Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Συντονιστής: R BORIS

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4256
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#61

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Δεκ 24, 2019 1:22 pm

harrisp έγραψε:
Τρί Δεκ 24, 2019 11:57 am
Μιας και προέκυψε σε μια λύση (αλλά ο υπολογισμός του δεν χρειάστηκε) ας το δούμε:

Άσκηση 19

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα:

\displaystyle{\int_0^{\pi/2} \ln(cosx) dx}

Βέβαια για τη Γ' Λυκείου είναι εκτός ύλης διότι καταλήγει σε γενικευμένο ολοκλήρωμα.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12124
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#62

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Δεκ 24, 2019 4:54 pm

Άσκηση 21

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

\displaystyle{ \displaystyle{\int x^2e^x \cos x \,dx}

(Απλή).


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4256
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#63

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Δεκ 24, 2019 5:34 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τρί Δεκ 24, 2019 4:54 pm
Άσκηση 21

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

\displaystyle{ \displaystyle{\int x^2e^x \cos x \,dx}

(Απλή).

Αυτά τα ολοκληρώματα βγαίνουν πολύ εύκολα με την tabular integration. Σκοπός είναι να εμφανιστεί κάτι του στυλ \mathcal{J} = A(x) -\mathcal{J}.

Στιγμιότυπο από 2019-12-24 17-29-32.jpg
Στιγμιότυπο από 2019-12-24 17-29-32.jpg (45.57 KiB) Προβλήθηκε 453 φορές

Διαβάστε τώρα το αποτέλεσμα. Για παράδειγμα από το πρώτο πίνακα παίρνουμε:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\int x^2 e^x \cos x \, \mathrm{d}x &= x^2 e^x \sin x + \left ( 2x e^x + x^2 e^x \right )\cos x - \int e^x\left ( x^2+4x+2 \right )\cos x \, \mathrm{d}x \\ 
 &=x^2 e^x \sin x + \left ( 2x e^x + x^2 e^x \right )\cos x -  \\ 
 &\quad \quad -\int x^2 e^x  \cos x \, \mathrm{d}x - \int 4xe^x \cos x \, \mathrm{d}x -2\int e^x \cos x \, \mathrm{d}x \\ 
\end{aligned}}
Και συνεχίζουμε ... ;) ;) Τελική απάντηση:

\displaystyle{\int x^2 e^x \cos x \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2}e^x (x-1)\bigg( (x-1)\sin x + (x+1) \cos x \bigg) +c \; ,\; c\in \mathbb{R}}
Σημείωση: H tabular integration δεν είναι τίποτα άλλο παρά διαδοχικές ολοκληρώσεις κατά παράγοντες.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12124
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#64

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Δεκ 24, 2019 7:00 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Δεκ 24, 2019 5:34 pm
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τρί Δεκ 24, 2019 4:54 pm
Άσκηση 21

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

\displaystyle{ \displaystyle{\int x^2e^x \cos x \,dx}

(Απλή).

Αυτά τα ολοκληρώματα βγαίνουν πολύ εύκολα με την tabular integration. Σκοπός είναι να εμφανιστεί κάτι του στυλ \mathcal{J} = A(x) -\mathcal{J}.
Δεν χρειάζεται να κάνουμε τα εύκολα, δύσκολα. Πιο απλά και άμεσα, από \int e^x \cos x \,dx = \frac {1}{2}  e^x ( \cos x + \sin x) με ολοκλήρωση κατά παράγοντες είναι

 \displaystyle{\int x^2e^x \cos x \,dx = \int x^2(e^x \cos x )\,dx} =  \frac {x^2}{2}  e^x ( \cos x + \sin x)- \int xe^x (\sin x + \cos x)  \,dx

Συνεχίζουμε με ανάλογο τρόπο για να διώξουμε τώρα το x, με χρήση του \int e^x \sin x \,dx = \frac {1}{2}  e^x (  \sin x-  \cos x) . Και λοιπά.

Θα βρούμε

\displaystyle{ \frac {x^2}{2}  e^x ( \cos x + \sin x)   - χ e^x  \sin x + \frac {1}{2}  e^x (  \sin x - \cos x ) + c}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9182
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#65

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Δεκ 24, 2019 7:37 pm

Άσκηση 22

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

\displaystyle \int {\frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 3} }}} dx

(Απλή για όποιον γνωρίζει τη διαδικασία).


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11535
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#66

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Δεκ 24, 2019 8:39 pm

Άσκηση 23
Να υπολογισθεί το : \displaystyle \int e^x \frac{sin2x-2}{1-cos2x}dx


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12124
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#67

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Δεκ 24, 2019 9:01 pm

george visvikis έγραψε:
Τρί Δεκ 24, 2019 7:37 pm
Άσκηση 22

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

\displaystyle \int {\frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 3} }}} dx
\displaystyle{\displaystyle \int {\frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 3} }}} dx= \int {\frac{{2x + 2-1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 3} }}} dx = \int {\frac{{(x^2+2x+3)' }}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 3} }}} dx - \int {\frac{1  }{{\sqrt {(x+1)^2 + 2} }} dx=}

\displaystyle{ =2\sqrt {{x^2} + 2x + 3} - arc \sinh \frac {\sqrt 2}{2}  (x+1) +c }


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4256
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#68

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Δεκ 24, 2019 9:53 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Δεκ 24, 2019 9:15 am
Άσκηση 18


Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

\displaystyle{\mathcal{J}=\int \frac{1}{\sqrt{x}} \sqrt{\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}} \, \mathrm{d}x}

Επαναφορά! :mathexmastree: Χρόνια πολλά!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12124
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#69

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Δεκ 24, 2019 10:35 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Δεκ 24, 2019 9:53 pm
Άσκηση 18


Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

\displaystyle{\mathcal{J}=\int \frac{1}{\sqrt{x}} \sqrt{\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}} \, \mathrm{d}x}
H αλλαγή μεταβλητής x=t^2 το ανάγει στο

\displaystyle{2 \int \frac{\sqrt{t-2}}{\sqrt {t+2}}dt   = 2\int \frac{t-2}{\sqrt {t^2-4}} dt  = \int \frac{2t}{\sqrt {t^2-4}} dt -\int \frac{4}{\sqrt {t^2-4}} dt= 2\sqrt {t^2-4}-\int \frac{4}{\sqrt {t^2-4}} dt }

To τελευταίο γίνεται με αντίστροφη τριγωνομετρική αλλά και αλλιώς. Δίνει \displaystyle{4\ln (x+\sqrt {x^2-4}) +c}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9182
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#70

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Δεκ 25, 2019 8:42 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Δεκ 24, 2019 8:39 pm
Άσκηση 23
Να υπολογισθεί το : \displaystyle \int e^x \frac{sin2x-2}{1-cos2x}dx
\displaystyle \frac{{{e^x}(\sin 2x - 2)}}{{1 - \cos 2x}} = \frac{{{e^x}(\sin x\cos x - 1)}}{{{{\sin }^2}x}} = {e^x}\left( {\frac{{\cos x}}{{\sin x}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right) =

\displaystyle {e^x}\cot x + {e^x}(\cot x)' = {\left( {{e^x}\cot x} \right)^\prime } \Rightarrow \boxed{\int {\frac{{{e^x}(\sin 2x - 2)}}{{1 - \cos 2x}}dx = {e^x}\cot x + c} }


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12124
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#71

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Δεκ 25, 2019 9:15 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Δεκ 24, 2019 8:39 pm
Άσκηση 23
Να υπολογισθεί το : \displaystyle \int e^x \frac{sin2x-2}{1-cos2x}dx
To τριγωνομετρικό κλάσμα ισούται \displaystyle{ \frac{\sin2x-2}{1-\cos2x}= \frac{2\sin x\cos x -2}{2\sin ^2 x}= \cot x - cosec ^2x}, άρα έχουμε να βρούμε το
\displaystyle \int e^x (\cot x - cosec ^2 x)dx.

Με κατά παράγοντες έχουμε

\displaystyle{\displaystyle \int e^x \cot x dx - \int e^x  cosec ^2 dx  = \int e^x \cot x dx + \int e^x (\cot x)' dx = }

\displaystyle{= \int e^x \cot x dx +  e^x (\cot x)- \int e^x \cot x dx = e^x \cot x +c}

Edit: Με πρόλαβε ο Γιώργος. Όταν το κοίταξα πριν ξεκινήσω υπήρχε μόνο η ερώτηση χωρίς απάντηση (κενό), γι' αυτό και ασχολήθηκα. Το αφήνω για τον κόπο και επειδή την χάρηκα ως άσκηση.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12124
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#72

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Δεκ 25, 2019 12:20 pm

Άσκηση 24

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\displaystyle { \int  \frac{1+\sqrt x}{\sqrt [3] {x} + \sqrt [4]{x^3} }\, dx }}

(Απλή με την σωστή αλλαγή μεταβλητής).


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12124
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#73

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Δεκ 25, 2019 12:25 pm

Άσκηση 25

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\displaystyle { \int  \frac{\sqrt {x+1} }{1+\sqrt [3] {x+1} }\, dx }}},

(Απλή αλλά χρειάζεται το \displaystyle{\displaystyle { \int  \frac{1}{1+x^2 }\, dx }= \arctan x +c}}, το οποίο μπορείτε να θεωρήσετε γνωστό).


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9182
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#74

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Δεκ 25, 2019 1:23 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τετ Δεκ 25, 2019 12:25 pm
Άσκηση 25

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\displaystyle { \int  \frac{\sqrt {x+1} }{1+\sqrt [3] {x+1} }\, dx }}},

(Απλή αλλά χρειάζεται το \displaystyle{\displaystyle { \int  \frac{1}{1+x^2 }\, dx }= \arctan x +c}}, το οποίο μπορείτε να θεωρήσετε γνωστό).
Θέτω \displaystyle x + 1 = {t^6} \Rightarrow dx = 6{t^5}dt και το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται:

\displaystyle 6\int {\frac{{{t^8}}}{{1 + {t^2}}}} dt = 6\int {\left( {{t^6} - {t^4} + {t^2} - 1 + \frac{1}{{{t^2} + 1}}} \right)} dt = 6\left( {\frac{{{t^7}}}{7} - \frac{{{t^5}}}{5} + \frac{{{t^3}}}{3} - t + \arctan (t)} \right) + c

Αντικαθιστώ \displaystyle t = \sqrt[6]{{x + 1}}, κλπ


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12124
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#75

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Δεκ 25, 2019 5:52 pm

Μία παράκληση για το αυτονόητο:

Καλό είναι κάθε καινούργια άσκηση να έχει αύξοντα αριθμό τον επόμενο αυτού που μόλις εμφανίστηκε.

Έλαβα προσωπικό μήνυμα από συνάδελφο που επισημαίνει ότι

Παρατήρησα ότι υπάρχει 3 φορές η άσκηση 13 με διαφορετική άσκηση στα post 35, 41, 44.
Θα πρότεινα την μετονομασία των post 41, 44 σε "ΑΣΚΗΣΗ 13_Α" και "ΑΣΚΗΣΗ 13_Β" αντιστοίχως.
Φυσικά δεν είναι τεράστιας σημασίας το θέμα αλλά ίσως να γίνει μπέρδεμα σε μελλοντικές αναφορές.
Καλό σας βράδυ, καλή χρονιά.


Έχει δίκιο! Επίσης η Άσκηση 19 εμφανίζεται στα ποστ 57 και 58.

Επίσης καλό είναι όταν απαντάμε σε μία άσκηση, να δηλώνουμε σε ποια ακριβώς άσκηση απαντάμε. Αυτό γίνεται είτε
αναγράφοντας τον αύξοντα αριθμό της άσκησης, είτε παραθέτοντας την εκφώνηση (που γίνεται αυτόματα πατώντας το
κουμπί παράθεσης πάνω δεξιά του παραθύρου).

-----------------------

Η Άσκηση 24 μένει αναπάντητη.


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2230
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#76

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τετ Δεκ 25, 2019 6:44 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τετ Δεκ 25, 2019 12:20 pm
Άσκηση 24

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\displaystyle { \int  \frac{1+\sqrt x}{\sqrt [3] {x} + \sqrt [4]{x^3} }\, dx }}

(Απλή με τηνt σωστή αλλαγή μεταβλητής).
\displaystyle{x=t^{12}
τότε
\displaystyle{I=12\int\frac{t^{13}+t^7}{t^5+1}dt=12\int{t^8-t^3+t^2+\frac{-t^3+t^2}{(t+1)(t^4-t^3+t^2-t+1)}dt}
ο παρονομαστής εύκολα παραγοντοποιείται ως \displaystyle{(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)}
καταλήγουμε σε γνωστά \displaystyle{\int } ρητών συναρτήσεων


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12124
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#77

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Δεκ 25, 2019 7:34 pm

R BORIS έγραψε:
Τετ Δεκ 25, 2019 6:44 pm
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τετ Δεκ 25, 2019 12:20 pm
Άσκηση 24

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\displaystyle { \int  \frac{1+\sqrt x}{\sqrt [3] {x} + \sqrt [4]{x^3} }\, dx }}

(Απλή με τηνt σωστή αλλαγή μεταβλητής).
\displaystyle{x=t^{12}
τότε
\displaystyle{I=12\int\frac{t^{13}+t^7}{t^5+1}dt=12\int{t^8-t^3+t^2+\frac{-t^3+t^2}{(t+1)(t^4-t^3+t^2-t+1)}dt}
ο παρονομαστής εύκολα παραγοντοποιείται ως \displaystyle{(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)}
καταλήγουμε σε γνωστά \displaystyle{\int } ρητών συναρτήσεων
Ροδόλφε, σωστά.

Θα ήταν καλύτερ να ζήταγα το \displaystyle{  \int  \frac{1+\sqrt x}{\sqrt [3] {x} + \sqrt [4]{x} }\, dx } (δηλαδή μικρή αλλαγή στον δεύτερο προσθετέο του παρονομαστή) ώστε με ακριβώς την ίδια εργασία να καταλήξουμε στο

\displaystyle{12\int\frac{t^{14}+t^8}{t+1}dt= 12\int\frac{t^{8}(t^6-1)+2(t^8-1)+2}{t+1}dt} που είναι ... ανθρώπινο από τις

\dfrac{t^6-1}{t+1}=t^5-t^4+t^3-t^2+t-1, και λοιπά.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11535
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#78

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Δεκ 25, 2019 9:43 pm

Άσκηση 26

Υπολογίστε το : \displaystyle \int \left ( \frac{1}{lnx} -\frac{1}{ln^2x}\right )dx

(Συμπλήρωσα την αρίθμηση )
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Πέμ Δεκ 26, 2019 8:18 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4256
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#79

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Δεκ 25, 2019 10:17 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Δεκ 25, 2019 9:43 pm
Υπολογίστε το : \displaystyle \int \left ( \frac{1}{lnx} -\frac{1}{ln^2x}\right )dx
Γεια σου Θανάση. Έχουμε:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\int \left ( \frac{1}{\ln x} - \frac{1}{\ln^2 x} \right ) \, \mathrm{d}x &= \int \left ( \frac{\ln x -x \cdot \frac{1}{x}}{\ln^2 x} \right ) \, \mathrm{d}x \\  
 &=\int \frac{(x)' \ln x - x \left ( \ln x \right )'}{\ln^2 x} \, \mathrm{d}x \\  
 &= \int \left ( \frac{x}{\ln x} \right ) ' \, \mathrm{d}x \\  
 &= \frac{x}{\ln x} + c \; , \; c \in \mathbb{R}  
\end{aligned}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4256
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#80

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Δεκ 25, 2019 10:24 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Δεκ 25, 2019 9:43 pm
Υπολογίστε το : \displaystyle \int \left ( \frac{1}{lnx} -\frac{1}{ln^2x}\right )dx

Πέρα από το παραπάνω μπορούμε να σπάσουμε το ολοκλήρωμα και στο δεύτερο να κάνουμε παράγοντες !


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες