Κατασκευή, λόγος και γωνίες
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13235
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Κατασκευή, λόγος και γωνίες
το συμμετρικό του ως προς Αν α) να κατασκευάσετε το σχήμα και να υπολογίσετε το λόγο
β) Να δείξετε ότι
Λέξεις Κλειδιά:
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Κατασκευή, λόγος και γωνίες
Όμορφη! Απολογούμαι για την έλλειψη σχήματος, αλλά έχω κάποια προβλήματα με το GeoGebra ...george visvikis έγραψε: ↑Σάβ Νοέμ 30, 2019 8:03 pmΔίνεται ημικύκλιο διαμέτρου και ένα σημείο του Έστω η προβολή του στη διάμετρο, το μέσο του και
το συμμετρικό του ως προς Αν α) να κατασκευάσετε το σχήμα και να υπολογίσετε το λόγο
β) Να δείξετε ότι
α) Έστω, το συμμετρικό του ως προς το .
Τότε, είναι προφανές ότι το είναι παραλληλόγραμμο, αφού οι διαγώνιες διχοτομούνται.
Ακόμη, είναι , άρα , άρα , συνεπώς το είναι τραπέζιο, και αφού , είναι και ισοσκελές.
Άρα, (1).
Ακόμη, έχω , και ακόμη , άρα το είναι ορθόκεντρο του .
Οπότε, , άρα .
Άρα, . Οπότε, , συνεπώς τώρα η κατασκευή του σχήματος είναι απλή :
Κατασκευή :
Στο ημικύκλιο διαμέτρου , παίρνω σημείο ώστε , υψώνω κάθετη στο , και στο σημείο που τέμνει το ημικύκλιο έχω το σημείο .
Είναι, .
β) Άμεσο πλέον, καθώς από το ισοσκελές τραπέζιο και το παραλληλόγραμμο που έχουν σχηματιστεί έχω :
.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Κατασκευή, λόγος και γωνίες
Ας τη δούμε και αλλιώς ...george visvikis έγραψε: ↑Σάβ Νοέμ 30, 2019 8:03 pmΔίνεται ημικύκλιο διαμέτρου και ένα σημείο του Έστω η προβολή του στη διάμετρο, το μέσο του και
το συμμετρικό του ως προς Αν α) να κατασκευάσετε το σχήμα και να υπολογίσετε το λόγο
β) Να δείξετε ότι
Έστω, , με .
Τότε, είναι , , και τα τρίγωνα είναι ορθογώνια, άρα είναι ίσα.
Οπότε, .
Συνεπώς, τα είναι ορθογώνια και , άρα είναι ίσα, συνεπώς και , που είναι το β) ερώτημα της άσκησης.
Ακόμη, , άρα .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Re: Κατασκευή, λόγος και γωνίες
Κατασκευή και απόδειξη :
Θεωρώ σημείο στη με θέτω το , άρα .
Αν η προβολή του στη , επειδή τα ορθογώνια τρίγωνα
είναι ίσα θα είναι και αφού το είναι το βαρύκεντρο του
με μέσο του η είναι διάμεσος του πιο πάνω τριγώνου και
Τα ορθογώνια τρίγωνα έχουν :
Άρα θα είναι ίσα και θα έχουν:
α)
β) και
γ)
Επί της ουσίας έχω, απ ότι διαπιστώνω, την ίδια λύση με τη δεύτερη του Ορέστη .
Λόγω σχήματος την αφήνω.
Θεωρώ σημείο στη με θέτω το , άρα .
Αν η προβολή του στη , επειδή τα ορθογώνια τρίγωνα
είναι ίσα θα είναι και αφού το είναι το βαρύκεντρο του
με μέσο του η είναι διάμεσος του πιο πάνω τριγώνου και
Τα ορθογώνια τρίγωνα έχουν :
Άρα θα είναι ίσα και θα έχουν:
α)
β) και
γ)
Επί της ουσίας έχω, απ ότι διαπιστώνω, την ίδια λύση με τη δεύτερη του Ορέστη .
Λόγω σχήματος την αφήνω.
Re: Κατασκευή, λόγος και γωνίες
Ανάλυση :
Έστω ότι έγινε η κατασκευή
Αν το συμμετρικό του ως προς το , το τετράπλευρο ε’ιναι παραλληλόγραμμο .
Τώρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές με ύψος διάμεσο και διχοτόμο προς τη βάση το .
Θέτω: και θα έχω:
τα υπόλοιπα απλά
Έστω ότι έγινε η κατασκευή
Αν το συμμετρικό του ως προς το , το τετράπλευρο ε’ιναι παραλληλόγραμμο .
Τώρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές με ύψος διάμεσο και διχοτόμο προς τη βάση το .
Θέτω: και θα έχω:
τα υπόλοιπα απλά
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες