ΕΝΑ ΘΕΜΑ

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[1,+\infty)\rightarrow \mathbb{R}$ με f(1)=e,{f}'(1)=2e

και $f(x)\neq 0$ , για κάθε $x\geq 1.$

Αν για κάθε $x\geq 1$ ισχύει ${f}''(x)f(x)>\left ( {f}'(x) \right )^2+2\left ( f(x) \right )^2$

i) Να δείξετε ότι η

είναι κυρτή.

ii) Να δείξετε ότι $f(x)>e^{x^2},$ για κάθε x > 1

.

iii) Να βρείτε το σύνολο τιμών της

.

iv) Να λύσετε στο διάστημα $[1,+\infty)$ την εξίσωση $f(x)+\sigma \upsilon \nu \dfrac{\pi }{x}=e-1.$

#2

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 20, 2020 11:16 pm
Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[1,+\infty)\rightarrow \mathbb{R}$ με

και $f(x)\neq 0$ , για κάθε $x\geq 1.$

Αν για κάθε $x\geq 1$ ισχύει ${f}''(x)f(x)>\left ( {f}'(x) \right )^2+2\left ( f(x) \right )^2$

i) Να δείξετε ότι η είναι κυρτή.

ii) Να δείξετε ότι $f(x)>e^{x^2},$ για κάθε .

iii) Να βρείτε το σύνολο τιμών της .

iv) Να λύσετε στο διάστημα $[1,+\infty)$ την εξίσωση $f(x)+\sigma \upsilon \nu \dfrac{\pi }{x}=e-1.$

...λίγο πριν

...

i) Είναι ${f}''(x)f(x)>{{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}+2{{\left( f(x) \right)}^{2}}$ και επειδή $f(x)\neq 0$ , συνεχής έχει σταθερό πρόσημο ,

f(1)=e>0

άρα

ισχύει ${f}''(x)>\frac{{{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}+2{{\left( f(x) \right)}^{2}}}{f(x)}>0$ άρα

είναι κυρτή.

ii) Θέλουμε $f(x)>{{e}^{{{x}^{2}}}}\Leftrightarrow \ln (f(x))>{{x}^{2}}\Leftrightarrow \ln (f(x))-{{x}^{2}}>0,\,\,x>1$ γι αυτό θεωρούμε

την συνάρτηση $g(x)=\ln (f(x))-{{x}^{2}},\,\,x\in [1,\,\,+\infty )$ με $g(1)=\ln (f(1))-1=0$ και

${g}'(x)=\frac{{f}'(x)}{f(x)}-2x,\,\,x\in [1,\,\,+\infty )$ και ${g}'(1)=\frac{{f}'(1)}{f(1)}-2=0,\,\,x\in [1,\,\,+\infty )$ και

${g}''(x)=\frac{{f}''(x)f(x)-{{({f}'(x))}^{2}}}{{{f}^{2}}(x)}-2,\,\,x\in [1,\,\,+\infty )$ που από δεδομένα

${g}''(x)=\frac{{f}''(x)f(x)-{{({f}'(x))}^{2}}}{{{f}^{2}}(x)}-2>0,\,\,x\in [1,\,\,+\infty )$ επομένως η {g}'

γνήσια αύξουσα στο

$[1,\,\,+\infty )$ άρα {g}'(x)>{g}'(1)=0

που σημαίνει

γνήσια αύξουσα στο $[1,\,\,+\infty )$

άρα g(x)>g(1)=0

που είναι αυτό που θέλαμε.

ιιι) Από $f(x)>e^{x^2},$ επειδή $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{e}^{{{x}^{2}}}}=+\infty$ το

$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty$ και από ${g}'(x)=\frac{{f}'(x)}{f(x)}-2x>0,\,\,x\in [1,\,\,+\infty )$ έχουμε ότι

$\frac{{f}'(x)}{f(x)}>2x\Leftrightarrow {f}'(x)>2xf(x)>0,\,\,x\in [1,\,\,+\infty )$ άρα η

είναι γνήσια αύξουσα στο

$\Delta =[1,\,\,+\infty )$ έτσι $f(\Delta )=[f(1),\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x))=[e,\,\,+\infty )$

iv) Η εξίσωση γίνεται ισοδύναμα $(f(x)-e)+(\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{x}+1)=0$ και επειδή $f(x)-e\ge 0$ από (ιιι) και

$\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{x}+1\ge 0$ η ισότητα ισχύει όταν $f(x)-e=0\Leftrightarrow x=1$

και $\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{x}+1=0$ που επαληθεύεται όταν x=1

, έτσι μοναδική λύση της εξίσωσης είναι το x=1

.

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Το $f(x)\neq 0$ , για κάθε $x\geq 1.$ δεν χρειάζεται στις υποθέσεις.
Αν υπαρχει

με

τότε η σχέση δίνει $\left ( {f}'(c) \right )^2<0$ ΑΤΟΠΟ.

Επίσης στο iii) μπορεί να αποδειχθεί οτι έιναι αύξουσα ως εξης:
Αφου f''>0

η

είναι γνησίως αύξουσα.
Επειδή f'(1)>0

θα είναι

οπότε η

γνησίως αύξουσα.

ΕΝΑ ΘΕΜΑ

ΕΝΑ ΘΕΜΑ

Re: ΕΝΑ ΘΕΜΑ

Re: ΕΝΑ ΘΕΜΑ

Μέλη σε σύνδεση