Διάφορες , μα όχι αδιάφορες

KARKAR · #1

$\bigstar$ Για το δευτεροβάθμιο τριώνυμο f(x)

, ισχύει : f(x)+3f(4-x)=x^2

, για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

α) Υπολογίστε το f(2)

β) Υπολογίστε το f(3)

γ) Υπολογίστε τον θετικό

, για τον οποίο : f(x)=13

δ) Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση : f(x)=k

, για τις διάφορες τιμές του πραγματικού

;

Ορέστης Λιγνός · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 29, 2020 12:39 pm
$\bigstar$ Για το δευτεροβάθμιο τριώνυμο , ισχύει : , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

α) Υπολογίστε το

β) Υπολογίστε το

γ) Υπολογίστε τον θετικό , για τον οποίο :

δ) Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση : , για τις διάφορες τιμές του πραγματικού ;

Δεν χρειάζεται να ξέρουμε ότι η

είναι δευτεροβάθμιο τριώνυμο. Στην δοσμένη σχέση θέτω όπου

το

και προκύπτει f(4-x)+3f(x)=(x-4)^2

,
οπότε

, που δίνει $f(x)=\dfrac{x^2}{4}-3x+6$ .

α) f(2)=1

,
β)

,
γ) Αν

, προκύπτει x^2-12x+24=52

, οπότε

, συνεπώς

, αφού

.
δ) Η

γράφεται

. Η Διακρίνουσα $\Delta=144-4(24-4k)=48+16k$ .

Οπότε, η πιο πάνω εξίσωση έχει:

$\rightarrow$ 2 λύσεις, αν 48+16k>0

, δηλαδή

,
$\rightarrow$ 1 λύση, αν 48+16k=0

, δηλαδή

,
$\rightarrow$ καμία λύση, αν 48+16k<0

, δηλαδή

.

#3

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 29, 2020 1:40 pm
Δεν χρειάζεται να ξέρουμε ότι η είναι δευτεροβάθμιο τριώνυμο.

Σωστά. Για χάρη των μαθητών ας δούμε τι θα συναντούσε κάποιος λύτης που πήγαινε με τριώνυμο, f(x)=ax^2+bx+c

.

H η δοθείσα γίνεται $\displaystyle{4ax^2+(-2b-24a)x+4c+48a+12b = x^2}$ . Συγκρίνοντας (*) συντελεστή του x^2

έχουμε

, από όπου το

. Από τον συντελεστή του

βγαίνει εύκολα το

και από τον σταθερό όρο βγαίνει τώρα το

. Και λοιπά.

(*) Εδώ χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι τα πολυώνυμα έχουν μοναδική παράσταση. Αυτό δεν έχει αποδειχθεί στα Σχολικά Μαθηματικά όμως ειδικά για το τριώνυμο είναι εύκολο.

Θέτω λοιπόν ως άσκηση:

Αν για κάθε πραγματικό, δείξτε ότι $a=p,\,b=q, \, c=r$ .

Ας την αφήσουμε σήμερα για τους μαθητές μας.

Ορέστης Λιγνός · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 29, 2020 2:40 pm
Αν για κάθε πραγματικό, δείξτε ότι $a=p,\,b=q, \, c=r$ .

Έστω το πολυώνυμο P(x)=(a-p)x^2+(b-q)x+(c-r)

. Από την συνθήκη είναι P(1)=P(2)=P(3)=0

, και είναι $\deg P \leqslant 2$ , άρα πρέπει $P \equiv 0$ , δηλαδή a=p, b=q, c-r

.

#5

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 29, 2020 2:48 pm
Έστω το πολυώνυμο . Από την συνθήκη είναι , και είναι $\deg P \leqslant 2$ , άρα πρέπει $P \equiv 0$ , δηλαδή .

Ορέστη, εδώ έχουμε ένα λεπτό σημείο: Για να μιλήσουμε για βαθμό πολυωνύμου (ακριβέστερα, πολυωνυμική συνάρτηση) προϋποθέτει ότι έχουμε αποδείξει ότι η παράσταση είναι μοναδική.

Αυτό στους πραγματικούς ή μιγαδικούς αριθμούς είναι σωστό, αλλά πρέπει να αποδειχθεί. Δεν ισχύει το ίδιο όταν το σύνολα αναφοράς είναι άλλοι αριθμοί. Μιλώντας εκτός ύλης, αν δουλεύαμε στο $\mathbbZ_2$ (δηλαδή $0+0=0, 0+1=1+0=1,1+1=0, 0\cdot 0= 0\cdot 1= 1\cdot 0 =0, 1\cdot 1=1$ ) έχουμε ότι τα τριώνυμα

και

είναι ίσα!

Συμβαίνουν ανάλογα περίεργα πράγματα για την παράσταση του πολυωνύμου στην μορφή a(x-r_1)...(x-r_n)

όπου

οι ρίζες. Για παράδειγμα στο $\mathbb Z_{12}$ το x^2-4

έχει τέσσερις(!) ρίζες, f(2)=f(4)=f(8) = f(10) =0

και δύο γραφές f(x)=(x-2)(x-10)=(x-4)(x-8)

.

Αυτό που ζητούσα στην άσκηση που έγραψα είναι να χρησιμοποιήσουμε μόνο όσα έχουν αποδειχθεί στο Σχολικό βιβλίο (εξαιρείται η ύπαρξη πραγματικών αριθμών, που την παίρνουμε ως δεδομένη, διαισθητικά).

Πάντως, και έτσι που το ζητώ, πρόκειται για απλή άσκηση. Πάντα για τα δευτεροβάθμια μιλάμε.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 29, 2020 3:24 pm
Αυτό στους πραγματικούς ή μιγαδικούς αριθμούς είναι σωστό, αλλά πρέπει να αποδειχθεί. Δεν ισχύει το ίδιο όταν το σύνολα αναφοράς είναι άλλοι αριθμοί. Μιλώντας εκτός ύλης, αν δουλεύαμε στο $\mathbbZ_2$ (δηλαδή $0+0=0, 0+1=1+0=1,1+1=0, 0\cdot 0= 0\cdot 1= 1\cdot 0 =0, 1\cdot 1=1$ ) έχουμε ότι τα τριώνυμα και είναι ίσα!

Νομίζω ότι κάτι αλλο θες να γράψεις Μιχάλη,
προφανώς γνωρίζεις τα παρακάτω.
Τα

και

στο $\mathbb{Z}_2$ είναι ίσα σαν συναρτήσεις.
Σαν πολυώνυμα δεν είναι ίσα.
Ειναι άλλο πολυώνυμο και άλλο πολυωνιμική συνάρτηση.
Στα $\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$
οι έννοιες ταυτίζονται.

#7

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 29, 2020 4:31 pm

Νομίζω ότι κάτι αλλο θες να γράψεις Μιχάλη,
προφανώς γνωρίζεις τα παρακάτω.
Τα και στο $\mathbb{Z}_2$ είναι ίσα σαν συναρτήσεις.
Σαν πολυώνυμα δεν είναι ίσα.
Ειναι άλλο πολυώνυμο και άλλο πολυωνιμική συνάρτηση.
Στα $\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$
οι έννοιες ταυτίζονται.

Σταύρο, λέω ακριβώς αυτό που λες και εσύ.

Π.χ. γι' αυτό γράφω

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 29, 2020 3:24 pm
Για να μιλήσουμε για βαθμό πολυωνύμου (ακριβέστερα, πολυωνυμική συνάρτηση) προϋποθέτει ότι έχουμε αποδείξει ότι η παράσταση είναι μοναδική.

Γράφω την απόδειξη που ζήταγα.

Έστω λοιπόν ax^2+bx+c=px^2+qx+r

για κάθε

πραγματικό. Τότε για x=0

παίρνομε

, οπότε

. Διαιρώντας με

έπεται

για κάθε $x\ne 0$ .

Αν ξέραμε από όρια, μπορούμε τώρα να πάρουμε όριο στο

, οπότε

, και από εκεί εύκολα a=p

. Αν δεν ξέρουμε από όρια, τότε για $x=\pm 1$ παίρνουμε $a+b=p+q, \, a-b=p-q$ , αντίστοιχα. Με πρόσθεση κατά μέλη έπεται a=p

, και άρα

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

Από ότι βλέπω μπορεί με στοιχειώδη μέσα (ύλη Α Λυκείου)
να αποδειχθεί το εξής:

Αν $n\in \mathbb{N},n\geq 1$
και
$a_{0},a_{1},....,a_{n}$
πραγματικοί ώστε
Για κάθε

στο $\mathbb{R}$
είναι
$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+....+a_{1}x+a_{0}=0$
τότε
$a_{n}=a_{n-1}=....=a_{1}=a_{0}=0$

Σημείωση .Το για κάθε

στο $\mathbb{R}$
μπορεί να αντικατασταθεί με το
για κάθε

με

#9

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 29, 2020 6:59 pm
Από ότι βλέπω μπορεί με στοιχειώδη μέσα (ύλη Α Λυκείου)
να αποδειχθεί το εξής:

Αν $n\in \mathbb{N},n\geq 1$
και
$a_{0},a_{1},....,a_{n}$
πραγματικοί ώστε
Για κάθε στο $\mathbb{R}$
είναι
$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+....+a_{1}x+a_{0}=0$
τότε
$a_{n}=a_{n-1}=....=a_{1}=a_{0}=0$

Σημείωση .Το για κάθε στο $\mathbb{R}$
μπορεί να αντικατασταθεί με το
για κάθε με

Σωστά. Ας το δούμε με τον περιορισμό 0<x<1

που γράφεις. Βλέπω διάφορες λύσεις αλλά για την ώρα
προτιμώ την εξής:

Για κάθε τέτοιο

έχουμε

$\displaystyle{|a_0|= |-a_{n}x^{n}-a_{n-1}x^{n-1}-....-a_{1}x| \le |a_{n}||x|^{n} +|a_{n-1}||x|^{n-1}+....+|a_{1}||x| \le }$

$\displaystyle{\le (|a_{n}| +|a_{n-1}|+....+|a_{1}|)|x|\, (*)}$

Αν $|a_{n}| +|a_{n-1}|+....+|a_{1}|=0$ τότε $\displaystyle{ |a_{n}| =|a_{n-1}|=....=|a_{1}|=0}$ και από το προηγούμενο είναι a_0=0

, όπως θέλαμε. Αλλιώς δεν μπορεί να είναι $a_0\ne 0$ γιατί θέτοντας

στην

οποιονδήποτε θετικό αριθμό μικρότερο του

και του $\displaystyle{\dfrac {1}{2} \dfrac {|a_0|}{|a_{n}| +|a_{n-1}|+....+|a_{1}| }}$ έπεται $|a_0| \le \dfrac {1}{2} |a_0|$ , άτοπο.

Όμοια a_1=0

, και λοιπά.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #10

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 29, 2020 7:31 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 29, 2020 6:59 pm
Από ότι βλέπω μπορεί με στοιχειώδη μέσα (ύλη Α Λυκείου)
να αποδειχθεί το εξής:

Αν $n\in \mathbb{N},n\geq 1$
και
$a_{0},a_{1},....,a_{n}$
πραγματικοί ώστε
Για κάθε στο $\mathbb{R}$
είναι
$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+....+a_{1}x+a_{0}=0$
τότε
$a_{n}=a_{n-1}=....=a_{1}=a_{0}=0$

Σημείωση .Το για κάθε στο $\mathbb{R}$
μπορεί να αντικατασταθεί με το
για κάθε με
Σωστά. Ας το δούμε με τον περιορισμό που γράφεις. Βλέπω διάφορες λύσεις αλλά για την ώρα
προτιμώ την εξής:

Για κάθε τέτοιο έχουμε

$\displaystyle{|a_0|= |-a_{n}x^{n}-a_{n-1}x^{n-1}-....-a_{1}x| \le |a_{n}||x|^{n} +|a_{n-1}||x|^{n-1}+....+|a_{1}||x| \le }$

$\displaystyle{\le (|a_{n}| +|a_{n-1}|+....+|a_{1}|)|x|\, (*)}$

Αν $|a_{n}| +|a_{n-1}|+....+|a_{1}|=0$ τότε $\displaystyle{ |a_{n}| =|a_{n-1}|=....=|a_{1}|=0}$ και από το προηγούμενο είναι , όπως θέλαμε. Αλλιώς δεν μπορεί να είναι $a_0\ne 0$ γιατί θέτοντας στην οποιονδήποτε θετικό αριθμό μικρότερο του και του $\displaystyle{\dfrac {1}{2} \dfrac {|a_0|}{|a_{n}| +|a_{n-1}|+....+|a_{1}| }}$ έπεται $|a_0| \le \dfrac {1}{2} |a_0|$ , άτοπο.

Όμοια , και λοιπά.

Ακριβώς τα ίδια είχα στο μυαλό μου με την εξης διαφορά.
Θα έβαζα απευθείας
$\displaystyle{\dfrac {1}{2} \dfrac {|a_0|}{|a_{n}| +|a_{n-1}|+....+|a_{1}|+|a_0| }}$

Διάφορες , μα όχι αδιάφορες

Διάφορες , μα όχι αδιάφορες

Re: Διάφορες , μα όχι αδιάφορες

Re: Διάφορες , μα όχι αδιάφορες

Re: Διάφορες , μα όχι αδιάφορες

Re: Διάφορες , μα όχι αδιάφορες

Re: Διάφορες , μα όχι αδιάφορες

Re: Διάφορες , μα όχι αδιάφορες

Re: Διάφορες , μα όχι αδιάφορες

Re: Διάφορες , μα όχι αδιάφορες

Re: Διάφορες , μα όχι αδιάφορες

Μέλη σε σύνδεση