Σταθερή ποσότητα

KARKAR · #1

: Σταθερή ποσότητα.png (10.95 KiB) Προβλήθηκε 562 φορές

Ονομάζουμε B' , C'

τις προβολές των κορυφών B , C

ισοπλεύρου τριγώνου ABC

,

πλευράς

, προς ευθεία διερχόμενη από την κορυφή

και εσωτερική της γωνίας $\hat{A}$ .

Υπολογίστε την παράσταση : $BB'^2+CC'^2+BB'\cdot CC'$

p_gianno · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 14, 2020 9:11 pm
Σταθερή ποσότητα.pngΟνομάζουμε τις προβολές των κορυφών ισοπλεύρου τριγώνου ,

πλευράς , προς ευθεία διερχόμενη από την κορυφή και εσωτερική της γωνίας $\hat{A}$ .

Υπολογίστε την παράσταση : $BB'^2+CC'^2+BB'\cdot CC'$

: Σταθερή παράσταση.png (39.52 KiB) Προβλήθηκε 526 φορές

Στρέφω το τρίγωνο AB’B

κατά την θετική φορά κατά 60^0

. Τότε

. Συνεπώς

$BB’^2+CC’^2+BB’ \cdot CC’=CK^2+CC’^2+CK \cdot CC’= CK^2+CC’^2-2 CK \cdot CC’ (-1/2)=$

$CK^2+CC’^2-2 CK \cdot CC’ (-1/2)= CK^2+CC’^2-2 CK \cdot CC’ cos(120^0)=C’K^2$

(Νόμος συνημιτόνων στο τρίγωνο C’CK

).

Αρκεί να δείξω ότι C’K=ct

Πράγματι το τετράπλευρο AC’CK

είναι εγγράψιμο $(\angle C’=\angle K=90^0)$ συνεπώς C’O=OK=a/2

(όπου

πλευρά του τριγώνου ABC

) και $\angle C’OK=2\, \angle C’AK=120^0$ .

Άρα C’K = ct

ως πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνος a/2

.

Επομένως για την σταθερή ποσότητα C’K^2

ισχύει $C’K^2 =(\lambda _3 \cdot \sqrt{3})^2= \frac{3a^2}{4}$

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλή Κυριακή.
Μετά την ωραία λύση του Παναγιώτη , μια βατή τριγωνομετρική διαδρομή

: Σταθερή ποσότητα.PNG (8.47 KiB) Προβλήθηκε 516 φορές

Αν $\widehat{BAB'}=x$ τότε $\widehat{CAC'}=\dfrac{\pi }{3}-x$ οπότε $BB'=asinx...CC'=asin\left ( \dfrac{\pi }{3}-x \right ) =\dfrac{a}{2}\left ( \sqrt{3}cosx-sinx \right )$ .

Μετά τις πράξεις η εν λόγω ποσότητα γίνεται $\dfrac{a^{2}}{4}(3sin^{2}x+3cos^{2}x) =\dfrac{3a^{2}}{4}$ δηλαδή σταθερή.

Παρατηρούμε ότι το τρίγωνο KOC'

της .. προηγούμενης ανάρτησης είναι ίσο με το τρίγωνο AOM

άρα $C'K^{2}= AM^{2}=\dfrac{3a^{2}}{4}$

Φιλικά, Γιώργος.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 14, 2020 9:11 pm
Σταθερή ποσότητα.pngΟνομάζουμε τις προβολές των κορυφών ισοπλεύρου τριγώνου ,

πλευράς , προς ευθεία διερχόμενη από την κορυφή και εσωτερική της γωνίας $\hat{A}$ .

Υπολογίστε την παράσταση : $BB'^2+CC'^2+BB'\cdot CC'$

Αν θεωρήσουμε

το σημείο τομής της ευθείας με τον περίκυκλο του ισοπλευρου τριγώνου τότε το διπλάσιο της παράστασης που δίνεται ανάγεται σε πολλαπλάσιο του αθροίσματος των τετραγώνων των αποςταςεων του

απο τις κορυφές του τριγώνου που ειναι σταθερό ( γνωστές προτασεις ( θεώρημα διαμέσου ))

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 14, 2020 9:11 pm
Σταθερή ποσότητα.pngΟνομάζουμε τις προβολές των κορυφών ισοπλεύρου τριγώνου ,

πλευράς , προς ευθεία διερχόμενη από την κορυφή και εσωτερική της γωνίας $\hat{A}$ .

