Θα δείξουμε το εξής ισχυρότερο .
Αν
![f:[a,b]\to\mathbb R f:[a,b]\to\mathbb R](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/cb60513e30005f37df669488fd05e46e.png)
είναι συνεχής ,παραγωγίσημη εκτός ενός αριθμήσιμου συνόλου

και η

είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη
τότε
Χρειαζόμαστε τα εξής λήμματα
1)Εστω
![E\subseteq [a,b] E\subseteq [a,b]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/835c609d89fd53049bdb1a043b04bcf1.png)
μέτρου

.
Υπάρχει
![s:[a,b]\rightarrow \mathbb{R} s:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/5b0ac658c56fb5e87c6835c482698033.png)
συνεχής αύξουσα ώστε
2)Εστω
![f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R} f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/cbf6bcd3aa5cc7cdf73d8d1c12387715.png)
συνεχής .
Θέτουμε

Αν
όπου

αριθμήσιμο σύνολο
να δειχθεί ότι η

είναι αύξουσα.
Αυτά βρίσκονται στα
viewtopic.php?f=200&t=65857
viewtopic.php?f=200&t=65856
Θέτουμε

Είναι
![\displaystyle |g_{n}(x)|\leq |f'(x)|,x\in [a,b]-A \displaystyle |g_{n}(x)|\leq |f'(x)|,x\in [a,b]-A](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/78a397097091e54cda91ac975e956413.png)
(1)
Θεωρούμε την

Από το θεώρημα παραγώγισης του Lebesgue
είναι
![\displaystyle G'_{n}(x)=g_{n}(x),x\in [a,b]-A_{n} \displaystyle G'_{n}(x)=g_{n}(x),x\in [a,b]-A_{n}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/80bb61c901631dcc4a323e7d9141e2f7.png)
οπου το

εχει μέτρο

Από το λήμμα 1) υπάρχει συνεχής
![s:[a,b]\rightarrow \mathbb{R} s:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/5b0ac658c56fb5e87c6835c482698033.png)
αύξουσα ώστε

.
Εστω

Θέτουμε

Παρατηρώντας ότι για

είναι

έχουμε για
α)
β)
Αρα

Λόγω του λήμματος 2 θα έχουμε

Επειδή το

είναι οποιοδήποτε συμπεραίνουμε
ότι

Επειδή

και λόγω της (1) το θεώρημα κυριαρχημένης του Lebesgue μας δίνει

Αρα

Αν στην τελευταία στην θέση της

βάλουμε την

παίρνουμε την ανάποδη
και τελικά
