Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Tolaso J Kos · #61

harrisp έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 24, 2019 11:57 am
Μιας και προέκυψε σε μια λύση (αλλά ο υπολογισμός του δεν χρειάστηκε) ας το δούμε:

Άσκηση 19

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\int_0^{\pi/2} \ln(cosx) dx}$

Βέβαια για τη Γ' Λυκείου είναι εκτός ύλης διότι καταλήγει σε γενικευμένο ολοκλήρωμα.

#62

Άσκηση 21

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{ \displaystyle{\int x^2e^x \cos x \,dx}$

(Απλή).

Tolaso J Kos · #63

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 24, 2019 4:54 pm
Άσκηση 21

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{ \displaystyle{\int x^2e^x \cos x \,dx}$

(Απλή).

Αυτά τα ολοκληρώματα βγαίνουν πολύ εύκολα με την tabular integration. Σκοπός είναι να εμφανιστεί κάτι του στυλ $\mathcal{J} = A(x) -\mathcal{J}$ .

: Στιγμιότυπο από 2019-12-24 17-29-32.jpg (45.57 KiB) Προβλήθηκε 5365 φορές

Διαβάστε τώρα το αποτέλεσμα. Για παράδειγμα από το πρώτο πίνακα παίρνουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int x^2 e^x \cos x \, \mathrm{d}x &= x^2 e^x \sin x + \left ( 2x e^x + x^2 e^x \right )\cos x - \int e^x\left ( x^2+4x+2 \right )\cos x \, \mathrm{d}x \\ &=x^2 e^x \sin x + \left ( 2x e^x + x^2 e^x \right )\cos x - \\ &\quad \quad -\int x^2 e^x \cos x \, \mathrm{d}x - \int 4xe^x \cos x \, \mathrm{d}x -2\int e^x \cos x \, \mathrm{d}x \\ \end{aligned}}$
Και συνεχίζουμε ...

Τελική απάντηση:

$\displaystyle{\int x^2 e^x \cos x \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2}e^x (x-1)\bigg( (x-1)\sin x + (x+1) \cos x \bigg) +c \; ,\; c\in \mathbb{R}}$
Σημείωση: H tabular integration δεν είναι τίποτα άλλο παρά διαδοχικές ολοκληρώσεις κατά παράγοντες.

#64

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 24, 2019 5:34 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 24, 2019 4:54 pm
Άσκηση 21

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{ \displaystyle{\int x^2e^x \cos x \,dx}$

(Απλή).

Αυτά τα ολοκληρώματα βγαίνουν πολύ εύκολα με την tabular integration. Σκοπός είναι να εμφανιστεί κάτι του στυλ $\mathcal{J} = A(x) -\mathcal{J}$ .

Δεν χρειάζεται να κάνουμε τα εύκολα, δύσκολα. Πιο απλά και άμεσα, από $\int e^x \cos x \,dx = \frac {1}{2} e^x ( \cos x + \sin x)$ με ολοκλήρωση κατά παράγοντες είναι

$\displaystyle{\int x^2e^x \cos x \,dx = \int x^2(e^x \cos x )\,dx} = \frac {x^2}{2} e^x ( \cos x + \sin x)- \int xe^x (\sin x + \cos x) \,dx$

Συνεχίζουμε με ανάλογο τρόπο για να διώξουμε τώρα το

, με χρήση του $\int e^x \sin x \,dx = \frac {1}{2} e^x ( \sin x- \cos x)$ . Και λοιπά.

Θα βρούμε

$\displaystyle{ \frac {x^2}{2} e^x ( \cos x + \sin x) - χ e^x \sin x + \frac {1}{2} e^x ( \sin x - \cos x ) + c}$

#65

Άσκηση 22

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle \int {\frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 3} }}} dx$

(Απλή για όποιον γνωρίζει τη διαδικασία).

KARKAR · #66

Άσκηση 23
Να υπολογισθεί το : $\displaystyle \int e^x \frac{sin2x-2}{1-cos2x}dx$

#67

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 24, 2019 7:37 pm
Άσκηση 22

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle \int {\frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 3} }}} dx$

$\displaystyle{\displaystyle \int {\frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 3} }}} dx= \int {\frac{{2x + 2-1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 3} }}} dx = \int {\frac{{(x^2+2x+3)' }}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 3} }}} dx - \int {\frac{1 }{{\sqrt {(x+1)^2 + 2} }} dx=}$

$\displaystyle{ =2\sqrt {{x^2} + 2x + 3} - arc \sinh \frac {\sqrt 2}{2} (x+1) +c }$

Tolaso J Kos · #68

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 24, 2019 9:15 am
Άσκηση 18

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J}=\int \frac{1}{\sqrt{x}} \sqrt{\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}} \, \mathrm{d}x}$

Επαναφορά!

Χρόνια πολλά!

#69

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 24, 2019 9:53 pm
Άσκηση 18

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J}=\int \frac{1}{\sqrt{x}} \sqrt{\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}} \, \mathrm{d}x}$

H αλλαγή μεταβλητής x=t^2

το ανάγει στο

$\displaystyle{2 \int \frac{\sqrt{t-2}}{\sqrt {t+2}}dt = 2\int \frac{t-2}{\sqrt {t^2-4}} dt = \int \frac{2t}{\sqrt {t^2-4}} dt -\int \frac{4}{\sqrt {t^2-4}} dt= 2\sqrt {t^2-4}-\int \frac{4}{\sqrt {t^2-4}} dt }$

To τελευταίο γίνεται με αντίστροφη τριγωνομετρική αλλά και αλλιώς. Δίνει $\displaystyle{4\ln (x+\sqrt {x^2-4}) +c}$

#70

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 24, 2019 8:39 pm
Άσκηση 23
Να υπολογισθεί το : $\displaystyle \int e^x \frac{sin2x-2}{1-cos2x}dx$

$\displaystyle \frac{{{e^x}(\sin 2x - 2)}}{{1 - \cos 2x}} = \frac{{{e^x}(\sin x\cos x - 1)}}{{{{\sin }^2}x}} = {e^x}\left( {\frac{{\cos x}}{{\sin x}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right) =$

$\displaystyle {e^x}\cot x + {e^x}(\cot x)' = {\left( {{e^x}\cot x} \right)^\prime } \Rightarrow$ $\boxed{\int {\frac{{{e^x}(\sin 2x - 2)}}{{1 - \cos 2x}}dx = {e^x}\cot x + c} }$

#71

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 24, 2019 8:39 pm
Άσκηση 23
Να υπολογισθεί το : $\displaystyle \int e^x \frac{sin2x-2}{1-cos2x}dx$

To τριγωνομετρικό κλάσμα ισούται $\displaystyle{ \frac{\sin2x-2}{1-\cos2x}= \frac{2\sin x\cos x -2}{2\sin ^2 x}= \cot x - cosec ^2x}$ , άρα έχουμε να βρούμε το
$\displaystyle \int e^x (\cot x - cosec ^2 x)dx$ .

Με κατά παράγοντες έχουμε

$\displaystyle{\displaystyle \int e^x \cot x dx - \int e^x cosec ^2 dx = \int e^x \cot x dx + \int e^x (\cot x)' dx = }$

$\displaystyle{= \int e^x \cot x dx + e^x (\cot x)- \int e^x \cot x dx = e^x \cot x +c}$

Edit: Με πρόλαβε ο Γιώργος. Όταν το κοίταξα πριν ξεκινήσω υπήρχε μόνο η ερώτηση χωρίς απάντηση (κενό), γι' αυτό και ασχολήθηκα. Το αφήνω για τον κόπο και επειδή την χάρηκα ως άσκηση.

#72

Άσκηση 24

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\displaystyle { \int \frac{1+\sqrt x}{\sqrt [3] {x} + \sqrt [4]{x^3} }\, dx }}$

(Απλή με την σωστή αλλαγή μεταβλητής).

#73

Άσκηση 25

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\displaystyle { \int \frac{\sqrt {x+1} }{1+\sqrt [3] {x+1} }\, dx }}}$ ,

(Απλή αλλά χρειάζεται το $\displaystyle{\displaystyle { \int \frac{1}{1+x^2 }\, dx }= \arctan x +c}}$ , το οποίο μπορείτε να θεωρήσετε γνωστό).

#74

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 25, 2019 12:25 pm
Άσκηση 25

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\displaystyle { \int \frac{\sqrt {x+1} }{1+\sqrt [3] {x+1} }\, dx }}}$ ,

(Απλή αλλά χρειάζεται το $\displaystyle{\displaystyle { \int \frac{1}{1+x^2 }\, dx }= \arctan x +c}}$ , το οποίο μπορείτε να θεωρήσετε γνωστό).

Θέτω $\displaystyle x + 1 = {t^6} \Rightarrow dx = 6{t^5}dt$ και το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται:

$\displaystyle 6\int {\frac{{{t^8}}}{{1 + {t^2}}}} dt = 6\int {\left( {{t^6} - {t^4} + {t^2} - 1 + \frac{1}{{{t^2} + 1}}} \right)} dt = 6\left( {\frac{{{t^7}}}{7} - \frac{{{t^5}}}{5} + \frac{{{t^3}}}{3} - t + \arctan (t)} \right) + c$

Αντικαθιστώ $\displaystyle t = \sqrt[6]{{x + 1}},$ κλπ

#75

Μία παράκληση για το αυτονόητο:

Καλό είναι κάθε καινούργια άσκηση να έχει αύξοντα αριθμό τον επόμενο αυτού που μόλις εμφανίστηκε.

