Τεστ Εξάσκησης (17), Μικροί

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6073
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Τεστ Εξάσκησης (17), Μικροί

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Δευ Μαρ 09, 2020 1:45 am

ΘΕΜΑ 1
Ο καθένας από δεκατρείς νάνους είναι ειλικρινής, ο οποίος λέει πάντα την αλήθεια ή ψεύτης, ο οποίος λέει πάντα ψέματα. Μια φορά όλοι οι νάνοι με την σειρά έκαναν μια δήλωση «Μεταξύ των δηλώσεων, που έγιναν νωρίτερα, ψευδείς είναι ακριβώς δυο φορές περισσότερες, από τις αληθείς». Πόσοι ειλικρινείς θα μπορούσαν να υπάρχουν μεταξύ των νάνων;
(Από εδώ: https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=58&t=60509)


ΘΕΜΑ 2
Να προσδιορίσετε όλες τις τριάδες μη αρνητικών πραγματικών αριθμών (x, y, z) που είναι λύσεις του συστήματος

\displaystyle{\begin{cases}  
x^2 − y = (z − 1)^2 \\  
y^2 − z = (x − 1)^2 \\ 
z^2 − x = (y − 1)^2  
\end{cases}}


ΘΕΜΑ 3
Έστω ABCD εγγράψιμο τετράπλευρο με AD = BD. Οι διαγώνιοι AC και BD τέμνονται στο M. Έστω I το έγκεντρο του τριγώνου BCM και N το δεύτερο σημείο τομής της AC με τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου BMI. Να αποδείξετε ότι AN\cdot NC = CD\cdot BN.


ΘΕΜΑ 4
Έστω n\geq 3 ένας θετικός ακέραιος. Θεωρούμε πίνακα n\times n που αποτελείται από n^2 μοναδιαία τετράγωνα.
Για κάθε θετικό ακέραιο m έχουμε στην διάθεσή μας απεριόριστο πλήθος από ορθογώνια 1 \times  m (τύπου I) και ορθογώνια m\times  1 (τύπου II). Καλύπτουμε πλήρως τον πίνακα n \times n με N ορθογώνια, χωρίς να επικαλύπτονται, έτσι ώστε το πλήθος των ορθογωνίων τύπου Ι να είναι ίσο με το πλήθος των ορθογωνίων τύπου ΙΙ. (Ένα τετράγωνο  1\times 1 ανήκει και στους δύο τύπους ορθογωνίων)
Να προσδιορίσετε την ελάχιστη δυνατή τιμή του N.


Θανάσης Κοντογεώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 765
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (17), Μικροί

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Δευ Μαρ 09, 2020 6:58 pm

socrates έγραψε:
Δευ Μαρ 09, 2020 1:45 am

ΘΕΜΑ 2
Να προσδιορίσετε όλες τις τριάδες μη αρνητικών πραγματικών αριθμών (x, y, z) που είναι λύσεις του συστήματος

\displaystyle{\begin{cases}  
x^2 − y = (z − 1)^2 \\  
y^2 − z = (x − 1)^2 \\ 
z^2 − x = (y − 1)^2  
\end{cases}}

Με πρόσθεση των τριών κατά μέλη έχουμε \displaystyle {\sum x^2-\sum x=\sum x^2-2\sum x+3\Leftrightarrow \sum x=3}.
Από AM-GM θα έχουμε \displaystyle{3=\sum x\geq 3\sqrt[3]{xyz}\Leftrightarrow xyz\leq 1}.
Όμως \left ( z-1 \right )^2\geq 0\Leftrightarrow x^2\geq y.Όμοια y^2\geq z,z^2\geq x.
Αυτές οι τρεις με πολλαπλασιασμό δίδουν x^2y^2z^2\geq xyz\Leftrightarrow xyz\geq 1.
Βλέπουμε λοιπόν πως μοναδική λύση η x=y=z=1


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 765
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (17), Μικροί

