Κωνική Τομή

GreenMosquito · #1

Να βρείτε τους παραμετρικούς τύπους (χωρίς ριζικά) της κωνικής τομής:

x^2+3xy+y^2=1

όπου οι αριθμοί x, y είναι πραγματικοί.

Tolaso J Kos · #2

GreenMosquito έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 18, 2020 9:57 pm
Να βρείτε τους παραμετρικούς τύπους (χωρίς ριζικά) της κωνικής τομής:

όπου οι αριθμοί x, y είναι πραγματικοί.

Δε νομίζω ότι κάνει για αυτό το φάκελο. Βεβαίως πρόκειται για υπερβολή ... !

Αν και υπάρχει και άλλος τρόπος από εδώ έχουμε ότι η διακρίνουσα της κωνικής τομής αυτής είναι $\Delta = 5$ . Συνεπώς είναι υπερβολή. Το κέντρο της υπερβολής $\mathrm{K}(\alpha, \beta)$ βρίσκεται από την επίλυση του συστήματος:

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} \alpha + \beta & = & 0\\ \frac{3}{2} \alpha + \beta & = & 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left ( x, y \right ) = \left ( 0, 0 \right )}$
Άρα $\mathrm{K}(0, 0)$ . Η γωνία στροφής ισούται με $\displaystyle{\tan 2 \varphi = \frac{3}{1-1} = + \infty \Leftrightarrow 2 \varphi = \frac{\pi}{2}}$ . Άρα:

$\displaystyle{\mathrm{A}' = \frac{1}{2} \left ( \mathrm{A} + \Gamma \right ) + \frac{1}{2} \left ( \mathrm{A} - \Gamma \right ) \cos 2\varphi + \mathrm{B} \sin 2 \varphi = 4}$
και

$\displaystyle{\Gamma' = \mathrm{A} + \Gamma - \mathrm{A}' = -2}$
Τέλος, $\mathrm{d} = \mathrm{A} \Gamma - \mathrm{B}^2 = 1-9=-8<0$ και

$\displaystyle{\mathcal{D} = \begin{vmatrix} \mathrm{A} & \mathrm{B} & \Delta \\ \mathrm{B} & \Gamma & \mathrm{E} \\ \Delta & \mathrm{E} & \mathrm{F} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & \frac{3}{2} & 0 \\ \frac{3}{2} & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{vmatrix} =\frac{3}{2}}$ συνεπώς $\mathrm{Z} ' = \frac{\mathcal{D}}{\mathrm{d}} = -\frac{3}{16}$ .

Άρα η υπερβολή παίρνει τη μορφή:

$\displaystyle{4X^2 - 2Y^2 - \frac{3}{16}=0 \Leftrightarrow \frac{X^2}{\left ( \frac{1}{2} \right )^2} - Y^2 = \frac{3}{32} \Leftrightarrow 64X^2 - \frac{3Y^2}{32} =1 \Leftrightarrow \boxed{\mathbf{\frac{X^2}{\left ( \frac{1}{8} \right )^2} - \frac{Y^2}{\left ( \sqrt{\frac{32}{3}} \right )^2} =1}} }$

Δε ξέρω αν τα νούμερα είναι σωστά , είναι προχωρημένη η ώρα , αλλά η μεθοδολογία είναι αυτή. Όλα τα παραπάνω εξηγούνται αναλυτικά σε βιβλία Αναλυτικής Γεωμετρίας.

Οι παραμετρικές πλέον προκύπτουν εύκολα $(\alpha \sec \theta , \beta \tan \theta)$ ... κτλ. ...

GreenMosquito · #3

Ευχαριστώ πολύ για την απάντηση! Θα ήθελα να προτείνω μια λύση κάπως αντισυμβατική.

Ας αρχίσουμε με την δημιουργία ενός τριωνύμου, το οποίο έχει ως ρίζες τις μεταβλητές x,y

. Μετά αφού το λύσουμε, χρειάζεται να κάνουμε μια τριγωνομετρική αντικατάσταση, ώστε να διώξουμε το ριζικό που προκύπτει.

Έστω, ότι αυτό το τριώνυμο, έχει την μορφή:

z^2-bz+c=0

όπου οι αριθμοί

και

, μπορούμε να τους πάρουμε από τους τύπους του Vieta:

$\begin{Bmatrix} b=x+y\\c=xy \end{Bmatrix}$

Τότε, θα γράψουμε το αριστερό μέρος της κωνικής τομής:

x^2+3xy+y^2=1

συναρτήσει των μεταβλητών x+y

και

, ώστε να γράψουμε τον αριθμό

ως συνάρτηση του x+y

.

Μετά από αρκετές αλγεβρικές πράξεις, καταλήγουμε στο αποτέλεσμα:

xy= 1-(x+y)^2

ή

.

Οπότε, καταλήγουμε στο τριώνυμο:

z^2-bz+(1-b^2)=0

το οποίο μας δίνει τις παραμετρικές λύσεις (Με ριζικά):

$(x,y)=(\frac{b-\sqrt{5b^2-4}}{2},\frac{b+\sqrt{5b^2-4}}{2}), (\frac{b+\sqrt{5b^2-4}}{2},\frac{b-\sqrt{5b^2-4}}{2})$

Μετά, ώστε να βγάλουμε το ριζικό $\sqrt{5b^2-4}$ από την μέση, αρκεί η τριγωνομετρική αντικατάσταση:

$b=\frac{2\sqrt{5}sec\theta }{5}$

Οπότε, καταλήγουμε στις παραμετρικές λύσεις:

$(x,y)= (\frac{\sqrt{5}sec\theta }{5}-tan\theta ,\frac{\sqrt{5}sec\theta }{5}+tan\theta ), (\frac{\sqrt{5}sec\theta }{5}+tan\theta, \frac{\sqrt{5}sec\theta }{5}-tan\theta)$

όπου το $\theta$ είναι ανάμεσα στο

και στο $2\pi$ .

Κωνική Τομή

Κωνική Τομή

Re: Κωνική Τομή

Re: Κωνική Τομή

Μέλη σε σύνδεση