Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

#1

Ανοίγω ένα θρεντ με ασκήσεις που λύνονται με χρήση αθροισμάτων Riemann.

Μερικές θα είναι αρκετά προσιτές (όχι όμως ρουτίνας) ενώ άλλες λίγο πιο απαιτητικές, αλλά θα αποφύγω τις ακρότητες ή
ασκήσεις από Ολυμπιάδες τύπου Putnam και λοιπά.

Απευθύνομαι κυρίως σε φοιτητές με γνώμονα να εξοικειωθούν με το άθροισμα Riemann, πέρα από τα προφανή.

#2

Άσκηση 1

Να υπολογισθεί το όριο της ακολουθίας

$\displaystyle{ \dfrac {1}{n^2} \sqrt [n]{(n^2+1^2) (n^2+2^2)...(n^2+n^2) }}$

Δεν πρέπει να δυσκολέψει κανέναν.

Tolaso J Kos · #3

Άσκηση 2

Να υπολογισθεί το παρακάτω όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{3n}\right)}$

#4

Άσκηση 3

Με χρήση του αθροίσματος Riemann, να υπολογισθεί το $\int_{1}^{2}{x^2\,dx}$ , διαιρώντας το $\left[{1,\,2}\right]$ με σημεία που αποτελούν γεωμετρική πρόοδο.

#5

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 15, 2019 10:15 am
Άσκηση 2

Να υπολογισθεί το παρακάτω όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{3n}\right)}$

Διαμερίζουμε το $[1,\,3]$ σε ίσες διαμερίσεις πλάτους 1/n

. Έχουμε τότε το δοθέν άθροισμα

$\displaystyle{ \sum _{k=1}^{2n} \dfrac{1}{n+k}= \dfrac{1}{n}\sum _{k=1}^{2n} \dfrac{1}{1 + \frac{k}{n}} \to \int _1^3 \dfrac {1}{x} \,dx= \ln 3}$

Tolaso J Kos · #6

Άσκηση 4

Να υπολογισθεί το παρακάτω όριο:

$\displaystyle \ell =\lim_{n \rightarrow + \infty}\left(\ln\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}+\ln\sqrt[n+2]{\frac{n+2}{n}}+\cdots+\ln\sqrt[3n]{\frac{3n}{n}}\right)$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#7

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 15, 2019 10:15 am
Άσκηση 2

Να υπολογισθεί το παρακάτω όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{3n}\right)}$

Ας δούμε και άλλον ένα τρόπο για την Άσκηση 2. Εδώ το άθροισμα Riemann είναι κρυμμένο στην απόδειξη της ιδιότητας $\displaystyle{\displaystyle{ \sum _{k=1}^{n} \frac{1}{k} -\ln n \to \gamma}$

$\displaystyle{ \sum _{k=1}^{2n} \dfrac{1}{n+k}= \sum _{k=1}^{3n} \dfrac{1}{k}- \sum _{k=1}^{n} \dfrac{1}{k}= \left ( \sum _{k=1}^{3n} \dfrac{1}{k}- \ln (3n)\right ) - \left ( \sum _{k=1}^{n} \dfrac{1}{k} - \ln n \right ) + \ln 3n -\ln n \to \gamma - \gamma + \ln 3= \ln 3$

#8

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 15, 2019 10:56 am
Άσκηση 4

Να υπολογισθεί το παρακάτω όριο:

$\displaystyle \ell =\lim_{n \rightarrow + \infty}\left(\ln\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}+\ln\sqrt[n+2]{\frac{n+2}{n}}+\cdots+\ln\sqrt[3n]{\frac{3n}{n}}\right)$

To δοθέν ισούται

$\displaystyle{ \displaystyle{ \sum _{k=1}^{2n} \dfrac{1}{n+k} \ln \frac{n+k}{n} = \dfrac{1}{n}\sum _{k=1}^{2n} \dfrac{1}{1 + \frac{k}{n}}\right ) \ln \left (1+ \dfrac{k}{n}}\right ) \to \int _1^3 \dfrac {\ln x}{x} \,dx=\dfrac {1}{2} \left [ (\ln x)^2\right ]_1^3 = \dfrac {1}{2} (\ln 3)^2}$

Tolaso J Kos · #9

Άσκηση 5

Να υπολογισθεί το παρακάτω όριο:

$\displaystyle \ell =\lim_{n \rightarrow +\infty} \left(\frac{2^{1/n}}{n+1} +\frac{2^{2/n}}{n+1/2}+\dots+\frac{2^{n/n}}{n+{1/n}} \right)$

Tolaso J Kos · #10

Άσκηση 6

Με τη βοήθεια του αθροίσματος Riemann να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \left ( \frac{1}{n} \ln n! - \ln n \right )}$ .
Με τη βοήθεια του παραπάνω ορίου να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \left ( \frac{n! e^n}{n^{n+1/2}\sqrt{2\pi}} \right )^{1/n} =1 }$
Τέλος να δειχθεί ότι $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} =\frac{1}{e}}$ .

Άσκηση 7

Να υπολογιστεί το όριο:
$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n} \left ( 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdots (3n-1) \right )^{1/n}}$
Σημείωση: Το όριο αυτό προτάθηκε από τον Norman Schaumberger το Μάρτιο του 1984

στο περιοδικό The College Mathematics Journal. Η γενίνευση αργότερα.

#11

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 15, 2019 4:18 pm
Άσκηση 6

Με τη βοήθεια του αθροίσματος Riemann να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \left ( \frac{1}{n} \ln n! - \ln n \right )}$ .

Με τη βοήθεια του παραπάνω ορίου να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \left ( \frac{n! e^n}{n^{n+1/2}\sqrt{2\pi}} \right )^{1/n} =1 }$

Τέλος να δειχθεί ότι $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} =\frac{1}{e}}$ .

Το πρώτο ισούται $\displaystyle{ \dfrac {1}{n} \sum _{k=1}^n \ln \dfrac {k}{n}\to \int _0^1 \ln x = -1}$

To δεύτερο είναι επιτηδευμένη και άκομψη άσκηση αφού η παράσταση ισούται με $\displaystyle{ \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} \cdot e \cdot \dfrac {1}{\sqrt [2n] n }\cdot \dfrac {1}{\sqrt [2n] {2\pi} }}$ , της οποίας οι δύο τελευταίοι παράγοντες τείνουν στο

. Δηλαδή η άσκηση ανάγεται στο να βρούμε το όριο $\displaystyle{\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}}$ , το οποίο είναι η τρίτη ερώτηση. Με άλλα λόγια πρέπει να βρούμε το τρίτο όριο και από αυτό το δεύτερο, και όχι ανάποδα που τα ζητά η άσκηση.

Για το τρίτο όριο, ο λογάριθμος της παράστασης είναι $\displaystyle{ \frac{1}{n} \ln n! - \ln n }$ , που είναι αυτό που βγάλαμε στο πρώτο βήμα. Και λοιπά.

#12

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 15, 2019 1:29 pm
Άσκηση 5

Να υπολογισθεί το παρακάτω όριο:

$\displaystyle \ell =\lim_{n \rightarrow +\infty} \left(\frac{2^{1/n}}{n+1} +\frac{2^{2/n}}{n+1/2}+\dots+\frac{2^{n/n}}{n+{1/n}} \right)$

Από τις ανισότητες $\displaystyle{ \dfrac {1}{n+1}\le \dfrac {1}{n+1/k}\le \dfrac {1}{n}}$ , το δοθέν άθροισμα είναι ο μεσαίος όρος στην διπλή ανισότητα

$\displaystyle{ \dfrac {1}{n+1}\sum _{k=1}^n 2^{k/n} \le\sum _{k=1}^n \dfrac {2^{k/n}}{n+1/k} \le \dfrac {1}{n}\sum _{k=1}^n 2^{k/n} }$ .

Τα δύο άκρα τείνουν στο $\displaystyle{\int _0^1 2^x\, dx= \dfrac {1}{\ln 2}}$ , και λοιπά από ισοσυγκλίνουσες.

#13

grigkost έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 15, 2019 10:48 am
Άσκηση 3

Με χρήση του αθροίσματος Riemann, να υπολογισθεί το $\int_{1}^{2}{x^2\,dx}$ , διαιρώντας το $\left[{1,\,2}\right]$ με σημεία που αποτελούν γεωμετρική πρόοδο.

Ξεχάστηκε (όπως και η Άσκηση 1).

Έστω 0<c<1

, το οποίο αργότερα θα πάρουμε να $\to 1^-$ . Κοιτάμε την διαμέριση (την οποία γράφω φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο) $2,\, 2c, \, 2c^2, \,...\, , \,2c^N$ για κάποιο

που εξαρτάται από το

, με $2c^N\ge 1\ge 2c^{N+1}$ . To τελευταίο δίνει $2c^N\to 1$ καθώς $c\to 1$ διότι η διαφορά του από το

είναι $< 2c^N-2c^{N+1} =2c^N(1-c)<2(1-c)$

To τυπικό διάστημα είναι $[2c^k, \, 2c^{k+1}]$ και το άθροισμα Riemann είναι

$\displaystyle{ \sum _{k=0}^{N-1}(2c^k)^2( 2c^{k+1}- 2c^{k}) = \sum _{k=0}^{N-1}2^3 (1-c)c^{3k}= 8(1-c)\dfrac {1-c^{3N}}{1-c^3}= \dfrac {8-(2c^{N})^3}{1+c+c^2} \to \dfrac {8-1^3}{3}= \dfrac {7}{3} }$

Βρήκαμε δηλαδή το γνωστό $\displaystyle{ \int_{1}^{2}{x^2\,dx}= \left [ \dfrac {x^3}{3} \right ] _1^2}$ .

#14

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 15, 2019 4:18 pm

Άσκηση 7

Να υπολογιστεί το όριο:
$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n} \left ( 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdots (3n-1) \right )^{1/n}}$

To κάνω με τύπο Stirling που η απόδειξη του (Άσκηση 6) έγινε με άθροισμα Riemann.

Η ποσότητα είναι $\displaystyle{< \frac{1}{n} \left ( 3 \cdot 6 \cdot 9 \cdots (3n) \right )^{1/n}} = \frac{1}{n} ( 3^nn! )^{1/n}} = 3 \frac{\sqrt [n]{n!}}{n} \to \frac{3}{e} }$ .

Επίσης είναι $\displaystyle{> \frac{1}{n} \left ( 1 \cdot 3 \cdot 6 \cdots (3n-3) \right )^{1/n}} = \frac{1}{n} ( 3^{n-1}(n-1)! )^{1/n}} = 3^{1-1/n} \frac{\sqrt [n]{n!}}{n}\frac{1}{\sqrt [n]{n}} \to \frac{3}{e} }$ .

Από ισoσυγκλίνουσες το ζητούμενο όριο είναι $\displaystyle{\frac{3}{e}}$

#15

Άσκηση 8

Να υπολογισθεί το όριο της ακολουθίας

$\displaystyle{\displaystyle{\frac{1}{\sqrt {4n^2-1^2}}+\frac{1}{\sqrt {4n^2-2^2}}+...+\frac{1}{\sqrt {4n^2-n^2}}}$

panagiotis iliopoulos · #16

Θα ήθελα να ρωτήσω πώς μεταβαίνει ο κ. Λάμπρου στην άσκηση 2 στο ολοκλήρωμα.

#17

panagiotis iliopoulos έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 27, 2019 8:00 am
Θα ήθελα να ρωτήσω πώς μεταβαίνει ο κ. Λάμπρου στην άσκηση 2 στο ολοκλήρωμα.

Συγνώμη για την καθυστερημένη απάντηση. Τώρα το είδα γιατί σχεδόν όλη μέρα είχα τρεχάματα.

Ο πιο εύκολος τρόπος να δεις το παραπάνω είναι μέσω του

$\displaystyle{ \dfrac{1}{n}\sum _{k=1}^{2n} \dfrac{1}{1 + \frac{k}{n}} \to \int _0^2 \dfrac {1}{1+x} \,dx }$ που είναι το ίδιο με το ολοκλήρωμα που έγραψα.

#18

Επαναφορά η Άσκηση 1. Επίσης είναι αναπάντητη η Άσκηση 8.

Παροτρύνω τους φοιτητές μας να ασχοληθούν.

sot arm · #19

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 15, 2019 8:27 am
Άσκηση 1

Να υπολογισθεί το όριο της ακολουθίας

$\displaystyle{ \dfrac {1}{n^2} \sqrt [n]{(n^2+1^2) (n^2+2^2)...(n^2+n^2) }}$

Δεν πρέπει να δυσκολέψει κανέναν.

Αφού υπήρξε και η παρότρυνση, βάζω μια λύση.Βγάζοντας κοινό παράγοντα το $n^{2}$ στο γινόμενο έχω:

$\displaystyle{\frac{1}{n^{2}}[\prod_{k=1}^{n}(n^{2}+k^{2})]^{\frac{1}{n}}=[\prod_{k=1}^{n}(1+\frac{k^{2}}{n^{2}})]^{\frac{1}{n}}}$

ο λογάριθμος της έκφρασης ισούται με:

$\displaystyle{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\ln(1+(\frac{k}{n})^{2})\rightarrow \int_{0}^{1}\ln(1+x^{2})dx=[x\ln(x^{2}+1)]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{2x^{2}}{x^{2}+1}dx=\ln(2)-2+\int_{0}^{1}\frac{2}{x^{2}+1}dx=\ln(2)-2+2arctan(1)=\ln(2)+\frac{\pi}{2}-2}$

και άρα η ακολουθία πάει στο $e^{\ln(2)+\frac{\pi}{2}-2}$ .

Με μια κάποια επιφύλαξη γιατί έχω μια τάση στα αριθμητικά και δεν φαίνεται ιδιαίτερα κομψό το αποτέλεσμα.

#20

Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση