Της Κορέας

Al.Koutsouridis · #1

Για θετικό πραγματικό αριθμό $\displaystyle t$ , έστω $\displaystyle f(t)$ η τιμή του πραγματικού αριθμού $\displaystyle a$ τέτοια, ώστε η καμπύλη $y=t^3 \ln \left ( x-t \right )$ να τέμνει την καμπύλη $\displaystyle y=2e^{x-a}$ σε ακριβώς ένα σημείο. Να βρείτε την τιμή $\displaystyle \{ f^{\prime} \left ( \dfrac{1}{3}\right ) \}^2$ .

Θέμα 30 των φετινών (2020) εισαγωγικών εξετάσεων της Κορέας, για την ομάδα τύπου Β (κατεύθυνσης).

#2

Επειδή η μία συνάρτηση είναι κοίλη και η άλλη κυρτή, το να έχουν ένα μόνο κοινό σημείο σημαίνει ότι, για κάθε t>0

, εφάπτονται αλλήλων, έστω σε σημείο (x_0(t), y_0(t))

. Στο

λοιπόν οφείλουν να είναι ίσες και οι συναρτήσεις και οι (ως προς

) παράγωγοι τους, οπότε ισχύουν οι

$t^3ln(x_0(t)-t)=2e^{x_0(t)-f(t)}$ και $\dfrac{t^3}{x_0(t)-t}=2e^{x_0(t)-f(t)}.$

Διαιρώντας κατά μέλη λαμβάνουμε (x_0(t)-t)ln(x_0(t)-t)=1

, και παραγωγίζοντας ... ως προς

... καταλήγουμε στην (x'_0(t)-1)(ln(x_0(t)-t)+1)=0

, που δίνει είτε άμεσα είτε έμμεσα x'_0(t)=1

, καθώς από την ln(x_0(t)-t)+1=0

λαμβάνουμε x_0(t)-t=-1/e

και

.

Επιστρέφοντας τώρα στην πρώτη εξίσωση και λογαριθμίζοντας λαμβάνουμε 3lnt+lnln(x_0(t)-t)=ln2+x_0(t)-f(t)

, και παραγωγίζοντας λαμβάνουμε $\dfrac{3}{t}+\dfrac{x'_0(t)-1}{(x_0(t)-t)ln(x_0(t)-1)}=x'_0(t)-f'(t)$ και $\dfrac{3}{t}=1-f'(t)$ , οπότε (f'(1/3))^2=64

.

#3

Τα παραπάνω μπορούν -- και ίσως πρέπει -- να επαληθευθούν! Από την x'_0(t)=1

λαμβάνουμε x_0(t)=t+c_1

, οπότε η

δίνει

και $c_1\approx1,763$ . Επίσης από την $f'(t)=1-\dfrac{3}{t}$ λαμβάνουμε f(t)=t-3lnt+c_2

, οπότε οι εξισώσεις κοινής εφαπτομένης μας οδηγούν στην $c_2=ln(2c_1e^{c_1})\approx3,023$ . Καταλήγουμε δηλαδή στο συμπέρασμα ότι, για κάθε t>0

(αλλά τελικά και για κάθε $t\neq0$ ), οι συναρτήσεις t^3ln(x-t)

και $2e^{x-f(t)}\approx 2t^3e^{x-t-3,023}$ εφάπτονται αλλήλων σε σημείο με τετμημένη $x_0(t)\approx t+1,763$ .

Στο συνημμένο δίνονται παραδείγματα για $t=-1, t=\dfrac{1}{2}, t=1, t=2.$

Της Κορέας

Της Κορέας

Re: Της Κορέας

Re: Της Κορέας

Μέλη σε σύνδεση