Ημικύκλιο εντός κύκλου

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3273
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Ημικύκλιο εντός κύκλου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Δευ Μαρ 09, 2020 6:47 pm

shape.png
shape.png (22.29 KiB) Προβλήθηκε 256 φορές
Δίνεται κύκλος (O,R) και δύο χορδές του AB = CD = 4. Το ημικύκλιο διαμέτρου AB εφάπτεται στην CD στο E. Να βρείτε το R, αν CE = 3DE = 3


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11634
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ημικύκλιο εντός κύκλου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Μαρ 09, 2020 7:23 pm

tessares.png
tessares.png (25.78 KiB) Προβλήθηκε 242 φορές
... Άρα : OM =\dfrac{5}{4} και με Πυθαγόρειο : R=\dfrac{\sqrt{89}}{4}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9368
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ημικύκλιο εντός κύκλου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μαρ 10, 2020 10:44 am

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Δευ Μαρ 09, 2020 6:47 pm
shape.pngΔίνεται κύκλος (O,R) και δύο χορδές του AB = CD = 4. Το ημικύκλιο διαμέτρου AB εφάπτεται στην CD στο E. Να βρείτε το R, αν CE = 3DE = 3
Είναι, \displaystyle OM = \sqrt {{R^2} - 4} ,MD = \sqrt 5 ,\cos (\omega  + \varphi ) = \frac{1}{{\sqrt 5 }},

\displaystyle \sin (\omega  + \varphi ) = \frac{2}{{\sqrt 5 }},cos\varphi  = \frac{2}{R},\sin \varphi  = \frac{{\sqrt {{R^2} - 4} }}{R}
Ημικύκλιο εντός κύκλου.png
Ημικύκλιο εντός κύκλου.png (17.69 KiB) Προβλήθηκε 194 φορές
Νόμος συνημιτόνων στο OMD: \displaystyle {R^2} - 4 = {R^2} + 5 - 2R\sqrt 5 \cos \omega  \Leftrightarrow \boxed{\cos \omega  = \frac{9}{{2R\sqrt 5 }}} (1)

\displaystyle \cos \omega  = \cos (\omega  + \varphi )\cos \varphi  + \sin (\omega  + \varphi )\sin \varphi  = \frac{{2 + 2\sqrt {{R^2} - 4} }}{{R\sqrt 5 }}\mathop  \Rightarrow \limits^{(1)} \boxed{R = \frac{{\sqrt {89} }}{4}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7209
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ημικύκλιο εντός κύκλου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Μαρ 10, 2020 11:55 am

Ας είναι S το σημείο τομής των ίσων χορδών , AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CD. Αφού είναι ίσες θα έχουν ίσα αποστήματα OM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ON άρα NS = MS \Rightarrow \boxed{BS = DS = t}.

Από το Π. Θ. στο \vartriangle EMS έχω: {\left( {t + 2} \right)^2} = {2^2} + {\left( {t + 1} \right)^2} \Rightarrow \boxed{t = \frac{1}{2}}
Ημικύκλιο εντός κύκλου.png
Ημικύκλιο εντός κύκλου.png (25.66 KiB) Προβλήθηκε 178 φορές
Από Π. Θ. στο \vartriangle EMN έχω: MN = \sqrt 5 . Αφού τώρα \vartriangle EMN \approx \vartriangle ZMO ( Z το μέσο του MN) θα είναι :

\left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{MN}}{{OM}} = \frac{{ME}}{{MZ}} \hfill \\ 
  y = OM \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{\sqrt 5 }}{y} = \frac{4}{{\sqrt 5 }} \hfill \\ 
  y = OM \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{y = \frac{5}{4}}

Από Π. Θ. στο \vartriangle MOA βρίσκω: \boxed{{R^2} = {2^2} + {y^2} = 4 + \frac{{25}}{{16}} \Rightarrow R = \frac{{\sqrt {89} }}{4}}


Κατασκευή

Προεκτείνω την AB κατά τμήμα BS = 0,5 και φέρνω το εφαπτόμενο τμήμα SE προς το ημικύκλιο .

Προεκτείνω το SE κατά τμήμα EC = 3 και γράφω τον κύκλου (A,B,C).


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1829
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ημικύκλιο εντός κύκλου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Μαρ 10, 2020 5:57 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Δευ Μαρ 09, 2020 6:47 pm
shape.pngΔίνεται κύκλος (O,R) και δύο χορδές του AB = CD = 4. Το ημικύκλιο διαμέτρου AB εφάπτεται στην CD στο E. Να βρείτε το R, αν CE = 3DE = 3

Θεωρώντας και το ημικύκλιο διαμέτρου CD η AB είναι εφαπτομένη του και MP \bot AB .

Εύκολα με Π.Θ στο \triangle MNP \Rightarrow MN= \sqrt{5}.Το H προφανώς είναι ορθόκεντρο του \triangle MNS και MONH ρόμβος

MH . MP=MK . MN \Rightarrow 2y= \dfrac{MN^2}{2}= \dfrac{5}{2}  \Rightarrow y= \dfrac{5}{4} και με Π.Θ στο  \triangle OAN \Rightarrow R= \dfrac{ \sqrt{89} }{4}
Ημικύκλιο εντός κύκλου (2).png
Ημικύκλιο εντός κύκλου (2).png (55.86 KiB) Προβλήθηκε 151 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7209
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ημικύκλιο εντός κύκλου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Μαρ 10, 2020 7:04 pm

Ημικύκλιο εντός κύκλου_new_new.png
Ημικύκλιο εντός κύκλου_new_new.png (26.39 KiB) Προβλήθηκε 140 φορές

\left\{ \begin{gathered} 
  x\left( {2 + y} \right) = 3 \hfill \\ 
  y\left( {2 + x} \right) = 4 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{y - x = \frac{1}{2}} Άρα \boxed{LM = \frac{1}{2} \Rightarrow EL = DG = \frac{5}{2}}

Π. Θ. στο \vartriangle DCG : \boxed{4{R^2} = {{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2} + 16 \Rightarrow R = \frac{{\sqrt {89} }}{4}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης