Με αφορμή το Θεώρημα του Flett

#1

Αν η συνάρτηση

είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [a, b]

, και οι παράγωγοι αριθμοί στα δύο άκρα του διαστήματος είναι και οι δύο μεγαλύτεροι (η μικρότεροι) της κλίσης που ορίζεται από τα σημεία A(a,f(a))

και

της

, τότε υπάρχει $x_0 \in (a,b)$ τέτοιο ώστε $f'(x_0)=\dfrac{f(x_0)-f(a)}{x_0-a}$ .

harrisp · #2

Θεωρούμε τη συνάρτηση:

$g(x)=\left\{\begin{matrix} f'(a) & & x=a \\ & & \\ \dfrac{f(a)-f(a)}{x-a} & & x \in (a,b] \end{matrix}\right.$

η οποία είναι συνεχής στο [a,b]

(άρα έχει ελάχιστη τιμή) και παρ/μη στο (a,b]

.

Από την εκφώνηση g(a)>g(b)

. Αυτό σημαίνει ότι το ελάχιστο της συνάρτησης δεν λαμβάνεται σίγουρα στο

.

Ακόμη $g'(x)=\dfrac {f'(x)(x-a)-f(x)+f(a)}{(x-a)^2}$ άρα $g'(b)=\dfrac {f'(b)(b-a)-f(b)+f(a)}{(b-a)^2}>0$ από εκφώνηση πάλι.

Άρα από τον ορισμό της παραγώγου υπάρχει διάστημα κοντά στο

ώστε

γνησίως αύξουσα άρα g(x)<g(b)

σε αυτό το διάστημα οπότε το ελάχιστο της συνάρτησης δεν λαμβάνεται σίγουρα ούτε στο

. Άρα έχουμε ελάχιστο της

σε κάποιο εσωτερικό σημείο χ_0

του

και από Fermat προκύπτει:

$0=g'(x_0)=\dfrac {f'(x_0)(x_0-a)-f(x_0)+f(a)}{(x_0-a)^2}$ που δίνει τη ζητούμενη.

#3

AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ έγραψε: Τετ Απρ 01, 2020 11:10 pm Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα , και οι παράγωγοι αριθμοί στα δύο άκρα του διαστήματος είναι και οι δύο μεγαλύτεροι (η μικρότεροι) της κλίσης που ορίζεται από τα σημεία και της , τότε υπάρχει $x_0 \in (a,b)$ τέτοιο ώστε $f'(x_0)=\dfrac{f(x_0)-f(a)}{x_0-a}$ .

Καλό.

Έστω $f'(a) > \dfrac {f(b)-f(a)}{b-a}$ και $f'(b) > \dfrac {f(b)-f(a)}{b-a}$ (όμοια για την ανάποδη ανισότητα). Θέτουμε

$\displaystyle{g(x) = \left\{\begin{matrix} \dfrac {f(x)-f(a)}{x-a}& \, x\ne a \\ f'(a) & \, x=a \end{matrix}\right.}$

οπότε $\displaystyle{g'(x) = \dfrac {f'(x)(x-a) -(f(x)-f(a))}{(x-a)^2}}$ .

Από ΘΜΤ υπάρχει $\displaystyle{p\in (a,b)}$ με $\displaystyle{ g'(p) = \dfrac {g(b)-g(a)}{b-a} = \dfrac {1}{b-a} \left ( \dfrac {f(b)-f(a)}{b-a} - f'(a)\right ) <0}$

και επίσης

$\displaystyle{g'(b)= \dfrac {f'(b)(b-a) -(f(b)-f(a))}{(b-a)^2} >0}$ .

Από Darboux υπάρχει x_0

ανάμεσα στα

και

με $\displaystyle{g'(x_0)=0}$ . Άρα $\displaystyle{ f'(x_0)(x_0-a) -(f(x_0)-f(a))=0}$ , που ισοδυναμεί με το ζητούμενο.

#4

Είναι απίστευτο που η προηγούμενη άσκηση είναι αναρτημένη μία μέρα αλλά εστάλησαν δύο λύσεις με διαφορά ούτε ενός λεπτού.

Από κάτω γράφω μία δεύτερη λύση με χρήση του Θεωρήματος Flett.

Για όσους δεν γνωρίζουν, το Θεώρημα Flett είναι το ίδιο με την άσκηση αλλά με την επιπλέον συνθήκη f'(a)=f'(b)

. Με άλλα λόγια η άσκηση του Ανδρέα μας λέει ότι η συνθήκη αυτή στο Θεώρημα Flett είναι περιττή. Με εντυπωσίασε αλλά το παρακάτω ερμηνεύει καλύτερα γιατί αληθεύει η γενίκευση.

Αν f'(b)=f'(a)

δεν έχουμε τίποτα να αποδείξουμε, αφού ισχύει το Flett. Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι $\displaystyle{f'(b) > f'(a) > \dfrac {f(b)-f(a)}{b-a}}$ .

Από ΘΜΤ υπάρχει $p\in (a,b)$ με $\dfrac {f(b)-f(a)}{b-a}= f'(p)$ . Δηλαδή έχουμε f'(b) > f'(a) > f'(p)

. Από Darboux υπάρχει $q\in (p,b)$ (και άρα $p\ne a$ ) με f'(q)=f'(a)

. Τώρα από το (κανονικό) Flett στο [a,q]

υπάρχει

όπως το ζητάει η άσκηση.

Όμοια οι άλλες περιπτώσεις.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

harrisp έγραψε: Πέμ Απρ 02, 2020 9:38 pm Θεωρούμε τη συνάρτηση:

$g(x)=\left\{\begin{matrix} f'(a) & & x=a \\ & & \\ \dfrac{f(a)-f(a)}{x-a} & & x \in (a,b] \end{matrix}\right.$

η οποία είναι συνεχής στο (άρα έχει ελάχιστη τιμή) και παρ/μη στο .

Από την εκφώνηση .(δεν υπάρχει πρόβλημα αν είναι $g(a)\geq g(b)$ ) Αυτό σημαίνει ότι το ελάχιστο της συνάρτησης δεν λαμβάνεται σίγουρα στο . Αυτό σημαίνει ότι αν το ελάχιστο λαμβάνεται στο τότε θα λαμβάνεται και στο

Ακόμη $g'(x)=\dfrac {f'(x)(x-a)-f(x)+f(a)}{(x-a)^2}$ άρα $g'(b)=\dfrac {f'(b)(b-a)-f(b)+f(a)}{(b-a)^2}>0$ από εκφώνηση πάλι.

Άρα από τον ορισμό της παραγώγου υπάρχει διάστημα κοντά στο ώστε να ισχύει σε αυτό το διάστημα οπότε το ελάχιστο της συνάρτησης δεν λαμβάνεται σίγουρα ούτε στο . Άρα έχουμε ελάχιστο της σε κάποιο εσωτερικό σημείο του και από Fermat προκύπτει:

$0=g'(x_0)=\dfrac {f'(x_0)(x_0-a)-f(x_0)+f(a)}{(x_0-a)^2}$ που δίνει τη ζητούμενη.

harrisp έγραψε: Πέμ Απρ 02, 2020 9:38 pm Άρα από τον ορισμό της παραγώγου υπάρχει διάστημα κοντά στο ώστε γνησίως αύξουσα άρα

Δεν είναι σωστό.Απαιτείται η συνέχεια της παραγώγου.Το ότι g(x)<g(b)

κοντά στο

είναι σωστό οπότε δεν χαλάει η απόδειξη.
Με μπλε το διόρθωσα σε αυτά που έγραψε ο harrisp.

Επίσης μπορούμε να έχουμε στην υπόθεση αντί της $f'(a)> \dfrac {f(b)-f(a)}{b-a}$
την $f'(a)\geq \dfrac {f(b)-f(a)}{b-a}$

Τα πέρασα με μπλε στο κείμενο του harrisp.

harrisp · #6

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Πέμ Απρ 02, 2020 11:08 pm
harrisp έγραψε: Πέμ Απρ 02, 2020 9:38 pm Θεωρούμε τη συνάρτηση:

$g(x)=\left\{\begin{matrix} f'(a) & & x=a \\ & & \\ \dfrac{f(a)-f(a)}{x-a} & & x \in (a,b] \end{matrix}\right.$

η οποία είναι συνεχής στο (άρα έχει ελάχιστη τιμή) και παρ/μη στο .

