Διάφορες , μα όχι αδιάφορες
Συντονιστής: exdx
Διάφορες , μα όχι αδιάφορες
Για το δευτεροβάθμιο τριώνυμο , ισχύει : , για κάθε .
α) Υπολογίστε το
β) Υπολογίστε το
γ) Υπολογίστε τον θετικό , για τον οποίο :
δ) Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση : , για τις διάφορες τιμές του πραγματικού ;
α) Υπολογίστε το
β) Υπολογίστε το
γ) Υπολογίστε τον θετικό , για τον οποίο :
δ) Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση : , για τις διάφορες τιμές του πραγματικού ;
Λέξεις Κλειδιά:
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Διάφορες , μα όχι αδιάφορες
Δεν χρειάζεται να ξέρουμε ότι η είναι δευτεροβάθμιο τριώνυμο. Στην δοσμένη σχέση θέτω όπου το και προκύπτει ,
οπότε , που δίνει .
α) ,
β) ,
γ) Αν , προκύπτει , οπότε , συνεπώς , αφού .
δ) Η γράφεται . Η Διακρίνουσα .
Οπότε, η πιο πάνω εξίσωση έχει:
2 λύσεις, αν , δηλαδή ,
1 λύση, αν , δηλαδή ,
καμία λύση, αν , δηλαδή .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Διάφορες , μα όχι αδιάφορες
Σωστά. Για χάρη των μαθητών ας δούμε τι θα συναντούσε κάποιος λύτης που πήγαινε με τριώνυμο, .Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑Κυρ Μαρ 29, 2020 1:40 pmΔεν χρειάζεται να ξέρουμε ότι η είναι δευτεροβάθμιο τριώνυμο.
H η δοθείσα γίνεται . Συγκρίνοντας (*) συντελεστή του έχουμε , από όπου το . Από τον συντελεστή του βγαίνει εύκολα το και από τον σταθερό όρο βγαίνει τώρα το . Και λοιπά.
(*) Εδώ χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι τα πολυώνυμα έχουν μοναδική παράσταση. Αυτό δεν έχει αποδειχθεί στα Σχολικά Μαθηματικά όμως ειδικά για το τριώνυμο είναι εύκολο.
Θέτω λοιπόν ως άσκηση:
Αν για κάθε πραγματικό, δείξτε ότι .
Ας την αφήσουμε σήμερα για τους μαθητές μας.
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Διάφορες , μα όχι αδιάφορες
Έστω το πολυώνυμο . Από την συνθήκη είναι , και είναι , άρα πρέπει , δηλαδή .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Διάφορες , μα όχι αδιάφορες
Ορέστη, εδώ έχουμε ένα λεπτό σημείο: Για να μιλήσουμε για βαθμό πολυωνύμου (ακριβέστερα, πολυωνυμική συνάρτηση) προϋποθέτει ότι έχουμε αποδείξει ότι η παράσταση είναι μοναδική.Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑Κυρ Μαρ 29, 2020 2:48 pmΈστω το πολυώνυμο . Από την συνθήκη είναι , και είναι , άρα πρέπει , δηλαδή .
Αυτό στους πραγματικούς ή μιγαδικούς αριθμούς είναι σωστό, αλλά πρέπει να αποδειχθεί. Δεν ισχύει το ίδιο όταν το σύνολα αναφοράς είναι άλλοι αριθμοί. Μιλώντας εκτός ύλης, αν δουλεύαμε στο (δηλαδή ) έχουμε ότι τα τριώνυμα και είναι ίσα!
Συμβαίνουν ανάλογα περίεργα πράγματα για την παράσταση του πολυωνύμου στην μορφή όπου οι ρίζες. Για παράδειγμα στο το έχει τέσσερις(!) ρίζες, και δύο γραφές .
Αυτό που ζητούσα στην άσκηση που έγραψα είναι να χρησιμοποιήσουμε μόνο όσα έχουν αποδειχθεί στο Σχολικό βιβλίο (εξαιρείται η ύπαρξη πραγματικών αριθμών, που την παίρνουμε ως δεδομένη, διαισθητικά).
Πάντως, και έτσι που το ζητώ, πρόκειται για απλή άσκηση. Πάντα για τα δευτεροβάθμια μιλάμε.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Διάφορες , μα όχι αδιάφορες
Νομίζω ότι κάτι αλλο θες να γράψεις Μιχάλη,Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Κυρ Μαρ 29, 2020 3:24 pmΑυτό στους πραγματικούς ή μιγαδικούς αριθμούς είναι σωστό, αλλά πρέπει να αποδειχθεί. Δεν ισχύει το ίδιο όταν το σύνολα αναφοράς είναι άλλοι αριθμοί. Μιλώντας εκτός ύλης, αν δουλεύαμε στο (δηλαδή ) έχουμε ότι τα τριώνυμα και είναι ίσα!
προφανώς γνωρίζεις τα παρακάτω.
Τα και στο είναι ίσα σαν συναρτήσεις.
Σαν πολυώνυμα δεν είναι ίσα.
Ειναι άλλο πολυώνυμο και άλλο πολυωνιμική συνάρτηση.
Στα
οι έννοιες ταυτίζονται.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Διάφορες , μα όχι αδιάφορες
Σταύρο, λέω ακριβώς αυτό που λες και εσύ.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Κυρ Μαρ 29, 2020 4:31 pm
Νομίζω ότι κάτι αλλο θες να γράψεις Μιχάλη,
προφανώς γνωρίζεις τα παρακάτω.
Τα και στο είναι ίσα σαν συναρτήσεις.
Σαν πολυώνυμα δεν είναι ίσα.
Ειναι άλλο πολυώνυμο και άλλο πολυωνιμική συνάρτηση.
Στα
οι έννοιες ταυτίζονται.
Π.χ. γι' αυτό γράφω
Γράφω την απόδειξη που ζήταγα.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Κυρ Μαρ 29, 2020 3:24 pmΓια να μιλήσουμε για βαθμό πολυωνύμου (ακριβέστερα, πολυωνυμική συνάρτηση) προϋποθέτει ότι έχουμε αποδείξει ότι η παράσταση είναι μοναδική.
Έστω λοιπόν για κάθε πραγματικό. Τότε για παίρνομε , οπότε . Διαιρώντας με έπεται για κάθε .
Αν ξέραμε από όρια, μπορούμε τώρα να πάρουμε όριο στο , οπότε , και από εκεί εύκολα . Αν δεν ξέρουμε από όρια, τότε για παίρνουμε , αντίστοιχα. Με πρόσθεση κατά μέλη έπεται , και άρα .
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Διάφορες , μα όχι αδιάφορες
Από ότι βλέπω μπορεί με στοιχειώδη μέσα (ύλη Α Λυκείου)
να αποδειχθεί το εξής:
Αν
και
πραγματικοί ώστε
Για κάθε στο
είναι
τότε
Σημείωση .Το για κάθε στο
μπορεί να αντικατασταθεί με το
για κάθε με
να αποδειχθεί το εξής:
Αν
και
πραγματικοί ώστε
Για κάθε στο
είναι
τότε
Σημείωση .Το για κάθε στο
μπορεί να αντικατασταθεί με το
για κάθε με
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Διάφορες , μα όχι αδιάφορες
Σωστά. Ας το δούμε με τον περιορισμό που γράφεις. Βλέπω διάφορες λύσεις αλλά για την ώραΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Κυρ Μαρ 29, 2020 6:59 pmΑπό ότι βλέπω μπορεί με στοιχειώδη μέσα (ύλη Α Λυκείου)
να αποδειχθεί το εξής:
Αν
και
πραγματικοί ώστε
Για κάθε στο
είναι
τότε
Σημείωση .Το για κάθε στο
μπορεί να αντικατασταθεί με το
για κάθε με
προτιμώ την εξής:
Για κάθε τέτοιο έχουμε
Αν τότε και από το προηγούμενο είναι , όπως θέλαμε. Αλλιώς δεν μπορεί να είναι γιατί θέτοντας στην οποιονδήποτε θετικό αριθμό μικρότερο του και του έπεται , άτοπο.
Όμοια , και λοιπά.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Διάφορες , μα όχι αδιάφορες
Ακριβώς τα ίδια είχα στο μυαλό μου με την εξης διαφορά.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Κυρ Μαρ 29, 2020 7:31 pmΣωστά. Ας το δούμε με τον περιορισμό που γράφεις. Βλέπω διάφορες λύσεις αλλά για την ώραΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Κυρ Μαρ 29, 2020 6:59 pmΑπό ότι βλέπω μπορεί με στοιχειώδη μέσα (ύλη Α Λυκείου)
να αποδειχθεί το εξής:
Αν
και
πραγματικοί ώστε
Για κάθε στο
είναι
τότε
Σημείωση .Το για κάθε στο
μπορεί να αντικατασταθεί με το
για κάθε με
προτιμώ την εξής:
Για κάθε τέτοιο έχουμε
Αν τότε και από το προηγούμενο είναι , όπως θέλαμε. Αλλιώς δεν μπορεί να είναι γιατί θέτοντας στην οποιονδήποτε θετικό αριθμό μικρότερο του και του έπεται , άτοπο.
Όμοια , και λοιπά.
Θα έβαζα απευθείας
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες