Tριγωνομετρικό όριο 0/0

#1

Αν χρειαστεί ας μετακινηθεί.

Ας υπολογισθεί το $\displaystyle{ \begin{array}{cc}lim \\ x\rightarrow0\end{array} \frac {1 - \cos(ax)\cos(bx)\cos(cx)}{x^2} }$

#2

Πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με την συζυγή παράσταση του αριθμητή , αναλύουμε τα συν^2 με ημίτονα , πράξεις ........... σπάμε σε ομώνυμα κλάσματα (μέσα στο όριο) και τελικά βγαίνει = $\frac{\alpha^2+\beta ^2+\gamma ^2}{2}$

Ελπίζω να μην έχω κάνει λάθος στις πράξεις
Χρήστος

#3

Αναστάση, υποθέτω χωρίς τυροπιτάλ.

Εφαρμόζοντας 2 φορές διαδοχικά τον τύπο μετατροπής γινομένου συνημιτόνων σε άθροισμα το όριο γίνεται:

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{4-cos(a+b+c)x-cos(a+b-c)x-cos(a-b-c)x-cos(a-b+c)x}{x^2}=}$

$\displaystyle{=\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{sin^2(a+b+c)x}{x^2(1+cos(a+b+c)x)}+\frac{sin^2(a+b-c)x}{x^2(1+cos(a+b-c)x)}+\frac{sin^2(a-b-c)x}{x^2(1+cos(a-b-c)x)}+\frac{sin^2(a-b+c)x}{x^2(1+cos(a-b+c)x)}\right)}$

οπότε χρησιμοποιώντας το γνωστό όριο $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(ax)}{x}=a}$ ,

βρίσκουμε ότι το όριο είναι ίσο με:
$\displaystyle{\frac{a^2+b^2+c^2}{2}}$

Υ.Γ. Χρήστο και εγώ το ίδιο βρίσκω ...

#4

Ένας άλλος τρόπος βασίζεται στην ισότητα

$\displaystyle{\left(1+\cos(a x)\cos(b x) \cos (c x) \right)\cdot \frac{1-\cos(a x)\cos(b x) \cos (c x)}{x^2}=\frac{1-\cos^2(a x)\cos^2(b x) \cos^2 (c x)}{x^2}}$

που με χρήση της $\displaystyle{\sin^2 (t)+\cos^2 (t)=1}$ για $\displaystyle{t=ax, bx, cx}$ , γίνεται

$\displaystyle{\frac{\sin^2 (ax)}{x^2} +\cos^2 (ax)\cdot \left(\frac{\sin^2 (bx)}{x^2}+\cos^2(b x)\cdot \frac{\sin^2 (cx)}{x^2}\right)}$

Φιλικά,

Αχιλλέας

Tριγωνομετρικό όριο 0/0

Tριγωνομετρικό όριο 0/0

Re: Tριγωνομετρικό όριο 0/0

Re: Tριγωνομετρικό όριο 0/0

Re: Tριγωνομετρικό όριο 0/0

Μέλη σε σύνδεση