Από την εκφώνηση .(δεν υπάρχει πρόβλημα αν είναι $g(a)\geq g(b)$ ) Αυτό σημαίνει ότι το ελάχιστο της συνάρτησης δεν λαμβάνεται σίγουρα στο . Αυτό σημαίνει ότι αν το ελάχιστο λαμβάνεται στο τότε θα λαμβάνεται και στο

Ακόμη $g'(x)=\dfrac {f'(x)(x-a)-f(x)+f(a)}{(x-a)^2}$ άρα $g'(b)=\dfrac {f'(b)(b-a)-f(b)+f(a)}{(b-a)^2}>0$ από εκφώνηση πάλι.

Άρα από τον ορισμό της παραγώγου υπάρχει διάστημα κοντά στο ώστε να ισχύει σε αυτό το διάστημα οπότε το ελάχιστο της συνάρτησης δεν λαμβάνεται σίγουρα ούτε στο . Άρα έχουμε ελάχιστο της σε κάποιο εσωτερικό σημείο του και από Fermat προκύπτει:

$0=g'(x_0)=\dfrac {f'(x_0)(x_0-a)-f(x_0)+f(a)}{(x_0-a)^2}$ που δίνει τη ζητούμενη.

harrisp έγραψε: Πέμ Απρ 02, 2020 9:38 pm Άρα από τον ορισμό της παραγώγου υπάρχει διάστημα κοντά στο ώστε γνησίως αύξουσα άρα
Δεν είναι σωστό.Απαιτείται η συνέχεια της παραγώγου.Το ότι κοντά στο είναι σωστό οπότε δεν χαλάει η απόδειξη.
Με μπλε το διόρθωσα σε αυτά που έγραψε ο harrisp.

Επίσης μπορούμε να έχουμε στην υπόθεση αντί της $f'(a)> \dfrac {f(b)-f(a)}{b-a}$
την $f'(a)\geq \dfrac {f(b)-f(a)}{b-a}$

Τα πέρασα με μπλε στο κείμενο του harrisp.

Έχετε δίκιο, ευχαριστώ για τη διόρθωση. Στο μυαλό μου σκεφτόμουν τον ορισμό του ορίου και έκανα λογικό άλμα στη λύση με τη μονοτονία για να μη χρειαστεί να γράψω το όριο αλλά την πάτησα.

#7

Αφού ευχαριστήσω τούς καλούς φίλους Χάρη, Μιχάλη και Σταύρο για την άμεση ανταπόκριση και τις καίριες παρεμβάσεις τους, να περιγράψω με ποιες άλλες ασκήσεις που πιστεύω μπορούν να γίνουν σε μία τάξη την έχω συνδέσει.
1) Αν μία παραγωγίσιμη στο [a,b]

συνάρτηση

έχει θετική παράγωγο στο

η αντίστοιχα αρνητική στο

, τότε το αντίστοιχο σημείο είναι θέση τοπικού ελαχίστου (ενώ αν είναι αντίστροφα, είναι θέση μεγίστου). Αυτό προκύπτει άμεσα από τον ορισμό της παραγώγου.
2) Αν μία παραγωγίσιμη στο [a,b]

συνάρτηση

έχει στο

παράγωγο μεγαλύτερη από την κλίση της χορδής A(a, f(a)) B(b, f(b))

τότε υπάρχει σημείο (x_1, f(x_1))

κοντά στο

που βρίσκεται πάνω από τη χορδή. Όμοια, αν έχει και στο

παράγωγο μεγαλύτερη από την κλίση της χορδής, υπάρχει σημείο x_2, f(x_2)

κοντά στο

που βρίσκεται κάτω από τη χορδή. Έτσι με θεώρημα Bolzano

, αποδεικνύεται ότι το γράφημα της συνάρτησης τέμνει τη χορδή τουλάχιστον σε ένα εσωτερικό σημείο του διαστήματός μας.
3) Αν μία συνάρτηση

είναι παραγωγίσιμη στο [a,b]

με

και

τότε υπάρχει εφαπτομένη της C_f

που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
Γενικότερα, για κάθε παραγωγίσιμη στο [a,b]

συνάρτηση, υπάρχει εφαπτομένη της C_f

που διέρχεται από ένα σημείο της ευθείας

του οποίου η τετμημένη δεν ανήκει στο [a,b]

. Προφανώς η παραγωγισιμότητα στα άκρα δεν είναι απαραίτητη (εφαρμογή Θ. Rolle

σε κατάλληλη συνάρτηση).

