Συστηματική εργασία

KARKAR · #1

Βρείτε πόσες πραγματικές λύσεις έχει το σύστημα : $\left\{\begin{matrix} \dfrac{x}{y} +xy&=40 \\ \\ x+2y^2 & =30 \end{matrix}\right.$

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Δεκ 24, 2019 7:21 am Βρείτε πόσες πραγματικές λύσεις έχει το σύστημα : $\left\{\begin{matrix} \dfrac{x}{y} +xy&=40 \\ \\ x+2y^2 & =30 \end{matrix}\right.$

H πρώτη ως πρωτοβάθμια ως προς

ισοδυναμεί με την $\displaystyle{x=\dfrac {40y}{1+y^2}}$ . Στην δεύτερη δίνει $\displaystyle{ \dfrac {40y}{1+y^2}+ 2y^2=30}$ , ισοδύναμα
$\displaystyle{2y^4-28y^2+40y -30=0}$ ή αλλιώς $\displaystyle{2(y-3)(y^3+3y^2-5y+5)=0}$ . Μία ρίζα η y=3

. H τριτοβάθμια έχει μία πραγματική ρίζα και δύο μιγαδικές. Αυτό φαίνεται εύκολα (αλλά εκτός ύλης) με Διακρίνουσα αλλά μπορούμε και με παραγώγους. Συγκεκριμένα έχει τοπικό ελάχιστο για $x=-1+\frac {2}{3}\sqrt 6$ που η τιμή του $\displaystyle{57-\frac {32}{9}\sqrt 6}$ είναι θετική. Οι πράξεις είναι πολλές και δεν αξίζει η πληκτρολόγηση.

#3

Καλησπέρα σε όλους. Επιχειρώ μια συστηματική προσέγγιση με συναρτήσεις.

Για να έχει νόημα το σύστημα πρέπει $\displaystyle x,\;y \ne 0$ .

Αλλάζω τη θέση των x, y

.

Η πρώτη εξίσωση γράφεται $\displaystyle y = \frac{{40x}}{{{x^2} + 1}}$ και η δεύτερη γράφεται $\displaystyle y = 30 - 2{x^2}$

Έστω η συνάρτηση $\displaystyle h\left( x \right) = \frac{{40x}}{{{x^2} + 1}} + 2{x^2} - 30$ , με $\displaystyle x \in R$ .

Αναζητάμε τις ρίζες της h(x) = 0

.

H

έχει παράγωγο $\displaystyle h'\left( x \right) = \frac{{40 - 40{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} + 4x = \frac{{4\left( {{x^5} + 2{x^3} - 10{x^2} + x + 10} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}$ .

Τώρα μελετάμε τη συνάρτηση $\displaystyle k\left( x \right) = {x^5} + 2{x^3} - 10{x^2} + x + 10$ με $\displaystyle x \in R$ .

Στο $\displaystyle \left( { - \infty ,\,0} \right]$ :

Είναι $\displaystyle k\left( { - 1} \right) = - 4,\;\;k\left( 0 \right) = 10$ , οπότε από Θ. Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα $\displaystyle \xi \in \left( { - 1,\;0} \right)$ , τέτοιο ώστε $\displaystyle k\left( \xi \right) = 0$ .

Η k(x)

έχει παράγωγο $\displaystyle k'\left( x \right) = 5{x^4} + 6{x^2} - 20x + 1.$ Είναι $\displaystyle k'\left( x \right) > 0$ για x < 0, οπότε η k(x)

είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle \left( { - \infty ,\,0} \right]$ , άρα η ρίζα είναι μοναδική στο διάστημα αυτό.

Άρα k(x) < 0

για $\displaystyle x < \xi$ και $\displaystyle k\left( x \right) > 0$ για $\displaystyle \xi < x \le 0$ .

Στο :
Για 0<x<1

είναι $\displaystyle 10 - 10{x^2} > 0 \Rightarrow k\left( x \right) > 0$ για $\displaystyle x \in \left( {0,\;1} \right)$ .

Στο $\displaystyle \left[ {1,\; + \infty } \right)$ :
Η k(x)

έχει παράγωγο $\displaystyle k'\left( x \right) = 5{x^4} + 6{x^2} - 20x + 1$ και δεύτερη παράγωγο $\displaystyle k''\left( x \right) = 20{x^3} + 12x - 20$ , που είναι θετική για $\displaystyle x \ge 1$ , άρα η $\displaystyle k'\left( x \right)$ είναι γνησίως αύξουσα για $\displaystyle x \ge 1$ , άρα $k(x) \ge k(1) = 3>0$ .

Οπότε η k(x)=0

άρα και η $\displaystyle h'\left( x \right) = 0$ έχει μοναδική ρίζα $\displaystyle \xi \in \left( { - 1,\;0} \right)$ και είναι $\displaystyle h'\left( x \right) < 0$ για $\displaystyle x < \xi$ και $\displaystyle h'\left( x \right) > 0$ για $\displaystyle x > \xi$ .

Οπότε η h(x)

είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle \left( { - \infty ,\;\xi } \right]$ και γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle \left[ {\xi ,\; + \infty } \right)$ .

Είναι $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } h\left( x \right) = + \infty$ και h(-1) = -48, h(0) =–30

, οπότε έχει από μια ρίζα σε κάθε διάστημα.

Παρατηρούμε ότι η δεύτερη ρίζα είναι το

.

Συστηματική εργασία

Συστηματική εργασία

Re: Συστηματική εργασία

Re: Συστηματική εργασία

Μέλη σε σύνδεση