O.D.E

#1

για να θυμηθούμε λίγο τις ΔΕ
να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ αν $\displaystyle{f''(x)=(1+x^2)f(x),f(x)\ne 0,x\in \Delta}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

R BORIS έγραψε: Τετ Μαρ 04, 2020 6:23 pm για να θυμηθούμε λίγο τις ΔΕ
να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ αν $\displaystyle{f''(x)=(1+x^2)f(x),f(x)\ne 0,x\in \Delta}$

Είναι γραμμική δεύτερης τάξης με μη σταθερούς συντελεστες.
Για να λυθεί πρέπει να βρεθεί μια ειδική λύση.
Βρίσκουμε με το μάτι ότι η
$\displaystyle f(x)=e^{\frac{x^{2}}{2}}$
είναι λύση.
Θέτουμε $\displaystyle f(x)=e^{\frac{x^{2}}{2}}z(x)$
Αντικαθιστώντας στην εξίσωση και κάνοντας ανιαρές πράξεις καταλήγουμε στο
$\displaystyle z(x)=\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}dt$
Ετσι η γενική λύση είναι η
$\displaystyle (c_{1}+c_{2}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}dt)e^{\frac{x^{2}}{2}}$

#3

πως σκέφτηκα
$\displaystyle{(f'/f)'+(f'/f)^2=(f''/f)=1+x^2}$
Θετω
$\displaystyle{f'/f=y}$
Tότε
$\displaystyle{y'+y^2=1+x^2}$ Riccati με προφανή λυση $\displaystyle{y=x}$
Θετω
$\displaystyle{y=x+1/u}$
Tότε
$\displaystyle{1-u'/u^2+x^2+1/u^2+2x/u=1+x^2}$ ή $\displaystyle{u'-2xu=1}$ ή $\displaystyle{(e^{-x^2}u)'=(\int{e^{-x^2}dx)'}$ ή $\displaystyle{u=(c_1+\int{e^{-x^2}}dx)e^{x^2}}$
άρα
$\displaystyle{y=x+e^{-x^2}/(c_1+\int{e^{-x^2}}dx)}$
kαι
$\displaystyle{f=c_2+e^{\int {x+e^{-x^2}/(c_1+\int{e^{-x^2}dx)}dx}}}$
μαλλον καποιο λάθος υπαρχει αλλά δεν το βλεπω

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

R BORIS έγραψε: Πέμ Μαρ 05, 2020 7:26 pm πως σκέφτηκα
$\displaystyle{(f'/f)'+(f'/f)^2=(f''/f)=1+x^2}$
Θετω
$\displaystyle{f'/f=y}$
Tότε
$\displaystyle{y'+y^2=1+x^2}$ Riccati με προφανή λυση $\displaystyle{y=x}$
Θετω
$\displaystyle{y=x+1/u}$
Tότε
$\displaystyle{1-u'/u^2+x^2+1/u^2+2x/u=1+x^2}$ ή $\displaystyle{u'-2xu=1}$ ή $\displaystyle{(e^{-x^2}u)'=(\int{e^{-x^2}dx)'}$ ή $\displaystyle{u=(c_1+\int{e^{-x^2}}dx)e^{x^2}}$
άρα
$\displaystyle{y=x+e^{-x^2}/(c_1+\int{e^{-x^2}}dx)}$
kαι
**** $\displaystyle{f=c_2+e^{\int {x+e^{-x^2}/(c_1+\int{e^{-x^2}dx)}dx}}}$ ***
μαλλον καποιο λάθος υπαρχει αλλά δεν το βλεπω

Λάθος υπάρχει στη τελευταία σχέση.(την έχω βάλει σε *)

Αν θέσουμε
$\displaystyle g(x)=e^{-x^2}/(c_1+\int{e^{-x^2}}dx$
τότε παίρνουμε
$\displaystyle f(x)=c_{2}e^{\frac{x^{2}}{2}}e^{\int g(x)dx}$
Δεν έχουμε την γενική λύση και ο λόγος είναι απλός.
Εχουμε υποθέσει ότι $f(x)\neq 0$ .

Πέρα από την πλάκα(την βρήκα με το μάτι) την $e^{\frac{x^{2}}{2}}$
την βρήκα με πολύ κόπο και πολύ τύχη.
Αφού έκανα αποτυχημένες προσπάθειες με αλλαγή μεταβλητής
πήγα να βρω την λύση με δυναμοσειρά και δοκιμάζοντας την βρήκα.
Τώρα που το βλέπω μπορεί να προκύψει θέτοντας $f(x)=e^{h(x)}$ .
Από την εμπειρία μου συνήθως στην επίλυση διαφορικών εξισώσεων
που δεν λύνονται με κάποια μέθοδο τα καταφέρνουν καλά οι Φυσικοί και οι Μηχανικοί.

#5

και όπως είναι γνωστό , είμαι ενας από αυτούς

O.D.E

O.D.E

Re: O.D.E

Re: O.D.E

Re: O.D.E

Re: O.D.E

Μέλη σε σύνδεση