Ανισοϊσότητα
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Ανισοϊσότητα
Η λύση έχει κάποια λάθη (ελπίζω να διορθώνονται)george visvikis έγραψε: ↑Παρ Αύγ 30, 2019 9:48 amΑν να δείξετε ότι Πότε ισχύει το ίσον;
Ευκλείδης Α Λυκείου
Καλημέρα!
Η ανισότητα γράφεται
Θέτω και ισχύει
Εκτελούμε τις πράξεις και αρκεί
Έχουμε
Η ισότητα πιάνεται για δηλαδή όταν .
τελευταία επεξεργασία από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ σε Παρ Αύγ 30, 2019 11:38 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ανισοϊσότητα
Πως προκύπτει ηΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑Παρ Αύγ 30, 2019 10:27 amΚαλημέρα!george visvikis έγραψε: ↑Παρ Αύγ 30, 2019 9:48 amΑν να δείξετε ότι Πότε ισχύει το ίσον;
Ευκλείδης Α Λυκείου
Η ανισότητα γράφεται
Θέτω και ισχύει
Εκτελούμε τις πράξεις και αρκεί
Έχουμε
Η ισότητα πιάνεται για δηλαδή όταν .
;
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Ανισοϊσότητα
Επεξεργασία: Η λύση μου υποφέρει από το ίδιο λάθος με αυτό του Πρόδρομου. Θα επανέλθω.
Το ίδιο πρώτο βήμα με του Πρόδρομου αλλά θα χρησιμοποιήσω και . Θα χρησιμοποιήσω επίσης τη γνωστή ανισότητα με ισότητα αν και μόνο αν .
Θέλουμε να δείξουμε ότι:
Έχουμε:
όπως θέλαμε να δείξουμε. Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν το οποίο είναι ισοδύναμο με .
Ίσως λίγο δύσκολη για Ευκλείδη Α' Λυκείου.
Το ίδιο πρώτο βήμα με του Πρόδρομου αλλά θα χρησιμοποιήσω και . Θα χρησιμοποιήσω επίσης τη γνωστή ανισότητα με ισότητα αν και μόνο αν .
Θέλουμε να δείξουμε ότι:
Έχουμε:
όπως θέλαμε να δείξουμε. Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν το οποίο είναι ισοδύναμο με .
Ίσως λίγο δύσκολη για Ευκλείδη Α' Λυκείου.
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Ανισοϊσότητα
Συνεχίζω από το σημείο .george visvikis έγραψε: ↑Παρ Αύγ 30, 2019 9:48 amΑν να δείξετε ότι Πότε ισχύει το ίσον;
Ευκλείδης Α Λυκείου
Είναι
Η ισότητα όταν , ή όταν
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ανισοϊσότητα
Αν τα είναι ομόσημα τότε οι λύσεις του Δημήτρη και του Πρόδρομουgeorge visvikis έγραψε: ↑Παρ Αύγ 30, 2019 9:48 amΑν να δείξετε ότι Πότε ισχύει το ίσον;
Ευκλείδης Α Λυκείου
είναι μια χαρά.
Αν είναι ετερόσημα γράφεται
με ομόσημα.
Λόγω ομογενειας μπορούμε να υποθέσουμε ότι
Θέτοντας
η προς απόδειξη γράφεται
με μη αρνητικό.
Αλλά
για .
ισότητα έχουμε σε αυτή την περίπτωση για
Δηλαδή στην αρχική έχουμε ισότητα αν η η
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Ανισοϊσότητα
Μία άλλη λύση.
Θέτω, και αρκεί να δείξω ότι (μετά από κάποιες πράξεις) , .
Αν τότε προφανώς η δοσμένη ισχύει ως ισότητα.
Αν , απλοποιώ και αρκεί .
Έστω, και αρκεί μετά τις πράξεις που ισχύει διότι και , οπότε η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Η ισότητα, όταν ή .
Αν άρα ή .
Αν .
Θέτω, και αρκεί να δείξω ότι (μετά από κάποιες πράξεις) , .
Αν τότε προφανώς η δοσμένη ισχύει ως ισότητα.
Αν , απλοποιώ και αρκεί .
Έστω, και αρκεί μετά τις πράξεις που ισχύει διότι και , οπότε η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Η ισότητα, όταν ή .
Αν άρα ή .
