Συλλογή Ασκήσεων

sidchris · #1

Δημιούργησα το θέμα αυτό για να ανεβάζω ασκήσεις μιας δυσκολίας και να είναι όλες μαζί

sidchris · #2

Άσκηση 1η
Δίνονται οι ευθείες $\displaystyle{\lambda (x + 1) - y = \lambda {e^\lambda }}$ και $\displaystyle{x + \lambda y = {e^\lambda } + {\lambda ^2}}$ και η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = {e^x} + x}$
α)Να δειχθεί ότι οι ευθείες τέμνονται σε ένα σημείο
β)Να δειχθεί ότι ότι η συνάρτηση f(x)

είναι αύξουσα
γ)Αν το σημείο τομής των δυο ευθειών ανήκει στην ευθεία y=1-x

τότε να βρεθεί το $\displaystyle{\lambda }$
δ)Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{lnx - e = 1 - x}$

sidchris · #3

Άσκηση 2η
α)Να βρεθεί πολυώνυμο P(x)

3ου βαθμού με ακέραιες ,όχι θετικές ρίζες αν ισχύει ότι P(1)=6

β) Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{P(x) = \frac{{( - {\kappa ^2} + 2\kappa - 2)}}{{(x + 3)}}}$ αν γνωρίζουμε ότι έχει τέσσερεις πραγματικές ρίζες
γ) Να βρεθεί πολυώνυμο Q(x)

4ου βαθμού με Q(0)=0

ώστε να ισχύει
Q(x)-Q(x-1)=P(x)

δ) Να υπολογιστεί το άθροισμα $\displaystyle{{\rm{S = 1}} \cdot {\rm{2}} \cdot {\rm{3 + 2}} \cdot {\rm{3}} \cdot {\rm{4 + }}........{\rm{ + }}\nu\left( {\nu + 1} \right)\left( {\nu + 2} \right)}$ ως συνάρτηση του $\displaystyle{\nu }$

sidchris · #4

Άσκηση 3η
α) Να βρεθεί το πολυώνυμο

που ικανοποιεί την σχέση
$\displaystyle{2f(x) - f(x - 1) = {x^2} + (x + 1)\left( {\alpha + 2} \right)}$ (1) για κάθε $\displaystyle{x \in R}$
β) Να βρεθεί η συνάρτηση $g:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ που ικανοποιεί την σχέση
g(x+1) ≤x≤g(x)+1

(2) για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb R}$
γ) Αν το γράφημα της συνάρτησης

εφάπτεται στο γράφημα της

, να βρεθεί το

KARKAR · #5

Δείτε και εδώ

KARKAR · #6

sidchris έγραψε:Δίνονται οι ευθείες $\displaystyle{\lambda (x + 1) - y = \lambda {e^\lambda }}$ και $\displaystyle{x + \lambda y = {e^\lambda } + {\lambda ^2}}$ και η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = {e^x} + x}$
α)Να δειχθεί ότι οι ευθείες τέμνονται σε ένα σημείο
β)Να δειχθεί ότι ότι η συνάρτηση είναι αύξουσα
γ)Αν το σημείο τομής των δυο ευθειών ανήκει στην ευθεία τότε να βρεθεί το $\displaystyle{\lambda }$
δ)Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{lnx - e = 1 - x}$

Ας δώσουμε μια λύση στη πρώτη άσκηση ( Η αρίθμηση των ασκήσεων θα ήταν χρήσιμη )

α) Οι δύο ευθείες ( θεωρείται δεδομένο ότι είναι ευθείες ) , δημιουργούν το σύστημα $\begin{Bmatrix} \lambda x-y & = \lambda e^{\lambda} -\lambda \\ x+\lambda y& = e^{\lambda}+\lambda ^2 \end{Bmatrix}$ ,

το οποίο έχοντας ορίζουσα $D=\lambda ^2+1$ , έχει πάντα μοναδική λύση , η οποία δίνει το σημείο τομής $A(e^{\lambda},\lambda )$

β) Εφαρμογή του ορισμού .

γ) Ισοδύναμα $\lambda =1-e^{\lambda}\Leftrightarrow e^{\lambda }+ \lambda =1$ . Παρατηρώ ότι το $\lambda =0$ , είναι μία λύση και λόγω

της μονοτονίας της συνάρτησης f(x)=e^x+x

, είναι και μοναδική .

δ) Η εξίσωση γράφεται : lnx+x-e-1=0

. Αλλά και η g(x)=lnx+x-e-1=0

, είναι γν. αύξουσα

με προφανή ρίζα το x=e

....Μπορούμε επίσης να παρατηρήσουμε ότι : lnx+x=e+1=f(1)

...

sidchris · #7

Άσκηση 4η
Να βρεθούν οι μη αρνητικές λύσεις του συστήματος $\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} x - y = 2\\ (x - \frac{a}{2})(y - \frac{a}{2}) = {a^2} - 1 \end{array} \right\}}$
αν το

περνει τη μέγιστη δυνατή τιμή του

sidchris · #8

Άσκηση 5η
Να λυθεί το σύστημα
$\displaystyle{\begin{array}{l} {{\rm{x}}^{\rm{3}}}{\rm{ + 1 - x}}{{\rm{y}}^{\rm{2}}}{\rm{ - }}{{\rm{y}}^{\rm{2}}}{\rm{ = 0}}\\ {{\rm{y}}^{\rm{3}}}{\rm{ + 1 - }}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{y - }}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ = 0}} \end{array}}$

Γιάννης Ι. · #9

Άσκηση 5η (Λύση)

Αφαιρώντας τις δύο σχέσεις κατά μέλη προκύπτει

${ x }^{ 3 }-{ y }^{ 3 }+yx^{ 2 }-{ xy }^{ 2 }+{ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 }=0\\ \Leftrightarrow (x-y)({ x }^{ 2 }+xy+{ y }^{ 2 })+xy(x-y)+(x-y)(x+y)=0\\ \Leftrightarrow (x-y)[{ (x+y) }^{ 2 }+x+y]=0\\ \Leftrightarrow (x-y)[(x+y)(x+y+1)]=0$

Συνεπώς y=x

ή

Αντικαθιστώντας σε μία από τις δύο εξισώσεις τις παραπάνω σχέσεις προκύπτουν τα εξής ζεύγη λύσεων (x , y): (1,1),(-1,-1), (1,-1), (-1,1), (-1,0), (0,-1)

BAGGP93 · #10

sidchris έγραψε:Άσκηση 3η
α) Να βρεθεί το πολυώνυμο που ικανοποιεί την σχέση
$\displaystyle{2f(x) - f(x - 1) = {x^2} + (x + 1)\left( {\alpha + 2} \right)}$ (1) για κάθε $\displaystyle{x \in R}$
β) Να βρεθεί η συνάρτηση $g:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ που ικανοποιεί την σχέση
(2) για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb R}$
γ) Αν το γράφημα της συνάρτησης εφάπτεται στο γράφημα της , να βρεθεί το

Καλησπέρα και καλές Αποκριές.

α)Έστω $\displaystyle{f(x)=a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0,x\in\mathbb{R}}$ με $\displaystyle{a_{n}\neq 0}$ .

Τότε, το πολυώνυμο $\displaystyle{g(x)=2f(x)-f(x-1),x\in\mathbb{R}}$ είναι βαθμού $\displaystyle{n}$

και άρα από την $\displaystyle{(1)}$ προκύπτει ότι $\displaystyle{n=2}$ .

Συνεπώς, $\displaystyle{f(x)=px^2+kx+m,x\in\mathbb{R},p\neq 0}$ .

Για κάθε $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$ είναι,

$\displaystyle{2f(x)-f(x-1)=x^2+(a+2)(x+1)\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 2px^2+2kx+2m-px^2+2px-p-kx+k-m=x^2+(a+2)x+(a+2)}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow px^2+(k+2p)x+(m+k-p)=x^2+(a+2)x+(a+2)}$

απ' όπου παίρνουμε ότι $\displaystyle{p=1, k+2p=a+2, m+k-p=a+2}$ ή ισοδύναμα $\displaystyle{p=1, k=a, m=3}$ .

Έτσι, $\displaystyle{f(x)=x^2+ax+3,x\in\mathbb{R}}$

β)Από την δοσμένη σχέση έχουμε ότι $\displaystyle{g(x)\geq x-1\ \forall x\in\mathbb{R} (\ast)}$ .

Επίσης, $\displaystyle{g(x+1)\leq x\ \forall x\in\mathbb{R}$ .

Στην τελευταία σχέση θέτοντας $\displaystyle{x\to x-1}$ προκύπτει

$\displaystyle{g(x-1+1)\leq x-1\Leftrightarrow g(x)\leq x-1}$

και άρα $\displaystyle{g(x)\leq x-1\ \forall x\in\mathbb{R} (\ast)(\ast)}$

Οι σχέσεις $\displaystyle{(\ast)}$ και $\displaystyle{(\ast)(\ast)}$ δίνουν $\displaystyle{g(x)=x-1, x\in\mathbb{R}}$

γ)Αν το γράφημα της $\displaystyle{g}$ εφάπτεται στο γράφημα της $\displaystyle{f}$ , τότε η εξίσωση

$\displaystyle{f(x)=g(x),x\in\mathbb{R}$ έχει διπλή λύση.

Όμως,

$\displaystyle{f(x)=g(x)\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow x^2+ax+3=x-1}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow x^2+(a-1)x=-4}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \left(x+\frac{a-1}{2}\right)^2=\frac{(a-1)^2}{4}-4}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{(a-1)^2}{4}-4=0}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow (a-1)^2=16}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow a-1=4\ \lor a-1=-4}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow a=5\ \lor a=-3}$

τιμές για τις οποιες εύκολα βλέπουμε ότι επαληθεύουν τις αρχικές συνθήκες της άσκησης.

sidchris · #11

Άσκηση 6η
α)Να βρεθούν οι τιμές του $\displaystyle{\kappa }$ ώστε το $\displaystyle{{x^2} + \kappa }$ είναι παράγοντας του πολυωνύμου $\displaystyle{P(x) = {x^4} - 3{x^3} + 6{x^2} - 3\kappa x + 8}$
β)Αν η γραφική παράσταση του $\displaystyle{P(x)}$ τέμνει τον άξονα $\displaystyle{xx'}$ να βρεθούν τα σημεία τομής τους
γ)Να βρεθούν οι ακέραιες συντεταγμένες που γραφική παράσταση του $\displaystyle{P(x)}$ τέμνει την ευθεία $\displaystyle{y = 26}$

sidchris · #12

Άσκηση 7η
Αν για τον πραγματικό x ισχύει $\displaystyle{{{\rm{x}}^{\rm{3}}}{\rm{ = x + 1}}}$ .Να βρεθούν τα $\displaystyle{\alpha ,\beta ,\gamma }$ έτσι ώστε $\displaystyle{{{\rm{x}}^{\rm{7}}}{\rm{ = \alpha }}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + \beta x + \gamma }}}$

hlkampel · #13

sidchris έγραψε:Άσκηση 7η
Αν για τον πραγματικό x ισχύει $\displaystyle{{{\rm{x}}^{\rm{3}}}{\rm{ = x + 1}}}$ .Να βρεθούν τα $\displaystyle{\alpha ,\beta ,\gamma }$ έτσι ώστε $\displaystyle{{{\rm{x}}^{\rm{7}}}{\rm{ = \alpha }}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + \beta x + \gamma }}}$

${x^3} = x + 1\;\left( 1 \right)$

Για να ισχύει η $\left( 1 \right)$ είναι $x \ne 0$

$\left( 1 \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{ \cdot x \ne 0} {x^4} = {x^2} + x\;\left( 2 \right)$

$\left( 1 \right) \cdot \left( 2 \right) \Rightarrow {x^7} = {x^3} + {x^2} + {x^2} + x\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} {x^7} = x + 1 + 2{x^2} + x \Rightarrow$

${x^7} = 2{x^2} + 2x + 1$

Άρα $\alpha = 2,\;\beta = 2$ και $\gamma = 1$

sidchris · #14

Δίνεται το πολυώνυμο $P(x) = \mu {x^4} + 3(\mu - 1){x^2} + 3(\mu - 1)$
α)Να βρεθούν οι τιμές του μ ώστε να έχει λύση η εξίσωση P(x) = 0

β)Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \frac{{3{x^2} + 3}}{{{x^4} + 3{x^2} + 3}} + \frac{{3{y^2} + 3}}{{{y^4} + 3{y^2} + 3}} = 2\\ \frac{{{{(x - 1)}^2}}}{{\sigma \upsilon {\nu ^2}\omega }} + (x + 1)\varepsilon {\varphi ^2}\omega = {(y - 1)^2} \end{array} \right\}$
γ)Να δείξετε ότι το P(x)

είναι άρτια συνάρτηση
δ)Αν η P(x)

τέμνει τον χχ΄ στα σημεία ${x_1},{x_2}$ να δείξετε ότι το τρίγωνο με κορυφές $\left( {{x_1},P({x_1})} \right),\left( {{x_2},P({x_2})} \right),\left( {0,P(0)} \right)$ είναι δεν είναι ορθογώνιο

sidchris · #15

Δίνεται το πολυώνυμο $P(x) = {x^3} - \alpha x + \beta$ που έχει διπλή ρίζα και γινόμενο ριζών -2
α) Να δειχθεί ότι α=3 και β=2
β) Δίνονται τα πολυώνυμα 3ου βαθμού $\displaystyle f\left( x \right)$ και $\displaystyle g\left( x \right)$ διαφορετικοί του μηδενός και με πραγματικούς συντελεστές για τα οποία ισχύει: $\left| {f(x)} \right| + \left| {g(x)} \right| = 2020 \cdot \left| {{x^3} - 3x + 2} \right|$
i. Να υπολογίσετε τους αριθμούς f(1) και g(1)
ii. Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις: f(x)=0 και g(x)=0 έχουν κοινές ρίζες.
iii. Αν λ,κ οι συντελεστές των μεγιστοβαθμιων όρων τότε να υπολογίσετε την παράσταση: $A = \left| \lambda \right| + \left| \kappa \right|$