Έτσι μπορούμε να αποδείξουμε το Θεώρημα του Flett

σε συνδυασμό των 2 και 3, καθώς και τη γενίκευση που διατύπωσα.
Εύχομαι σε όλους καλή δύναμη και να βγούμε το συντομότερο δυνατόν από την πρωτόγνωρα δύσκολη κατάσταση που βιώνουμε.
Έκανα κάποιες διορθώσεις στις προϋποθέσεις του 3) ( είχα ξεχάσει το f(a)=f(b)=0

) που μου επισήμανε ο Σταύρος τον οποίο ευχαριστώ.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ έγραψε: Παρ Απρ 03, 2020 12:33 am 3) Αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο με τότε υπάρχει εφαπτομένη της που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
.

Γεια σου Αντρέα.
Φυσικά το a>b>0

είναι τυπογραφικό.
Μήπως υπάρχει και άλλο;

#9

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Παρ Απρ 03, 2020 2:14 pm
AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ έγραψε: Παρ Απρ 03, 2020 12:33 am 3) Αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο με τότε υπάρχει εφαπτομένη της που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
.
Γεια σου Αντρέα.
Φυσικά το είναι τυπογραφικό.
Μήπως υπάρχει και άλλο;

Σταύρο σε ευχαριστώ, το διόρθωσα, Ελπίζω να μην έχω άλλο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #10

AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ έγραψε: Παρ Απρ 03, 2020 9:38 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Παρ Απρ 03, 2020 2:14 pm
AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ έγραψε: Παρ Απρ 03, 2020 12:33 am 3) Αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο με τότε υπάρχει εφαπτομένη της που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
.
Γεια σου Αντρέα.
Φυσικά το είναι τυπογραφικό.
Μήπως υπάρχει και άλλο;
Σταύρο σε ευχαριστώ, το διόρθωσα, Ελπίζω να μην έχω άλλο.

Γεια σου Ανδρέα.
Με μόνο αυτές τις προυποθέσεις δεν ισχύει.
Δεν νομίζω ότι χρειάζεται να βάλω παράδειγμα.
Υποθέτω ότι έχεις και άλλες προυποθέσεις που τις ξέχασες.

#11

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Παρ Απρ 03, 2020 10:17 pm
AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ έγραψε: Παρ Απρ 03, 2020 9:38 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Παρ Απρ 03, 2020 2:14 pm
AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ έγραψε: Παρ Απρ 03, 2020 12:33 am 3) Αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο με τότε υπάρχει εφαπτομένη της που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
.
Γεια σου Αντρέα.
Φυσικά το είναι τυπογραφικό.
Μήπως υπάρχει και άλλο;
Σταύρο σε ευχαριστώ, το διόρθωσα, Ελπίζω να μην έχω άλλο.
Γεια σου Ανδρέα.
Με μόνο αυτές τις προυποθέσεις δεν ισχύει.
Δεν νομίζω ότι χρειάζεται να βάλω παράδειγμα.
Υποθέτω ότι έχεις και άλλες προυποθέσεις που τις ξέχασες.

Έχεις δίκιο Σταύρο ξέχασα το f(a)=f(b)=0

Με αφορμή το Θεώρημα του Flett

Με αφορμή το Θεώρημα του Flett

Re: Με αφορμή το Θεώρημα του Flett

Re: Με αφορμή το Θεώρημα του Flett

Re: Με αφορμή το Θεώρημα του Flett

Re: Με αφορμή το Θεώρημα του Flett

Re: Με αφορμή το Θεώρημα του Flett

Re: Με αφορμή το Θεώρημα του Flett

Re: Με αφορμή το Θεώρημα του Flett

Re: Με αφορμή το Θεώρημα του Flett

Re: Με αφορμή το Θεώρημα του Flett

Re: Με αφορμή το Θεώρημα του Flett

Μέλη σε σύνδεση