Υπολογίστε την παράσταση : $BB'^2+CC'^2+BB'\cdot CC'$

Θέτω

Με $\displaystyle {\rm{Stewart}}$ στο ABC

παίρνω:

: Σταθερή ποσότητα.png (10.73 KiB) Προβλήθηκε 483 φορές

$\displaystyle A{E^2} = {a^2} - BE \cdot EC = {(BE + EC)^2} - BE \cdot EC \Leftrightarrow$ $\boxed{A{E^2} = B{E^2} + E{C^2} + BE \cdot EC}$ (1)

$\displaystyle \frac{y}{2}AE = (ABE) = \frac{{BE}}{2} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{y = \frac{{BEa\sqrt 3 }}{{2AE}}}$ και ομοίως $\boxed{x = \frac{{ECa\sqrt 3 }}{{2AE}}}$

$\displaystyle {x^2} + {y^2} + xy = \frac{{3{a^2}}}{4}\left( {\frac{{B{E^2} + E{C^2} + BE \cdot EC}}{{A{E^2}}}} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{x^2+y^2+xy=\frac{3a^2}{4}}$

p_gianno · #6

: σταθερή ποσότητα.png (43.81 KiB) Προβλήθηκε 470 φορές

Άλλη μία προσέγγιση.

Έστω a η πλευρά του ισοπλεύρου και E,D

μέσα των

αντιστοίχως.

Θεωρώ τους κύκλους (E,a/2)

και

) και φέρω τo ύψος

.

Είναι CC’=B’D

(ως χορδές ίσων τόξων ίσων κύκλων στα οποία βαίνει η γωνία C’AC

).

Επειδή BB’DA

εγγράψιμο είναι $\angle BB’D=180^0-\angle BAC=120^0$

Εφαρμόζουμε νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο BB’D

και έχουμε

$BB’^2+B’D^2-2 BB’ \cdot B’D \cdot (-1/2)=BD^2$

$BB’^2+CC’^2+BB’\cdot CC’ =BD^2 = (\frac{a \sqrt{3}}{2})^2$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 14, 2020 9:11 pm
Σταθερή ποσότητα.pngΟνομάζουμε τις προβολές των κορυφών ισοπλεύρου τριγώνου ,

πλευράς , προς ευθεία διερχόμενη από την κορυφή και εσωτερική της γωνίας $\hat{A}$ .

Υπολογίστε την παράσταση : $BB'^2+CC'^2+BB'\cdot CC'$

Έστω

. Λόγω των εγγράψιμων ABB'M,AC'MC

είναι, $\angle C'B'M= \angle B'C'M=60^0$ κι

έστω $B'C'=C'M=MB'= \omega$

Με θ.διαμέσου στο τρίωνο BCC' έχουμε

$BC'^2+y^2=2 \omega ^2+ \dfrac{a^2}{2} \Rightarrow x^2+ \omega ^2+y^2=2 \omega ^2+\dfrac{a^2}{2} \Rightarrow3 x^2+3y^2= 3\omega ^2+\dfrac{3a^2}{2}$ (1)

Σχηματίζοντας το παραλ/μμο BC'CN

είναι

κι απο το τρίγωνο C'B'N

έχουμε

$(y-x)^2=3 \omega ^2 \Rightarrow x^2+y^2-2xy=3 \omega ^2$ (2)

.Από

έχουμε $x^2+y^2+xy= \dfrac{3a^2}{4}$

: Σταθερή ποσότητα.png (24.14 KiB) Προβλήθηκε 429 φορές

#8

Γράφω τον περιγεγραμμένο κύκλο: $\left( {O,R} \right)$ του $\vartriangle ABC$ κι έστω

ο νότιος πόλος ,

το μέσο του

και

το άλλο σημείο τομής της τέμνουσας $\overline {AC'PB'}$ με το κύκλο.

Θέτω $BB' = x\,,\,\,CC' = y\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,a\,\,\,\,\,$ τη πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου ABC

.

Προφανώς Το καθένα από τα ορθογώνια τρίγωνα $BB'P\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CC'P$ είναι όμοιο με το

Τρίγωνο ATS

έτσι ταυτόχρονα έχω:

$\left\{ \begin{gathered} \frac{{BB'}}{{AT}} = \frac{{PB}}{{AB}} \hfill \\ \frac{{CC'}}{{AT}} = \frac{{PC}}{{AB}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{x}{{AT}} = \frac{{PB}}{{2R}} \hfill \\ \frac{y}{{AT}} = \frac{{PC}}{{2R}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{x + y}}{{AT}} = \frac{{BC}}{{2R}} \hfill \\ \frac{{xy}}{{A{T^2}}} = \frac{{PB \cdot PC}}{{4{R^2}}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{A{T^2}}} = \frac{{{a^2}}}{{4{R^2}}} \hfill \\ \frac{{xy}}{{A{T^2}}} = \frac{{PB \cdot PC}}{{4{R^2}}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

: Σταθερή ποσότητα.png (26.7 KiB) Προβλήθηκε 390 φορές

Με αφαίρεση κατά μέλη έχω : $\boxed{\frac{{{x^2} + {y^2} + xy}}{{A{T^2}}} = \frac{{{a^2} - PB \cdot PC}}{{4{R^2}}}}\,\,\left( 1 \right)$

Αλλά:

$PB \cdot PC = PA \cdot PT = PA\left( {AT - PA} \right)$

$\Rightarrow PB \cdot PC = PA \cdot AT - P{A^2} = AM \cdot AS - P{A^2} = A{C^2} - P{A^2} = {a^2} - P{A^2}$

Κι έτσι η $\left( 1 \right)$ δίδει :

${x^2} + {y^2} + xy = \dfrac{{{{\left( {AT \cdot AP} \right)}^2}}}{{4{R^2}}} = \dfrac{{{{\left( {AM \cdot AS} \right)}^2}}}{{4{R^2}}} \Rightarrow \boxed{{x^2} + {y^2} + xy = \frac{{{a^4}}}{{4{R^2}}}\,\,\,\,}$

#9

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 14, 2020 9:11 pm
Σταθερή ποσότητα.pngΟνομάζουμε τις προβολές των κορυφών ισοπλεύρου τριγώνου ,

πλευράς , προς ευθεία διερχόμενη από την κορυφή και εσωτερική της γωνίας $\hat{A}$ .

Υπολογίστε την παράσταση : $BB'^2+CC'^2+BB'\cdot CC'$

Ας δούμε τι ακριβώς έγραψα πιο πάνω

: σταθερό γινόμενο.png (24.19 KiB) Προβλήθηκε 371 φορές

Έστω το σημείο τομής της εκ του ευθείας με τον περίκυκλο του τριγώνου $\vartriangle ABC$ .
Τότε από τα ορθογώνια τρίγωνα $\vartriangle B{B}'S,\vartriangle C{C}'S$ με $\angle BS{B}'=\angle CS{C}'={{60}^{0}}$ προκύπτει ότι $B{B}'=SB\dfrac{\sqrt{3}}{2},C{C}'=SC\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Αν $K=B{{{B}'}^{2}}+C{{{C}'}^{2}}+B{B}'\cdot C{C}'$ , τότε

$2K=2B{{{B}'}^{2}}+2C{{{C}'}^{2}}+2B{B}'\cdot C{C}'=$ $\dfrac{3}{4}\left( S{{B}^{2}}+S{{C}^{2}}+{{\left( SB+SC \right)}^{2}} \right)\overset{SB+SC=SA*}{\mathop{=}}\,$

$\dfrac{3}{4}\left( S{{B}^{2}}+S{{C}^{2}}+S{{A}^{2}} \right)\overset{S{{B}^{2}}+S{{C}^{2}}+S{{A}^{2}}=2{{a}^{2}}:**}{\mathop{=}}\,$ $\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}\Rightarrow K=\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}=ct$

* Γνωστή πρόταση
** Σχολική πρόταση (στο θεώρημα των διαμέσων)

Στάθης

STOPJOHN · #10

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 14, 2020 9:11 pm
Σταθερή ποσότητα.pngΟνομάζουμε τις προβολές των κορυφών ισοπλεύρου τριγώνου ,

πλευράς , προς ευθεία διερχόμενη από την κορυφή και εσωτερική της γωνίας $\hat{A}$ .

Υπολογίστε την παράσταση : $BB'^2+CC'^2+BB'\cdot CC'$

Είναι

$BB'//CC',AK\perp BC,AD\perp CC',\hat{DBB'}=\hat{C'CD}=\omega =\hat{DAK}$

Από το Θ.Stewart στο τρίγωνο $ABC,a^{2}-BD.DC=AD^{2},(1),$

και $AD.cos\omega =\upsilon ,(2),$

$BB'^{2}+CC'^{2}+BB'.CC'=(BB'+CC')^{2}-BB'.CC'= LC^{2}-LC'.CC',(3), (1),(2),(3)\Rightarrow BB'^{2}+CC'^{2}+BB'.CC'=\upsilon ^{2}=\dfrac{3a^{2}}{4}$

Σταθερή ποσότητα

Σταθερή ποσότητα

Re: Σταθερή ποσότητα

Re: Σταθερή ποσότητα

Re: Σταθερή ποσότητα

Re: Σταθερή ποσότητα

Re: Σταθερή ποσότητα

Re: Σταθερή ποσότητα

Re: Σταθερή ποσότητα

Re: Σταθερή ποσότητα

Re: Σταθερή ποσότητα

Μέλη σε σύνδεση