Υπολογισμένη καθετότητα

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλό βράδυ-Καλημέρα σε όλους. Το παρόν θέμα έχει την ίδια αφετηρία με αυτό
αλλά στην συνέχεια πήρε την ακόλουθη διαδρομή:

: Υπολογισμένη καθετότητα.PNG (14.36 KiB) Προβλήθηκε 545 φορές

Το τρίγωνο ABC

έχει $\widehat{B}=\widehat{C}=54^{0}$ και $BC=\Phi +3$ όπου $\Phi$ ο χρυσός αριθμός.

Το $N \in BC$ με NC=1

και το $E \in AN$ ώστε $\widehat{ABE}=\widehat{CAN}$ .

Να εξεταστεί αν οι

και

είναι κάθετες μεταξύ τους. Σας ευχαριστώ , Γιώργος.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 21, 2019 12:12 am
Καλό βράδυ-Καλημέρα σε όλους. Το παρόν θέμα έχει την ίδια αφετηρία με αυτό
αλλά στην συνέχεια πήρε την ακόλουθη διαδρομή:
Υπολογισμένη καθετότητα.PNG
Το τρίγωνο έχει $\widehat{B}=\widehat{C}=54^{0}$ και $BC=\Phi +3$ όπου $\Phi$ ο χρυσός αριθμός.

Το $N \in BC$ με και το $E \in AN$ ώστε $\widehat{ABE}=\widehat{CAN}$ .

Να εξεταστεί αν οι και είναι κάθετες μεταξύ τους. Σας ευχαριστώ , Γιώργος.

Καλημέρα!

: 172.PNG (34.35 KiB) Προβλήθηκε 321 φορές

Βασισμένη σε λύση που υπάρχει στον σύνδεσμο:

Έστω

σημείο του

ώστε

,τα τρίγωνα ABF,AEC

είναι ίσα . $\dfrac{\left ( ABN \right )}{\left (ANC \right )}=\dfrac{\left ( BEBN \right )}{\left ( NEC \right )}=\varphi +2$
άρα θα είναι $\dfrac{\left ( BAE \right )}{\left ( NAE \right )}=\dfrac{\left ( BAE \right )}{\left ( AFB \right )}=\varphi +2$
Αν AE=k

τότε $BE=k(\varphi +2)$ και $FE=k(\varphi +1)$ . $\angle BEN=\angle EBA+\angle BAE=\angle A=72^{\circ}$ δηλαδή αρκεί $\angle NEC=\angle EFA =18^{\circ}$
Από νόμο ημιτόνων στο AFE

(έστω $\angle EFA=x$ )έχουμε : $\dfrac{FE}{\sin \angle FAE}=\dfrac{AE}{\sin \angle EFA}\Leftrightarrow \dfrac{k\left (\varphi +1 \right )}{\sin \left ( 72^{\circ}-x \right )}=\dfrac{k}{\sin x}\Leftrightarrow \sin72^{\circ}\cos x-\cos72^{\circ}\sin x=\left ( \varphi +1 \right )\sin x \Leftrightarrow ..\Leftrightarrow \sin x\left ( \varphi +1+\cos 72^{\circ} \right )=\cos x\sin 72^{\circ}\Leftrightarrow \tan x=\dfrac{\sin 72^{\circ}}{\cos 72^{\circ}+\varphi +1}$
Αρκεί επομένως $\tan 18^{\circ}=\dfrac{\sin 72^{\circ}}{\cos 72^{\circ}+\varphi +1}\Leftrightarrow \dfrac{\sin 18^{\circ}}{\cos 18^{\circ}}=\dfrac{\sin 72^{\circ}}{\cos 72^{\circ}+\varphi +1}\Leftrightarrow \cos^218^{\circ}=\sin18^{\circ}\left ( \sin 18^{\circ} +\varphi +1\right )\Leftrightarrow ..\Leftrightarrow\dfrac{5}{8}+\dfrac{\sqrt{5}}{8}=\dfrac{1}{4}\left ( \sqrt{5}-1 \right )\left ( \dfrac{1}{4}\left ( \sqrt{5}-1 \right )+\varphi +1 \right )\Leftrightarrow \dfrac{\varphi +2}{4}=\dfrac{1}{2\varphi }\left ( \dfrac{1}{2\varphi}+\varphi^2 \right )=\dfrac{1}{4\varphi ^2}+\dfrac{\varphi }{2}=\,\,..\dfrac{1+2\left ( \varphi +1 \right )\varphi }{4\left ( \varphi +1 \right )}=\dfrac{1+2\left ( \varphi +1\right )+2\varphi }{4\left ( \varphi +1 \right )}=\dfrac{4\varphi +3}{4\left ( \varphi +1 \right )}\Leftrightarrow \left ( \varphi +2 \right )\left ( \varphi +1 \right )=4\varphi +3\Leftrightarrow \varphi ^2+3\varphi +3=\,\,...4\varphi +3\Leftrightarrow 4\varphi +3=4\varphi +3$
που ισχύει (χρησιμοποιήθηκε πολλές φορές ότι $\varphi ^2=\varphi+1$ ).
Άρα $BE\perp CE$

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλό βράδυ! Ένα ακόμη εύγε κι' ένα μεγάλο ευχαριστώ στον μοναδικό Πρόδρομο
για την επιμονή του μέχρι να φτάσει στην απόδειξη του παρόντος..

Σε επόμενη δημοσίευση θα δώσω και την προσωπική προσέγγιση , η οποία αρχικά είναι ίδια με αυτή του Πρόδρομου. Φιλικά Γιώργος.

Γιώργος Μήτσιος · #4

Χαιρετώ. Ας κρατήσουμε από τη λύση του Πρόδρομου το τρίγωνο EFA

, όπου $\widehat{AEF}=108^{0}...AE=k...EF=k\left ( \Phi +1 \right )$

και ότι $\angle NEC=\angle EFA$ ενώ $\widehat{BEN}=72^{0}$ .Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι $\angle EFA =18^{\circ}$ . Θεωρούμε το τρίγωνο MIG

με γωνίες όπως στο σχήμα

: Υπολογισμένη καθετότητα. ΙΙ PNG.PNG (11.72 KiB) Προβλήθηκε 213 φορές

Έχουμε $\dfrac{EF}{AE}=\Phi +1=\Phi ^{2}=\dfrac{sin54^{0}}{sin18^{0}}=\dfrac{IM}{IG}$ δηλ. $\dfrac{EF}{AE}=\dfrac{IM}{IG}$ με τις $\widehat{FEA}=108^{0}=\widehat{MIG}$ .

Συνεπώς τα τρίγωνα AFE, MIG

είναι όμοια οπότε $\angle NEC=\angle EFA =\angle GMI = 18^{\circ}$

και τελικά $\widehat{BEC}=72^{0}+18^{0}=90^{0}$ . Φιλικά, Γιώργος.

Υπολογισμένη καθετότητα

Υπολογισμένη καθετότητα

Re: Υπολογισμένη καθετότητα

Re: Υπολογισμένη καθετότητα

Re: Υπολογισμένη καθετότητα

Μέλη σε σύνδεση