Μη αρνητική

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11614
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μη αρνητική

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Φεβ 27, 2020 12:23 pm

Για a>0 , ορίζω την συνάρτηση : f(x)=x-a\sqrt{x}-lnx , x>0 .

α) Αν a=3 , βρείτε το ελάχιστο της f .

β) Δείξτε ότι υπάρχει τιμή του a , για την οποία το ελάχιστο της f , είναι το 0 .



Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1538
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Μη αρνητική

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Κυρ Μαρ 01, 2020 1:13 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Φεβ 27, 2020 12:23 pm
Για a>0 , ορίζω την συνάρτηση : f(x)=x-a\sqrt{x}-lnx , x>0 .

α) Αν a=3 , βρείτε το ελάχιστο της f .

β) Δείξτε ότι υπάρχει τιμή του a , για την οποία το ελάχιστο της f , είναι το 0 .

...μιά αντιμετώπιση....

α) Είναι f(x)=x-3\sqrt{x}-lnx,x>0 με {f}'(x)=1-3\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x}=\frac{2x-3\sqrt{x}-2}{2\sqrt{x}} και

{f}'(x)=0\Leftrightarrow 2x-3\sqrt{x}-2=0\Leftrightarrow 2{{\sqrt{x}}^{2}}-3\sqrt{x}-2=0 απ όπου δεκτή ρίζα

\sqrt{x}=2\Leftrightarrow x=4 και επειδή {f}'(x)<0\Leftrightarrow x<4,\,{f}'(x)>0\Leftrightarrow x>4 η

f έχει ελάχιστο το f(4)=4-6-ln4=-2-2ln2

β) Τώρα με f(x)=x-a\sqrt{x}-lnx , x>0 είναι {f}'(x)==\frac{2x-a\sqrt{x}-2}{2\sqrt{x}} και

{f}'(x)=0\Leftrightarrow 2x-a\sqrt{x}-2=0\Leftrightarrow 2{{\sqrt{x}}^{2}}-a\sqrt{x}-2=0 και επειδή

\Delta ={{a}^{2}}+16>0 έχουμε δεκτή ρίζα την \sqrt{{{x}_{0}}}=\frac{a+\sqrt{{{a}^{2}}+16}}{4}\Leftrightarrow {{x}_{0}}=\frac{1}{16}{{(a+\sqrt{{{a}^{2}}+16})}^{2}}

που η fσε αυτό το {{x}_{0}} έχει ελάχιστο το f({{x}_{0}})={{x}_{0}}-a\sqrt{{{x}_{0}}}-ln{{x}_{0}},x>0 και επειδή

{f}'({{x}_{0}})=0\Leftrightarrow 2{{x}_{0}}-a\sqrt{{{x}_{0}}}-2=0\Leftrightarrow {{x}_{0}}-a\sqrt{{{x}_{0}}}=2-{{x}_{0}} είναι f({{x}_{0}})=2-{{x}_{0}}-ln{{x}_{0}},{{x}_{0}}>0

Τώρα για την g(x)=2-x-lnx,x>0 που είναι συνεχής και παραγωγίσιμη με

{g}'(x)=-1-\frac{1}{x}<0,\,\,x>0άρα γνήσια φθίνουσα και

\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=+\infty ,\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(2-(x+lnx))=-\infty

έχει σύνολο τιμών το R άρα έχει και μοναδική ρίζα επομένως υπάρχει τιμή του a , για την οποία το ελάχιστο της f , είναι το 0

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες