Αθροίσματα Τετραγώνων

#1

Θεωρούμε αριθμούς a,b,c,d

τέτοιους ώστε

$\displaystyle \begin{aligned} a^3-3ab^2&=16,\\ b^3-3a^2b&=42,\\ c^3-3cd^2&=24,\\ d^3-3c^2d&=38\\ \end{aligned}$

Να βρεθεί ο λόγος $\left(\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}\right)^3.$

Επεξεργασία: Για την απλοποίηση του προβλήματος, άλλαξα το αρχικό ζητούμενο από τον λόγο $\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}$ , ο οποίος μπορεί να είναι μιγαδικός αριθμός, στον κύβο του λόγου αυτού.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#2

Υποθέτω ότι οι $\displaystyle{a,b,c,d}$ είναι πραγματικοί.

Είναι

$\displaystyle{(a+bi)^3=a^3+3a^2bi-3ab^2-b^3i=16-42i\implies (a^2+b^2)^3=16^2+42^2=2020.}$

Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο βρίσκουμε ότι $\displaystyle{(c^2+d^2)^3=24^2+38^2=2020.}$

Άρα ο ζητούμενος λόγος ισούται με $\displaystyle{1}$ .

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

achilleas έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 27, 2020 7:07 pm
Θεωρούμε αριθμούς τέτοιους ώστε

$\displaystyle \begin{aligned} a^3-3ab^2&=16,\\ b^3-3a^2b&=42,\\ c^3-3cd^2&=24,\\ d^3-3c^2d&=38\\ \end{aligned}$

Να βρεθεί ο λόγος $\left(\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}\right)^3.$

Επεξεργασία: Για την απλοποίηση του προβλήματος, άλλαξα το αρχικό ζητούμενο από τον λόγο $\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}$ , ο οποίος μπορεί να είναι μιγαδικός αριθμός, στον κύβο του λόγου αυτού.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Χωρίς χρήση μιγαδικών:

$\left ( a^2+b^2 \right )^3=a^6+b^6+3a^4b^2+3b^4a^2=a^6+b^6+9a^4b^2+9b^4a^2-6a^4b^2-6b^4a^2=\left ( a^6-6a^4b^2+9a^2b^4 \right )+..+(b^6-6a^2b^4+9a^4b^2)=\left ( a^3-3ab^2 \right )^2+\left ( b^3-3a^2b \right )^2=16^2+42 ^2=2020=24^2+38^2= \\ \,\,\,\,..= (c^3-3cb^2)^2+(b^3-3bc^2)=(c^2+b^2)^3\Leftrightarrow \left (\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2} \right )^3=1$

Αθροίσματα Τετραγώνων

Αθροίσματα Τετραγώνων

Re: Αθροίσματα Τετραγώνων

Re: Αθροίσματα Τετραγώνων

Μέλη σε σύνδεση