Συναντίληψη

KARKAR · #1

: Συναντίληψη.png (12.93 KiB) Προβλήθηκε 329 φορές

Στις πλευρές AB , BC , CD , DA

, ορθογωνίου ABCD

, θεωρούμε σημεία K , L , M , N

αντίστοιχα ,

με μοναδική απαίτηση να είναι $NL \parallel AB$ . Φέρουμε : $AP\perp LM ,NQ\perp MK , DT\perp KL$ .

Δείξτε ότι τα τμήματα AP , NQ , DT

συντρέχουν ( ας πούμε στο σημείο

) .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 27, 2020 9:55 pm
Συναντίληψη.pngΣτις πλευρές , ορθογωνίου , θεωρούμε σημεία αντίστοιχα ,

με μοναδική απαίτηση να είναι $NL \parallel AB$ . Φέρουμε : $AP\perp LM ,NQ\perp MK , DT\perp KL$ .

Δείξτε ότι τα τμήματα συντρέχουν ( ας πούμε στο σημείο ) .

: Συναντίληψη.png (25.56 KiB) Προβλήθηκε 291 φορές

Έστω

το σημείο τομής των εκ των A,D

στις

αντίστοιχα και θα δείξουμε ως ισοδύναμο πρόβλημα ότι $NS\bot KM$

Έστω F,Q

οι ορθές προβολές του

στις

αντίστοιχα. Προφανώς οι NF,NQ

είναι ίσες με τις ορθές προβολές του

στις

αντίστοιχα

Τα ορθογώνια τρίγωνα $\vartriangle AQN,\vartriangle MCL$ είναι όμοια αφού προφανώς (εκτός των ορθών τους γωνιών) είναι και $\angle NAQ=\angle LMC$ (οξείες με κάθετες πλευρές του ίδιου προσανατολισμού), άρα ισχύει : $\dfrac{NQ}{NA}=\dfrac{LC}{LM}\Rightarrow NQ\cdot LM=NA\cdot LC:\left( 1 \right)$
Ομοίως από τα όμοια τρίγωνα $\vartriangle NFD,\vartriangle LBD$ προκύπτει ότι: $\dfrac{NF}{ND}=\dfrac{LB}{LK}\Rightarrow NF\cdot LK=ND\cdot LB:\left( 2 \right)$
Από τις σχέσεις $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ και με $NA\cdot LC=ND\cdot LB$ (όπως εύκολα προκύπτει από τα ορθογώνια ABLN,LCDN

θα έχουμε ότι: $NQ\cdot LM=NF\cdot LK\Rightarrow \dfrac{NQ}{NF}=\dfrac{LK}{LM}:\left( 3 \right)$
Από τη σχέση $\left( 3 \right)$ σύμφωνα με το https://www.cut-the-knot.org/m/Geometry ... tras.shtml προκύπτει ότι $NS\bot MK$ και το ισοδύναμο πρόβλημα έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Συναντίληψη

Συναντίληψη

Re: Συναντίληψη

Μέλη σε σύνδεση