μεσημεριανό ολοκλήρωμα 16

mathxl · #1

Να υπολογίσετε το όριο
$\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{(2n+1)\int_{0}^{1}x^{n-1}\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)dx}{(n+1)^{2}\int_{0}^{1}x^{n-1}\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)dx}\ \ (n=1,\ 2,\ \cdots). }$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

mathxl έγραψε:Να υπολογίσετε το όριο
$\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{(2n+1)\int_{0}^{1}x^{n-1}\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)dx}{(n+1)^{2}\int_{0}^{1}x^{n-1}\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)dx}\ \ (n=1,\ 2,\ \cdots). }$
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
2010 Hosei University entrance exam/Bioscience and Applied Chemistry

Έχω βγάλει (έλπίζω χωρίς λάθος) ότι το όριο του αριθμητή είναι 2. Στον παρονομαστή κολλάω.

Τα βήματα της απόδειξής μου στηρίζονται στην ιδέα του Peter εδώ, αφού έχω πάλι ότι $\displaystyle{(2n+1)x^{n-1}\sin\big(\frac{\pi}{2}x\big)\stackrel{o\mu}{\longrightarrow}0}$ στο $\displaystyle{[0,a]}$ με 0<a<1

.

Καμμια ιδέα κανείς..;

#3

Έστω $\displaystyle{I_n(a,b)=\int_a^b x^{n-1} \sin(x)\,dx}$ και έστω $\displaystyle{J_n(a,b)= \int_a^b x^{n-1} \cos(x)\,dx}$ .

Τότε

$\displaystyle{\frac{I_n(0,\pi/2)}{J_n(0,\pi/2)}\leq \frac{I_n(0,\pi/4)}{J_n(0,\pi/4)}+\frac{I_n(\pi/4,\pi/2)}{J_n(\pi/4,\pi/2}\leq 1+\sqrt{2}}$ .

Άρα, η δοθείσα ακολουθία θετικών όρων είναι φραγμένη άνω από

$\displaystyle{\frac{(2n+1)}{(n+1)^2}\cdot (1+\sqrt{2})\to 0}$ ,

καθώς $\displaystyle{n \to \infty}$ .

Συνεπώς το όριο είναι μηδέν. **Η ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΑΥΤΗ ΕΙΝΑΙ ΛΑΘΟΣ. ΔΕΙΤΕ ΚΑΙ ΠΑΡΑΚΑΤΩ**.

Αχιλλέας

γράφω από κινητό. Ελπίζω να μην έκανα κάπου λάθος.

#4

Ας δούμε και το link που μου έστειλε ο Βασίλης με κάποιες προσεγγίσεις για το θέμα στο mathlinks.

Το αποτέλεσμα που βγάζουν εκεί είναι $\displaystyle{\frac{4}{\pi}}$ .

Εκεί γίνεται χρήση κάποιων ιδιοτήτων, ισχύος μάλλον αμφίβολης.

Νομίζω αξίζει τον κόπο να μελετηθούν και τα όρια αριθμητή - παρονομαστή ξεχωριστά.

Το έχω βάλει σε ξεχωριστό τόπικ εδώ.

#5

Που κάνω λάθος, λοιπόν;

Αχιλλέας

#6

Αχιλλέα μπορεί και να μην κάνεις λάθος. Απλά έβαλα το link για να γίνει κουβέντα. Ούτως ή άλλως οι ιδιότητες που χρησιμοποιούν στις λύσεις του mathlinks, τουλάχιστον εμένα, όπως είπα, δεν μου ήταν γνωστές..

#7

Μμμμ..το λάθος μου είναι, μάλλον, στην ανισότητα

$\displaystyle{\frac{I(\pi/4,\pi/2)}{J(\pi/4,\pi/2)}\leq \sqrt{2}}$ .

Δεν ισχύει!

Να με συγχωρείται!

Αχιλλέας

μεσημεριανό ολοκλήρωμα 16

μεσημεριανό ολοκλήρωμα 16

Re: μεσημεριανό ολοκλήρωμα 16

Re: μεσημεριανό ολοκλήρωμα 16

Re: μεσημεριανό ολοκλήρωμα 16

Re: μεσημεριανό ολοκλήρωμα 16

Re: μεσημεριανό ολοκλήρωμα 16

Re: μεσημεριανό ολοκλήρωμα 16

Μέλη σε σύνδεση