Παραγωγος ολοκληρωματος

Nikos127 · #1

Έστω $f(x) = \int_0^{\infty}t^xe^{-t}dt$ να βρεθεί η

Tolaso J Kos · #2

Nikos127 έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 18, 2019 4:50 pm
Έστω $f(x) = \int_0^{\infty}t^xe^{-t}dt$ να βρεθεί η

Εύκολο δεν είναι; Είναι:

$\displaystyle{\begin{aligned} \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} f(x) &= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( \int_{0}^{\infty} t^xe^{-t} \; \mathrm{d}t \right ) \\ &= \int_{0}^{\infty}\frac{\partial }{\partial x} t^{x} e^{-t} \, \mathrm{d}t\\ &= \int_{0}^{\infty} t^x \ln t \; e^{-t} \, \mathrm{d}t \end{aligned}}$
Ας σημειώσω ότι ουσιαστικά πρόκειται για τη παράγωγο της $\Gamma$ συνάρτησης.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 18, 2019 4:56 pm

Nikos127 έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 18, 2019 4:50 pm
Έστω $f(x) = \int_0^{\infty}t^xe^{-t}dt$ να βρεθεί η
Εύκολο δεν είναι; Είναι:

$\displaystyle{\begin{aligned} \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} f(x) &= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( \int_{0}^{\infty} t^xe^{-t} \; \mathrm{d}t \right ) \\ &= \int_{0}^{\infty}\frac{\partial }{\partial x} t^{x} e^{-t} \, \mathrm{d}t\\ &= \int_{0}^{\infty} t^x \ln t \; e^{-t} \, \mathrm{d}t \end{aligned}}$
Ας σημειώσω ότι ουσιαστικά πρόκειται για τη παράγωγο της $\Gamma$ συνάρτησης.

Εντάξει είναι άλλα θέλει δικαιολόγηση το ότι μπορούμε να αλλάξουμε την παράγωγο με το ολοκλήρωμα.

stranger · #4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 18, 2019 7:28 pm

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 18, 2019 4:56 pm

Nikos127 έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 18, 2019 4:50 pm
Έστω $f(x) = \int_0^{\infty}t^xe^{-t}dt$ να βρεθεί η
Εύκολο δεν είναι; Είναι:

$\displaystyle{\begin{aligned} \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} f(x) &= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( \int_{0}^{\infty} t^xe^{-t} \; \mathrm{d}t \right ) \\ &= \int_{0}^{\infty}\frac{\partial }{\partial x} t^{x} e^{-t} \, \mathrm{d}t\\ &= \int_{0}^{\infty} t^x \ln t \; e^{-t} \, \mathrm{d}t \end{aligned}}$
Ας σημειώσω ότι ουσιαστικά πρόκειται για τη παράγωγο της $\Gamma$ συνάρτησης.
Εντάξει είναι άλλα θέλει δικαιολόγηση το ότι μπορούμε να αλλάξουμε την παράγωγο με το ολοκλήρωμα.

Το ότι η συνάρτηση προς ολοκλήρωση είναι $C^{\infty}((-1,\infty) \times (0,\infty))$ δεν φτάνει;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

stranger έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 10, 2023 12:54 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 18, 2019 7:28 pm

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 18, 2019 4:56 pm

Nikos127 έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 18, 2019 4:50 pm
Έστω $f(x) = \int_0^{\infty}t^xe^{-t}dt$ να βρεθεί η
Εύκολο δεν είναι; Είναι:

$\displaystyle{\begin{aligned} \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} f(x) &= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( \int_{0}^{\infty} t^xe^{-t} \; \mathrm{d}t \right ) \\ &= \int_{0}^{\infty}\frac{\partial }{\partial x} t^{x} e^{-t} \, \mathrm{d}t\\ &= \int_{0}^{\infty} t^x \ln t \; e^{-t} \, \mathrm{d}t \end{aligned}}$
Ας σημειώσω ότι ουσιαστικά πρόκειται για τη παράγωγο της $\Gamma$ συνάρτησης.
Εντάξει είναι άλλα θέλει δικαιολόγηση το ότι μπορούμε να αλλάξουμε την παράγωγο με το ολοκλήρωμα.
Το ότι η συνάρτηση προς ολοκλήρωση είναι $C^{\infty}((-1,\infty) \times (0,\infty))$ δεν φτάνει;

Γιατί να φτάνει;
Το έχεις δει κάπου.Εγω πάντως δεν το έχω δει.Αυτό δεν σημαίνει ότι δεν υπάρχει.

Παραγωγος ολοκληρωματος

Παραγωγος ολοκληρωματος

Re: Παραγωγος ολοκληρωματος

Re: Παραγωγος ολοκληρωματος

Re: Παραγωγος ολοκληρωματος

Re: Παραγωγος ολοκληρωματος

Μέλη σε σύνδεση