Αν .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ανισοϊσότητα
Να το δουμε και λίγο διαφορετικά.george visvikis έγραψε: ↑Παρ Αύγ 30, 2019 9:48 amΑν να δείξετε ότι Πότε ισχύει το ίσον;
Ευκλείδης Α Λυκείου
Αν προφανώς ισχύει.
Διαιρώντας με το και θέτοντας
γράφεται
Θέτοντας
γίνεται
που ισχύει λόγω του ότι
και
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Ανισοϊσότητα
Διαφορετικά από εδώ. Γνωρίζουμε ότι η διακρίνουσα του πολυωνύμου είναι . Επιλέγοντας και αρκεί να δείξω ότι . Αυτό είναι ισοδύναμο με το πολυώνυμο να έχει τρεις πραγματικές ρίζες με την ισότητα να λαμβάνεται όταν τουλάχιστον δύο από τις ρίζες είναι ίσες.
Έχουμε . Παρατηρούμε ότι η είναι ρίζα οπότε παραγοντοποιούμε ως . Άρα όντως όλες οι ρίζες είναι πραγματικές με ισότητα αν και μόνο αν ή ή που δίνουν αντίστοιχα.
Re: Ανισοϊσότητα
Μια ακόμα λύση:
Διακρίνουμε 2 περιπτώσεις:
1) Οι είναι ομόσημοι.
Τότε, δεδομένης της μορφής της ανισότητας , μπορώ να υποθέσω ότι θετικοί, χωρίς βλάβη της γενικότητας.
Από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου έχω
Επομένως αρκεί ν.δ.ό.
, που ισχύει.
2)Οι ετερόσημοι.
Εστω .
Θέτω .
Οπότε, η ανισότητα γράφεται:
Θέτω και υποθέτω χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι
Τότε η ανισότητα γράφεται
, που ισχύει λόγω της πρώτης περίπτωσης.
Διακρίνουμε 2 περιπτώσεις:
1) Οι είναι ομόσημοι.
Τότε, δεδομένης της μορφής της ανισότητας , μπορώ να υποθέσω ότι θετικοί, χωρίς βλάβη της γενικότητας.
Από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου έχω
Επομένως αρκεί ν.δ.ό.
, που ισχύει.
2)Οι ετερόσημοι.
Εστω .
Θέτω .
Οπότε, η ανισότητα γράφεται:
Θέτω και υποθέτω χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι
Τότε η ανισότητα γράφεται
, που ισχύει λόγω της πρώτης περίπτωσης.
Κώστας
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Ανισοϊσότητα
Για την ιστορία: Την άσκηση την βρήκα σε ένα παλιό μου τετράδιο, όταν ήμουν ακόμα μαθητής. Την είχαμε κάνει στο φροντιστήριο με καθηγητή τον Λάζαρο Θρουμουλόπουλο και με την υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε (χωρίς αυτό να είναι απαραίτητο) τον μετασχηματισμό και Οπότε έχουμε:
που ισχύει.
Η ισότητα επιτυγχάνεται για ή
που ισχύει.
Η ισότητα επιτυγχάνεται για ή
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Ανισοϊσότητα
Δεν ξέρω απλά είδα την ανίσωση και μου φάνηκε προφανές.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Ανισοϊσότητα
Κατ' αρχάς, καλωσόρισες στο φόρουμ!
Στο θέμα μας τώρα. Όταν σε μία ανισοϊσότητα εξετάζουμε πότε ισχύει το ίσον, πρέπει να τεκμηριώνουμε την απάντησή
μας. Για παράδειγμα Είναι προφανές ότι για ισχύει ως ισότητα. Δεν μπορούμε όμως να
σταθούμε μόνο σ' αυτό που βγήκε στην τύχη. Κοιτάζοντας πιο προσεκτικά, παρατηρούμε ότι και η ισότητα
ισχύει για κάθε και όχι μόνο όταν παίρνουν την τιμή Ομοίως και στην παραπάνω άσκηση.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Ανισοϊσότητα
george visvikis έγραψε: ↑Παρ Αύγ 30, 2019 9:48 amΑν να δείξετε ότι Πότε ισχύει το ίσον;
Ευκλείδης Α Λυκείου
Αν είναι άμεσο από την χρήσιμη σχέση
και την
Αν είναι η AM-GM για τους αριθμούς
Θανάσης Κοντογεώργης
Re: Ανισοϊσότητα
Ένα αρχαίο ποστ από εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... 829p332359
Σιλουανός Μπραζιτίκος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης