Ημικύκλιο κι ευθεία

[Doloros]

Ημικύκλιο κι ευθεία.png (8.24 KiB) Προβλήθηκε 245 φορές

Δίδεται ημικύκλιο διαμέτρου . Από το διέρχεται ευθεία, ,

που σχηματίζει οξεία γωνία με τη αλλά δεν τέμνει το ημικύκλιο.

Σημείο κινείται στο ημικύκλιο . Η από το παράλληλη στην τέμνει την ευθεία στο . Να βρεθεί η μέγιστη απόσταση

[vittasko]

Με τα θερμά μου χαιρετίσματα στους συνεβδομηντάρηδες αγαπητούς μου φίλους Νίκο Φραγκάκη και Κώστα Δόρτσιο.

Έστω το μέσον του δοσμένου ημικυκλίου και έστω το σημείο .

To είναι παραλληλόγραμμο, λόγω και και άρα ισχύει .

Έτσι, ζητείται ισοδύναμα, η μεγιστοποίηση του .

Έστω , η προβολή του σημείου επί της και από το ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο έχουμε

Από προκύπτει ότι το μεγιστοποιείται όταν γίνεται μέγιστο το , το οποίο επιτυγχάνεται όταν το ταυτίζεται με το μέσον του τόξου (τεταρτοκυκλίου) του δοσμένου ημικυκλίου.

Κώστας Βήττας.

[KARKAR]

Κρίμα.png (7.24 KiB) Προβλήθηκε 211 φορές

Κρίμα να πάει χαμένη αυτή η ανακάλυψη , σκέφθηκε ο Νίκος .

Διότι αφού : , είναι : .

[Doloros]

Κρίμα.pngΚρίμα να πάει χαμένη αυτή η ανακάλυψη , σκέφθηκε ο Νίκος .

Διότι αφού : , είναι : .

Ακριβώς κι αν την ευθεία την περνούσα αντι του απο την αρχή των αξόνων θα είχαμε τη δική σου άσκηση που απαιτείς μια μόνο λύση από καθένα.

Έχω όμως και άλλη, εκτός του Κώστα, γεωμετρική λύση

[Altrian]

Καλησπέρα,

Ευκολα προκύπτει ότι το τμήμα μεγιστοποιείται όταν το είναι το σημείο που η παράλληλη της ευθείας εφάπτεται στον κύκλο.
Αυτό ισχύει για κάθε γωνία ευθείας και διαμέτρου. Τώρα για την 45 έχουμε: .