Κυκλικά όρια

Al.Koutsouridis · #1

Έστω

κύκλος με κέντρο το σημείο $\displaystyle P\left (t, \sin t \right )$ που κινείται στην καμπύλη $y=\sin x$ στο καρτεσιανό επίπεδο ( $0< t < \pi$ ) και εφάπτεται του άξονα των

. Έστω

το σημείο στο οποίο ο κύκλος

τέμνει τον άξονα

και

το ευθύγραμμο τμήμα

. Αν $\displaystyle \lim_{t \to 0^+} \dfrac{OQ}{OR} = a+b\sqrt{2}$ , να βρείτε την τιμή του αθροίσματος a+b

. (Οπου

η αρχή των αξόνων και a,b

ακέραιοι.)

: korea_2020_24.png (42.57 KiB) Προβλήθηκε 1401 φορές

Θέμα 24 των φετινών (2020) εισαγωγικών εξετάσεων της Κορέας, για την ομάδα τύπου Β (κατεύθυνσης).

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 21, 2019 12:06 am
Έστω κύκλος με κέντρο το σημείο $\displaystyle P\left (t, \sin t \right )$ που κινείται στην καμπύλη $y=\sin x$ στο καρτεσιανό επίπεδο ( $0< t < \pi$ ) και εφάπτεται του άξονα των . Έστω το σημείο στο οποίο ο κύκλος τέμνει τον άξονα και το ευθύγραμμο τμήμα . Αν $\displaystyle \lim_{t \to 0^+} \dfrac{OQ}{OR} = a+b\sqrt{2}$ , να βρείτε την τιμή του αθροίσματος . (Οπου η αρχή των αξόνων και ακέραιοι.)

Ευκολάκι για Κορέα:

$\displaystyle{\lim_{t \to 0^+} \dfrac{OQ}{OR} = \lim_{t \to 0^+} \dfrac{OQ}{OP-PR} = \lim_{t \to 0^+} \dfrac{OQ}{OP-PQ} = \lim_{t \to 0^+} \dfrac{t}{\sqrt {t^2+\sin ^2 t}-\sin t}= }$

$\displaystyle{= \lim_{t \to 0^+} \dfrac{1}{\sqrt {1 +\dfrac {\sin ^2 t}{t^2}}- \dfrac {\sin t}{t}}= \dfrac{1}{\sqrt {1 +1}- 1}= \sqrt 2 + 1}$ , και λοιπά.

Al.Koutsouridis · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 21, 2019 12:25 am

Ευκολάκι για Κορέα:

$\displaystyle{\lim_{t \to 0^+} \dfrac{OQ}{OR} = \lim_{t \to 0^+} \dfrac{OQ}{OP-PR} = \lim_{t \to 0^+} \dfrac{OQ}{OP-PQ} = \lim_{t \to 0^+} \dfrac{t}{\sqrt {t^2+\sin ^2 t}-\sin t}= }$

$\displaystyle{= \lim_{t \to 0^+} \dfrac{1}{\sqrt {1 +\dfrac {\sin ^2 t}{t^2}}- \dfrac {\sin t}{t}}= \dfrac{1}{\sqrt {1 +1}- 1}= \sqrt 2 + 1}$ , και λοιπά.

Να δούμε και τα σχετικά εύκολα...

. Αν και στα χρονικά πλαίσια που πρέπει να λυθεί δυσκολεύει.

#4

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 21, 2019 10:32 am
Να δούμε και τα σχετικά εύκολα... . Αν και στα χρονικά πλαίσια που πρέπει να λυθεί δυσκολεύει.

Ως ερώτηση είναι πάρα πολύ ωραία.

Δεν αμφιβάλλω ότι αν έμπαινε στις δικές μας Πανελλαδικές θα ήταν ... σφαγή. Την είπα "ευκολάκι" για τα εκεί δεδομένα. Είμαι βέβαιος
ότι ο μέσος υποψήφιος εκεί θα την διαχειριζόταν με ευχέρεια. Σε ένα καλό διαγώνισμα πρέπει να υπάρχουν και τέτοιες ερωτήσεις, δηλαδή προσιτές αλλά πρωτότυπες.

Κυκλικά όρια

Κυκλικά όρια

Re: Κυκλικά όρια

Re: Κυκλικά όρια

Re: Κυκλικά όρια

Μέλη σε σύνδεση