Tolaso J Kos · #16

sidchris έγραψε: Σάβ Μαρ 07, 2020 1:11 pm Δίνετε το πολυώνυμο $P(x) = {x^3} - \alpha x + \beta$ που έχει διπλή ρίζα και γινόμενο ριζών -2
α) Να δειχθεί ότι α=3 και β=2
β) Δίνονται τα πολυώνυμα 3ου βαθμού $\displaystyle f\left( x \right)$ και $\displaystyle g\left( x \right)$ διαφορετικοί του μηδενός και με πραγματικούς συντελεστές για τα οποία ισχύει: $\left| {f(x)} \right| + \left| {g(x)} \right| = 2020 \cdot \left| {{x^3} - 3x + 2} \right|$
i. Να υπολογίσετε τους αριθμούς f(1) και g(1)
ii. Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις: f(x)=0 και g(x)=0 έχουν κοινές ρίζες.
iii. Αν α,κ οι συντελεστές των μεγιστοβαθμιων όρων τότε να υπολογίσετε την παράσταση: $A = \left| \alpha \right| + \left| \kappa \right|$

(α) Έστω $\rho_1 , \rho_2, \rho_3$ οι ρίζες του πολυώνυμου. Επειδή το πολυώνυμο $\mathrm{P}$ έχει διπλή ρίζα είναι , έστω , $\rho_1 = \rho_2$ . Από τύπους Vieta έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \left\{\begin{matrix} \rho_1 + \rho_2 + \rho_3 & = & 0 \\ \rho_1 \rho_2 \rho_3 & = & -2 \end{matrix}\right. &\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2 \rho_1 + \rho_3 & = & 0 \\\\ \rho_1^2 \rho_3 & = & -2 \end{matrix}\right. \\ &\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2\rho_1 + \rho_3 & = & 0 \\\\ \rho_1^2 \left ( -2 \rho_1 \right ) & = & -2 \end{matrix}\right. \\ &\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2 \rho_1 + \rho_3 & = &0 \\\\ -2 \rho_1^3 & = & -2 \end{matrix}\right. \\ &\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \rho_3 & = & -2 \\ \rho_1& = & 1 \end{matrix}\right. \end{aligned}}$
(β) Είναι $\mathrm{P}(x) = x^3-3x+2$ .

(i) Για x=1

είναι $\displaystyle{\left | f(1) \right | + \left | g(1) \right | = 0 \Leftrightarrow f(1) = g(1) = 0}$ .

(ii) Έπεται από το παραπάνω ερώτημα και από το γεγονός ότι:

$\displaystyle{\begin{aligned} \left | f(x) \right | + \left | g(x) \right | = 2020 \left | x^3-3x+2 \right | &\Leftrightarrow \left | f(x) \right | + \left | g(x) \right | = 2020 \left | \left ( x-1 \right )^2 \left ( x+2 \right ) \right | \end{aligned}}$
Οπότε f(-2)=g(-2)=0

.

(iii)

sidchris · #17

το α το εβαλα λ για να μην υπαρχει μπερδεμα

Εστω οτι $\begin{array}{l} f(x) = (x - 1)(x + 2)(\kappa x + \mu )\\ g(x) = (x - 1)(x + 2)(\lambda x + \pi ) \end{array}$
με αντικασταση στη σχεση

throwaway123 · #18

sidchris έγραψε: Σάβ Μαρ 07, 2020 1:08 pm δ)Αν η τέμνει τον χχ΄ στα σημεία ${x_1},{x_2}$ να δείξετε ότι το τρίγωνο με κορυφές $\left( {{x_1},P({x_1})} \right),\left( {{x_2},P({x_2})} \right),\left( {0,P(0)} \right)$ είναι δεν είναι ορθογώνιο

Εγώ βρίσκω ότι αυτά τα σημεία ταυτίζονται!

sidchris · #19

4ptil έγραψε: Πέμ Ιούλ 02, 2020 5:22 pm
sidchris έγραψε: Σάβ Μαρ 07, 2020 1:08 pm δ)Αν η τέμνει τον χχ΄ στα σημεία ${x_1},{x_2}$ να δείξετε ότι το τρίγωνο με κορυφές $\left( {{x_1},P({x_1})} \right),\left( {{x_2},P({x_2})} \right),\left( {0,P(0)} \right)$ είναι δεν είναι ορθογώνιο
Εγώ βρίσκω ότι αυτά τα σημεία ταυτίζονται!

Αν ταυτίζονταν δεν θα υπήρχε τρίγωνο. όποτε απορρίπτεται το μ=1

Συλλογή Ασκήσεων

Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση