Τιμή τριγωνομετρικού

Tolaso J Kos · #1

Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\sin 27^\circ = \frac{\sqrt{5+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}}{4}}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Ιαν 25, 2020 8:29 pm Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\sin 27^\circ = \frac{\sqrt{5+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}}{4}}$

Δεν καταλαβαίνω το νόημα της ανάρτησης.

Είναι $\cos 54=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$

και $\sin 27=\sqrt{\frac{1-\cos 54}{2}}$

Αντικαθιστούμε κάνουμε τις πράξεις και βλέπουμε ότι ισχύει.

Δεν νομίζω ότι θα έπρεπε να κάνω και τις πράξεις.

Με την ευκαιρία ωραίο είναι το
https://en.wikipedia.org/wiki/Trigonome ... l_radicals

#3

Καλησπέρα σε όλους.

Θεωρώ δεδομένο το $\displaystyle \sigma \upsilon \nu 54^\circ = \frac{{\sqrt {10 - 2\sqrt 5 } }}{4}$ . Κλασική εφαρμογή τύπου τριπλασίου τόξου.

Κατόπιν κινούμαι ανάποδα,κατασκευάζοντας το ανάπτυγμα του ζητούμενου τύπου.

Είναι $\displaystyle \eta \mu 27^\circ = \sqrt {\frac{{1 - \sigma \upsilon \nu 54^\circ }}{2}} = \sqrt {\frac{{4 - \sqrt {10 - 2\sqrt 5 } }}{8}}$

$\displaystyle = \frac{{\sqrt {8 - 2\sqrt {10 - 2\sqrt 5 } } }}{4} = \frac{{\sqrt {\left( {5 + \sqrt 5 } \right) + \left( {3 - \sqrt 5 } \right) - 2\sqrt {\left( {5 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right)} } }}{4}$

$\displaystyle = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt {5 + \sqrt 5 } - \sqrt {3 - \sqrt 5 } } \right)}^2}} }}{4} = \frac{{\sqrt {5 + \sqrt 5 } - \sqrt {3 - \sqrt 5 } }}{4}$

edit: Όσο έγραφα δεν είχα δει την ανάρτηση του Σταύρου, που περιγράφει την πορεία που ακολούθησα.
Αν θυμάμαι καλά υπάρχει και πιο κλασική λύση όπου υπολογίζουμε το ημίτονο και το συνημίτονο των 27^0

λύνοντας σύστημα συναρτήσει του ημιτόνου των 54^0

. Εκεί ζητείται να βρεθούν το το ημίτονο και το συνημίτονο των 27^0

δίχως να δίνεται η απάντηση, όπως εδώ.

#4

Και μία παρανοϊκή σκέψη:

$\displaystyle \sin 3^\circ = \sin (18^\circ - 15^\circ ) = \frac{1}{{16}}\left( {\sqrt 6 + \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 5 - 1} \right) - \frac{1}{8}\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\sqrt {5 + \sqrt 5 }$

Ομοίως, $\displaystyle \cos 3^\circ = \frac{1}{8}\left( {\sqrt 3 + 1} \right)\sqrt {5 + \sqrt 5 } + \frac{1}{{16}}\left( {\sqrt 6 - \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 5 - 1} \right)$

$\displaystyle \sin 27^\circ = \sin (30^\circ - 3^\circ ) = \frac{1}{2}\cos 3^\circ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 3^\circ = ...$ και καταλήγω στο ζητούμενο αποτέλεσμα (*).

(*) Στο τέλος χρειάζεται να δειχτεί ότι $\displaystyle \frac{{\sqrt 2 }}{8}\left( {\sqrt 5 - 1} \right) = \frac{{\sqrt {3 - \sqrt 5 } }}{4}$ που είναι απλό.

Τιμή τριγωνομετρικού

Τιμή τριγωνομετρικού

Re: Τιμή τριγωνομετρικού

Re: Τιμή τριγωνομετρικού

Re: Τιμή τριγωνομετρικού

Μέλη σε σύνδεση