όμως. Προσπάθησε να το βρεις.

panagiotis iliopoulos · #13

Δεν καταλαβαίνω που είναι το λάθος. Αφού ο αριθμητής τείνει στο συν πλην άπειρο(ανάλογα με το πρόσημο του α) και ο παρονομαστής τείνει στο συν άπειρο μπορώ να εφαρμόσω ντε λοπιτάλ αφού γνωρίζω την παραγωγισιμότητα της f(αφού f κυρτή).

Λάμπρος Κατσάπας · #14

panagiotis iliopoulos έγραψε: Κυρ Νοέμ 10, 2019 6:51 pm Δεν καταλαβαίνω που είναι το λάθος. Αφού ο αριθμητής τείνει στο συν πλην άπειρο(ανάλογα με το πρόσημο του α) και ο παρονομαστής τείνει στο συν άπειρο μπορώ να εφαρμόσω ντε λοπιτάλ αφού γνωρίζω την παραγωγισιμότητα της f(αφού f κυρτή).

Ας παρακάμψουμε για την ώρα την περίπτωση a=0.

Ο DLH λέει ότι αν το

$\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{xf(x)}{x}$ είναι της μορφής $\dfrac{\infty }{\infty }$ (εδώ είναι)

ΚΑΙ υπάρχει (πεπερασμένο ή άπειρο) το $\lim_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{{(xf(x))}'}{{(x)}'}= \lim_{x\rightarrow +\infty }\left (x{f}'(x)+f(x) \right )$

τότε υπάρχει και το $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{xf(x)}{x}$ και είναι ίσο με το $\ \lim_{x\rightarrow +\infty }\left (x{f}'(x)+f(x) \right )$ .

Βλέπεις τώρα το λάθος;

panagiotis iliopoulos · #15

Δηλαδή εσείς ισχυρίζεστε ότι δεν γνωρίζω την ύπαρξη του $\lim_{x\rightarrow +00}(xf'(x)+f(x))$ , άρα δεν μπορώ να εφαρμόσω ντε λοπιτάλ?
Σας παρακαλώ αν έχετε υπόψιν σας κάποια άλλη λύση να την γράψετε.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #16

panagiotis iliopoulos έγραψε: Κυρ Νοέμ 10, 2019 7:25 pm Δηλαδή εσείς ισχυρίζεστε ότι δεν γνωρίζω την ύπαρξη του $\lim_{x\rightarrow +00}(xf'(x)+f(x))$ , άρα δεν μπορώ να εφαρμόσω ντε λοπιτάλ?
Σας παρακαλώ αν έχετε υπόψιν σας κάποια άλλη λύση να την γράψετε.

Παναγιώτη ο DHL έχει παγίδες.
Πάρε
$f(x)=x^{2}\sin \frac{1}{x},x\neq 0,f(0)=0$
g(x)=x

Το
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{g(x)}=0$
ενώ το
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$
δεν υπάρχει .

Λύση στο ερώτημα έχει δώσει παραπάνω ο R BORIS
η οποία είναι και η ενδεδειγμένη.

Λάμπρος Κατσάπας · #17

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Παρ Νοέμ 08, 2019 10:13 am
Παναγιώτη απέδειξε το ισχυρότερο.

$\lim_{x\rightarrow+\infty }xf'(x)=0$

Ας το ολοκληρώσουμε δείχνοντας ότι για κάθε $\varepsilon >0$ το $\lim_{x\rightarrow+\infty }x^{1+\varepsilon }f'(x)=0$ ενδεχομένως να μην ισχύει.

Λάμπρος Κατσάπας · #18

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: Δευ Νοέμ 11, 2019 3:48 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Παρ Νοέμ 08, 2019 10:13 am
Παναγιώτη απέδειξε το ισχυρότερο.

$\lim_{x\rightarrow+\infty }xf'(x)=0$
Ας το ολοκληρώσουμε δείχνοντας ότι για κάθε $\varepsilon >0$ το $\lim_{x\rightarrow+\infty }x^{1+\varepsilon }f'(x)=0$ ενδεχομένως να μην ισχύει.

Επαναφορά. Ξεχάστηκε...

όριο παραγώγου

όριο παραγώγου

Re: όριο παραγώγου

Re: όριο παραγώγου

Re: όριο παραγώγου

Re: όριο παραγώγου

Re: όριο παραγώγου

Re: όριο παραγώγου

Re: όριο παραγώγου

Re: όριο παραγώγου

Re: όριο παραγώγου

Re: όριο παραγώγου

Re: όριο παραγώγου

Re: όριο παραγώγου

Re: όριο παραγώγου

Re: όριο παραγώγου

Re: όριο παραγώγου

Re: όριο παραγώγου

Re: όριο παραγώγου

Μέλη σε σύνδεση