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Δευ Μαρ 09, 2020 7:12 pm

socrates έγραψε:
Δευ Μαρ 09, 2020 1:45 am

ΘΕΜΑ 3
Έστω ABCD εγγράψιμο τετράπλευρο με AD = BD. Οι διαγώνιοι AC και BD τέμνονται στο M. Έστω I το έγκεντρο του τριγώνου BCM και N το δεύτερο σημείο τομής της AC με τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου BMI. Να αποδείξετε ότι AN\cdot NC = CD\cdot BN.
259.PNG
259.PNG (37.85 KiB) Προβλήθηκε 388 φορές
Έστω ότι η BN τέμνει τον (A,B,C,D) ξανά στο Q.Είναι \angle BNM=\angle 180^{\circ}-\angle MIB=180^{\circ}-\left ( 90^{\circ}+\dfrac{\angle ACB}{2} \right )=90^{\circ}-\dfrac{\angle ADB}{2}=\angle BAD=\angle BQD\Rightarrow ... \Rightarrow QD\parallel AC.
Τώρα μπορούμε να τελειώσουμε με πολλούς τρόπους,
π.χ Αφού \angle BNM=\angle MBA θα είναι \angle MBN=\angle BAM=\angle BDC\Rightarrow DC\parallel BN
Άρα το QNCD είναι παραλληλόγραμμο και έτσι AN\cdot NC=QN\cdot NB\overset{QN=DC}{\Leftrightarrow }AN\cdot NC= DC\cdot BN


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9368
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τεστ Εξάσκησης (17), Μικροί

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Μαρ 09, 2020 7:49 pm

socrates έγραψε:
Δευ Μαρ 09, 2020 1:45 am


ΘΕΜΑ 2
Να προσδιορίσετε όλες τις τριάδες μη αρνητικών πραγματικών αριθμών (x, y, z) που είναι λύσεις του συστήματος

\displaystyle{\begin{cases}  
x^2 − y = (z − 1)^2 \\  
y^2 − z = (x − 1)^2 \\ 
z^2 − x = (y − 1)^2  
\end{cases}}
Λίγο διαφορετικά.

Προσθέτοντας κατά μέλη και μετά τις πράξεις βρίσκουμε \boxed{x+y+z=3}

Χωρίς βλάβη υποθέτω ότι \displaystyle x \le y,z, οπότε \displaystyle 0 \le x \le 1 \Rightarrow {x^2} - y \le 0. Αλλά από την πρώτη εξίσωση,

\displaystyle {x^2} - y = {(z - 1)^2} \ge 0. Άρα θα είναι \boxed{{x^2} = y} και \boxed{z=1} Αντικαθιστώντας στη 2η εξίσωση:

\displaystyle {x^4} - 1 = {(x - 1)^2} \Leftrightarrow (x - 1)({x^3} + {x^2} + 2) = 0\mathop  \Leftrightarrow \limits^{x \ge 0} \boxed{x=1} άρα και \boxed{y=1}


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 765
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (17), Μικροί

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τρί Μαρ 10, 2020 4:40 pm

socrates έγραψε:
Δευ Μαρ 09, 2020 1:45 am
ΘΕΜΑ 1
Ο καθένας από δεκατρείς νάνους είναι ειλικρινής, ο οποίος λέει πάντα την αλήθεια ή ψεύτης, ο οποίος λέει πάντα ψέματα. Μια φορά όλοι οι νάνοι με την σειρά έκαναν μια δήλωση «Μεταξύ των δηλώσεων, που έγιναν νωρίτερα, ψευδείς είναι ακριβώς δυο φορές περισσότερες, από τις αληθείς». Πόσοι ειλικρινείς θα μπορούσαν να υπάρχουν μεταξύ των νάνων;
(Από εδώ: https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=58&t=60509)
Αφού 0=2\cdot 0 ο πρώτος που μίλησε είπε αλήθεια και άρα είναι ειλικρινής.Ο δεύτερος είπε σαφώς ψέματα όπως και ο τρίτος.Οπότε πολύ εύκολα προκύπτει ότι ο κάθε νάνος με την σειρά που μίλησε είναι A-\Psi -\Psi -A-\Psi -\Psi -A-\Psi -\Psi -A-\Psi -\Psi -A ( A= ειλικρινής,\Psi= ψεύτης).
Συνολικά 5 ειλικρινείς.


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6073
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Τεστ Εξάσκησης (17), Μικροί

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Μαρ 18, 2020 8:13 pm

socrates έγραψε:
Δευ Μαρ 09, 2020 1:45 am
ΘΕΜΑ 4
Έστω n\geq 3 ένας θετικός ακέραιος. Θεωρούμε πίνακα n\times n που αποτελείται από n^2 μοναδιαία τετράγωνα.
Για κάθε θετικό ακέραιο m έχουμε στην διάθεσή μας απεριόριστο πλήθος από ορθογώνια 1 \times  m (τύπου I) και ορθογώνια m\times  1 (τύπου II). Καλύπτουμε πλήρως τον πίνακα n \times n με N ορθογώνια, χωρίς να επικαλύπτονται, έτσι ώστε το πλήθος των ορθογωνίων τύπου Ι να είναι ίσο με το πλήθος των ορθογωνίων τύπου ΙΙ. (Ένα τετράγωνο  1\times 1 ανήκει και στους δύο τύπους ορθογωνίων)
Να προσδιορίσετε την ελάχιστη δυνατή τιμή του N.
Προσπαθήστε να κάνετε κατασκευή για κάποια n. Ποιο είναι το ελάχιστο; Γενικεύστε!


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8447
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Τεστ Εξάσκησης (17), Μικροί

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Μαρ 21, 2020 12:36 pm

socrates έγραψε:
Δευ Μαρ 09, 2020 1:45 am
ΘΕΜΑ 4
Έστω n\geq 3 ένας θετικός ακέραιος. Θεωρούμε πίνακα n\times n που αποτελείται από n^2 μοναδιαία τετράγωνα.
Για κάθε θετικό ακέραιο m έχουμε στην διάθεσή μας απεριόριστο πλήθος από ορθογώνια 1 \times  m (τύπου I) και ορθογώνια m\times  1 (τύπου II). Καλύπτουμε πλήρως τον πίνακα n \times n με N ορθογώνια, χωρίς να επικαλύπτονται, έτσι ώστε το πλήθος των ορθογωνίων τύπου Ι να είναι ίσο με το πλήθος των ορθογωνίων τύπου ΙΙ. (Ένα τετράγωνο  1\times 1 ανήκει και στους δύο τύπους ορθογωνίων)
Να προσδιορίσετε την ελάχιστη δυνατή τιμή του N.

Αν σε κάθε οριζόντια γραμμή έχουμε ένα ορθογώνιο τύπου Ι, τότε έχουμε τουλάχιστον n οριζόντια ορθογώνια και άρα και τουλάχιστον n κάθετα. Αν υπάρχει οριζόντια γραμμή χωρίς ορθογώνιο τύπου Ι, τότε τα κελιά της καλύπτονται από ορθογώνια τύπου ΙΙ και θα έχουμε τουλάχιστον n ορθογώνια τύπου ΙΙ και άρα και τουλάχιστον n τύπου Ι. Επομένως N \geqslant 2n.

Το N = 2n επιτυγχάνεται ως εξής: Στις πρώτες n-2 γραμμές τοποθετούμε n-2 πλακίδια τύπου Ι τα οποία να τις καλύπτουν. Τη γραμμή n-1 την καλύπτουμε με 2 πλακίδια τύπου Ι. Τέλος την τελευταία γραμμή την καλύπτουμε με n πλακίδια τύπου ΙΙ.

Επεξεργασία:

Στην πιο πάνω λύση θεώρησα ότι τα 1 \times 1 μπορώ αν θέλω να τα μετρήσω ως τύπου Ι ή ως τύπου ΙΙ. Όπως με ενημέρωσε ο Θανάσης πρέπει να τα μετρήσω και στους δύο τύπους.

Για n=4 δεν έχουμε αλλαγή στην τελική απάντηση. Απλά αλλάζει λίγο η κατασκευή ως εξής:

Στις πρώτες n-4 γραμμές τοποθετούμε n-4 ορθογώνια τύπου Ι τα οποία να τις καλύπτουν. Τις γραμμές n-3 και n-2 τις καλύπτουμε με 2 ορθογώνια τύπου Ι την κάθε μία. (Όχι 1 \times 1.) Τέλος τις τελευταίες δύο γραμμές τις καλύπτουμε με n ορθογώνια τύπου ΙΙ, από ένα σε κάθε στήλη.

Για n=3 τώρα, η απάντηση αλλάζει. Σίγουρα θέλω 6 ορθογώνια, όπως πιο πάνω, άρα θα χρησιμοποιήσω τουλάχιστον 3 τετράγωνα 1 \times 1. Αυτά θα διπλομετρηθούν, άρα N \geqslant 9. Όμως N άρτιος, άρα N \geqslant 10.

Για την κατασκευή βάζουμε ένα τύπου ΙΙ για να γεμίσει η πρώτη στήλη, ένα οριζόντιο για να γεμίσει η πρώτη γραμμή και τέσσερα τετράγωνα τύπου 1 \times 1 στις υπόλοιπες θέσεις.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες