Ελαχιστοποίηση εν μέσω ...

KARKAR · #1

: Ελαχιστοποίηση εν μέσω.png (9.04 KiB) Προβλήθηκε 1111 φορές

$\bigstar$ Το σταθερό σημείο S(k,m)

, βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο . Ευθεία διερχόμενη από το

,

τέμνει τους θετικούς ημιάξονες Ox , Oy

, στα σημεία A , B

αντίστοιχα .

α) Βρείτε συνάρτηση μιας μεταβλητής , η οποία να υπολογίζει το (OAB)

, για κάθε θέση του

.

β) Υπολογίστε το ελάχιστο του (OAB)

και στην περίπτωση αυτή υπολογίστε το μήκος του

.

Ratio · #2

$\large A(x_{A},0), S(k,m), \lambda_{AS}=\frac{m}{k-x_{A}}$

$\large \epsilon_{AB}: y-m=\frac{m}{k-x_{A}}(x-k)$

$\large x=0: y=m(1-\frac{k}{k-x_{A}}) \Rightarrow B(0,m(1-\frac{k}{k-x_{A}}))$

$A(x_{A},0), B(0,m(1-\frac{k}{k-x_{A}}))$

Η συνάρτηση εμβαδού f(x)

:

$\large f(x)=\frac{1}{2} \left |det\left | \begin{matrix} x & 0\\ 0 & m(1-\frac{k}{k-x}) \end{matrix} \right |\right|=\frac{1}{2}\left | xm(1-\frac{k}{k-x}) \right |, k<x$

$\large f(x)=\frac{mx^2}{2(x-k)}, f'(x)=\frac{x^2m-2xmk}{2(x-k)^{2}}$

$\large f_{min}=f(2k)=2km$

$\large (AB)=2\sqrt{k^2+m^2}$

#3

Μου θύμισε μια γενικότερη άσκηση που είχε πέσει στις εισαγωγικές εξετάσεις για τα Πανεπιστήμια, κάπου την δεκαετία του

. Την έχουμε δει πολλές φορές στο φόρουμ. Συγκεκριμένα, δίνεται γωνία (όχι κατ' ανάγκη ορθή) και σημείο εντός αυτής. Ζητείται η διατέμνουσα μέσω του σημείου η οποία ελαχιστοποιεί το τρίγωνο που εμφανίζεται:

Είναι απλό να αποδειχθεί ότι η ελάχιστη είναι η διαγώνιος παραλληλογράμμου που έχει το

ως σημείο τομής των διαγωνίων του. Με άλλα λόγια η τέταρτη κορυφή του παραλληλογράμμου είναι το συμμετρικό του

ως προς

, δηλαδή είναι το σημείο (2k, 2m)

. Τα υπόλοιπα είναι άμεσα. Π.χ. επιβεβαιώνεται η τιμή x_A=2k

της λύσης του Ratio καθώς ότι το ελάχιστο εμβαδόν είναι 2km

(το μισό του παραλληλογράμμου), και λοιπά.

#4

Ελαφρώς διαφορετικά ....

Έστω $\displaystyle A(t,0)$ , όπου $\displaystyle t>k$ . Η ευθεία που διέρχεται από τα $\displaystyle S,A$ έχει εξίσωση
$\displaystyle y=\frac{-m}{t-k}(x-t)\Leftrightarrow y=\frac{m}{k-t}(x-t)$ οπότε για $\displaystyle x=0$ παίρνουμε $\displaystyle y=\frac{-mt}{k-t}=\frac{mt}{t-k}$ άρα $\displaystyle B\left( 0,\frac{mt}{t-k} \right)$ και το εμβαδόν του $\displaystyle AOB$ είναι $\displaystyle E(t)=\frac{1}{2}t\frac{mt}{t-k}=\frac{1}{2}\frac{m{{t}^{2}}}{t-k},\,\,\,t>k$
Είναι : $\displaystyle {E}'(t)=\frac{1}{2}\frac{mt(t-2k)}{{{(t-k)}^{2}}}$ , οπότε $\displaystyle {E}'(t)\ge 0\Leftrightarrow t-2k\ge 0\Leftrightarrow t\ge 2k$
Με ένα απλό πίνακα μονοτονίας βλέπουμε ότι η $\displaystyle E$ παρουσιάζει ελάχιστο για $\displaystyle t=2k$
(οπότε το $\displaystyle S$ είναι μέσον του $\displaystyle AB$ ), ίσο με $\displaystyle E(2k)=2mk$
Το μήκος της $\displaystyle AB$ είναι τότε $\displaystyle \left( AB \right)=2(OS)=2\sqrt{{{k}^{2}}+{{m}^{2}}}$

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 26, 2020 8:45 am
Μου θύμισε μια γενικότερη άσκηση που είχε πέσει στις εισαγωγικές εξετάσεις για τα Πανεπιστήμια, κάπου την δεκαετία του . Την έχουμε δει πολλές φορές στο φόρουμ. Συγκεκριμένα, δίνεται γωνία (όχι κατ' ανάγκη ορθή) και σημείο εντός αυτής. Ζητείται η διατέμνουσα μέσω του σημείου η οποία ελαχιστοποιεί το τρίγωνο που εμφανίζεται:

Είναι απλό να αποδειχθεί ότι η ελάχιστη είναι η διαγώνιος παραλληλογράμμου που έχει το ως σημείο τομής των διαγωνίων του. Με άλλα λόγια η τέταρτη κορυφή του παραλληλογράμμου είναι το συμμετρικό του ως προς , δηλαδή είναι το σημείο . Τα υπόλοιπα είναι άμεσα. Π.χ. επιβεβαιώνεται η τιμή της λύσης του Ratio καθώς ότι το ελάχιστο εμβαδόν είναι (το μισό του παραλληλογράμμου), και λοιπά.

Καλημέρα σε όλους. Τελευταία σχετική συζήτηση αρχές Ιανουαρίου 2020, ΕΔΩ. Οι παραπομπές που είναι εκεί, διατρέχουν όλη τη διαδρομή του

(και μερικές κάνουν κύκλους).

Ελαχιστοποίηση εν μέσω ...

Ελαχιστοποίηση εν μέσω ...

Re: Ελαχιστοποίηση εν μέσω ...

Re: Ελαχιστοποίηση εν μέσω ...

Re: Ελαχιστοποίηση εν μέσω ...

Re: Ελαχιστοποίηση εν μέσω ...

Μέλη σε σύνδεση