Έλαβα προσωπικό μήνυμα από συνάδελφο που επισημαίνει ότι

Παρατήρησα ότι υπάρχει 3 φορές η άσκηση 13 με διαφορετική άσκηση στα post 35, 41, 44.
Θα πρότεινα την μετονομασία των post 41, 44 σε "ΑΣΚΗΣΗ 13_Α" και "ΑΣΚΗΣΗ 13_Β" αντιστοίχως.
Φυσικά δεν είναι τεράστιας σημασίας το θέμα αλλά ίσως να γίνει μπέρδεμα σε μελλοντικές αναφορές.
Καλό σας βράδυ, καλή χρονιά.

Έχει δίκιο! Επίσης η Άσκηση

εμφανίζεται στα ποστ

και

.

Επίσης καλό είναι όταν απαντάμε σε μία άσκηση, να δηλώνουμε σε ποια ακριβώς άσκηση απαντάμε. Αυτό γίνεται είτε
αναγράφοντας τον αύξοντα αριθμό της άσκησης, είτε παραθέτοντας την εκφώνηση (που γίνεται αυτόματα πατώντας το
κουμπί παράθεσης πάνω δεξιά του παραθύρου).

-----------------------

Η Άσκηση

μένει αναπάντητη.

#76

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 25, 2019 12:20 pm
Άσκηση 24

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\displaystyle { \int \frac{1+\sqrt x}{\sqrt [3] {x} + \sqrt [4]{x^3} }\, dx }}$

(Απλή με τηνt σωστή αλλαγή μεταβλητής).

$\displaystyle{x=t^{12}$
τότε
$\displaystyle{I=12\int\frac{t^{13}+t^7}{t^5+1}dt=12\int{t^8-t^3+t^2+\frac{-t^3+t^2}{(t+1)(t^4-t^3+t^2-t+1)}dt}$
ο παρονομαστής εύκολα παραγοντοποιείται ως $\displaystyle{(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)}$
καταλήγουμε σε γνωστά $\displaystyle{\int }$ ρητών συναρτήσεων

#77

R BORIS έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 25, 2019 6:44 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 25, 2019 12:20 pm
Άσκηση 24

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\displaystyle { \int \frac{1+\sqrt x}{\sqrt [3] {x} + \sqrt [4]{x^3} }\, dx }}$

(Απλή με τηνt σωστή αλλαγή μεταβλητής).
$\displaystyle{x=t^{12}$
τότε
$\displaystyle{I=12\int\frac{t^{13}+t^7}{t^5+1}dt=12\int{t^8-t^3+t^2+\frac{-t^3+t^2}{(t+1)(t^4-t^3+t^2-t+1)}dt}$
ο παρονομαστής εύκολα παραγοντοποιείται ως $\displaystyle{(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)}$
καταλήγουμε σε γνωστά $\displaystyle{\int }$ ρητών συναρτήσεων

Ροδόλφε, σωστά.

Θα ήταν καλύτερ να ζήταγα το $\displaystyle{ \int \frac{1+\sqrt x}{\sqrt [3] {x} + \sqrt [4]{x} }\, dx }$ (δηλαδή μικρή αλλαγή στον δεύτερο προσθετέο του παρονομαστή) ώστε με ακριβώς την ίδια εργασία να καταλήξουμε στο

$\displaystyle{12\int\frac{t^{14}+t^8}{t+1}dt= 12\int\frac{t^{8}(t^6-1)+2(t^8-1)+2}{t+1}dt}$ που είναι ... ανθρώπινο από τις

$\dfrac{t^6-1}{t+1}=t^5-t^4+t^3-t^2+t-1$ , και λοιπά.

KARKAR · #78

Άσκηση 26

Υπολογίστε το : $\displaystyle \int \left ( \frac{1}{lnx} -\frac{1}{ln^2x}\right )dx$

(Συμπλήρωσα την αρίθμηση )

Tolaso J Kos · #79

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 25, 2019 9:43 pm
Υπολογίστε το : $\displaystyle \int \left ( \frac{1}{lnx} -\frac{1}{ln^2x}\right )dx$

Γεια σου Θανάση. Έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int \left ( \frac{1}{\ln x} - \frac{1}{\ln^2 x} \right ) \, \mathrm{d}x &= \int \left ( \frac{\ln x -x \cdot \frac{1}{x}}{\ln^2 x} \right ) \, \mathrm{d}x \\ &=\int \frac{(x)' \ln x - x \left ( \ln x \right )'}{\ln^2 x} \, \mathrm{d}x \\ &= \int \left ( \frac{x}{\ln x} \right ) ' \, \mathrm{d}x \\ &= \frac{x}{\ln x} + c \; , \; c \in \mathbb{R} \end{aligned}}$

Tolaso J Kos · #80

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 25, 2019 9:43 pm
Υπολογίστε το : $\displaystyle \int \left ( \frac{1}{lnx} -\frac{1}{ln^2x}\right )dx$

Πέρα από το παραπάνω μπορούμε να σπάσουμε το ολοκλήρωμα και στο δεύτερο να κάνουμε παράγοντες !

Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση