Κυρτότητα και χορδή

KARKAR · #1

: Κυρτότητα και χορδή.png (5.07 KiB) Προβλήθηκε 1583 φορές

Η συνάρτηση

είναι κυρτή στο [a,b]

. Θέλουμε να προσεγγίσουμε το $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx$ , με το εμβαδόν

του τραπεζίου . Ισχυριζόμαστε λοιπόν ότι η $C_{f}$ , βρίσκεται κάτω από την χορδή

, με την ισότητα

να ισχύει μόνο στα άκρα κ.λ.π. Αυτό - αν και προφανές - δεν αναφέρεται πουθενά στο σχολικό βιβλίο ,

αντίθετα με πολλά βοηθήματα που το αναφέρουν . Ας δώσουμε λοιπόν κάποια απόδειξη του λήμματος .

Nikos002 · #2

Ή χορδή έχει εξίσωση $y_a_b-f(a)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\Leftrightarrow y_a_b=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)$
Θα δείξουμε ότι:
$f(x)\leq y_a_b$ για κάθε $x\in[a,b]$

Για x=a

Ή

ισχύει ως ισότητα
Ή

είναι κυρτή άρα

γνησιως αύξουσα στο (a,b)

ΘΜΤ στο

και στο

$\exists t\in(a,x)$ τέτοιο ώστε
$f'(t)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

$\exists u\in(x,b)$ τέτοιο ώστε
$f'(u)=\frac{f(b)-f(x)}{b-x}$
$t<u\Leftrightarrow f'(t)<f'(u)\Leftrightarrow ....$ $f(x)<y_a_b \forall x\in(a,b)$
Άρα $f(x)\leq y_a_b$ για κάθε $x\in[a,b]$

Αν έχω κάποιο λάθος διορθώστε με

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Το θέμα δεν έχει σχέση με Ολοκληρωτικό Λογισμό αλλά με Διαφορικό.
Το ότι χρησιμοποιείται και για Ολοκληρώματα δεν σημαίνει οτι έχει θέση εκεί.

Ο κανονικός ορισμός της κυρτής είναι
Η $f:I\rightarrow \mathbb{R}$
είναι κυρτή αν για $a,b \in I$
και $t\in (0,1)$
ισχύει $f(ta+(1-t)b)\leq tf(a)+(1-t)f(b)$

Γνήσια κυρτή είναι αν f(ta+(1-t)b)< tf(a)+(1-t)f(b)

.

Θέλουμε να αποδείξουμε ότι αν η

είναι γνησίως αύξουσα τότε
η

είναι γνήσια κυρτή.
Απόδειξη
Εστω $a,b \in I,a<b$ και $t\in (0,1)$

Θεωρούμε την $g(x)=f(ta+(1-t)x)- tf(a)-(1-t)f(x),x\in [a,b]$
Είναι g(a)=0

και

Για

είναι

και αφού η

είναι γνησίως αύξουσα

προκύπτει ότι για x>a

είναι

.

Αρα η

είναι γνησίως φθίνουσα όποτε είναι g(b)<g(a)=0

που είναι η ζητούμενη.

Κυρτότητα και χορδή

Κυρτότητα και χορδή

Re: Κυρτότητα και χορδή

Re: Κυρτότητα και χορδή

Μέλη σε σύνδεση