Σύστημα ( III )

Γενικά θέματα Μαθηματικών καί περί Μαθηματικών

Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4328
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Σύστημα ( III )

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Σεπ 01, 2019 11:47 am

Να λυθεί πάνω από το \mathbb{R} το σύστημα:

\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
\left ( m^2-1 \right )^2+3 & = &\dfrac{6m^5n}{m^2+2} \\\\  
3n-m & = &  \sqrt{\dfrac{4m-3m^2n-9mn^2}{m+3n}} 
\end{matrix}\right.}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1842
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Σύστημα ( III )

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Τρί Φεβ 18, 2020 1:03 am

Επαναφορά


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9378
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σύστημα ( III )

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Φεβ 19, 2020 7:46 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Σεπ 01, 2019 11:47 am
Να λυθεί πάνω από το \mathbb{R} το σύστημα:

\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
\left ( m^2-1 \right )^2+3 & = &\dfrac{6m^5n}{m^2+2} \\\\  
3n-m & = &  \sqrt{\dfrac{4m-3m^2n-9mn^2}{m+3n}} 
\end{matrix}\right.}
Στηρίζομαι στην ταυτότητα \boxed{(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3} (εκτός αν υπάρχει κάποιο τέχνασμα που δεν βλέπω).

Από την πρώτη εξίσωση παίρνω: \boxed{n = \frac{{{m^6} + 8}}{{6{m^5}}}} με mn>0 και υψώνω τη δεύτερη στο τετράγωνο για 3n\ge m:

\displaystyle {(3n - m)^2} = \frac{{4m}}{{m + 3n}} - 3mn \Leftrightarrow (9{n^2} - 3mn + {m^2})(m + 3n) = 4m \Leftrightarrow \boxed{n = \frac{1}{3}\sqrt[3]{{4m - {m^3}}}}

Τέλος θέτω \displaystyle n = \frac{m}{x},x > 0 και καταλήγω στην \displaystyle 3{x^9} - 16{x^8} + 27{x^6} + 729{x^3} + 6561 = 0 που γράφεται:

\displaystyle ({x^3} - 6{x^2} + 27)(3{x^6} + 2{x^5} + 12{x^4} + 18{x^3} + 54{x^2} + 243) = 0. Επειδή όμως x>0, θα είναι

x^3-6x^2+27=0\Rightarrow x=3 ή x=\dfrac{3}{2}(\sqrt 5+1), απ' όπου τελικά(αν δεν έχει γίνει κάποιο λάθος) παίρνω:

\boxed{m = \sqrt 2 ,n = \frac{{\sqrt 2 }}{3}} ή \boxed{m = -\sqrt 2 ,n =- \frac{{\sqrt 2 }}{3}} ή \boxed{m =  - \sqrt {\sqrt 5  + 1} ,n =  - \frac{{\sqrt {\sqrt 5  - 1} }}{3}}


Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Σεπ 01, 2019 11:47 am
Να λυθεί πάνω από το \mathbb{R} το σύστημα:
Τι σημαίνει πάνω από το \mathbb{R}; Μήπως είναι μετάφραση από τ' αγγλικά;


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης