Σύγκλιση σειράς

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\mathcal{S}= \sum \limits_{n=1}^{\infty} x_n$ όπου x_n

πραγματική ακολουθία και έστω $\ell = \lim \limits_{ n \rightarrow +\infty} n x_n$ .

Να δειχθεί ότι αν η $\mathcal{S}$ συγκλίνει και το $\ell$ υπάρχει ( πεπερασμένο ή άπειρο ) τότε $\ell=0$ .
Να δοθεί παράδειγμα όπου , η $\mathcal{S}$ συγκλίνει αλλά το $\ell$ δεν υπάρχει.
Να δοθεί παράδειγμα φθίνουσας ακολουθίας $\{x_n\}$ , $\ell=0$ αλλά η $\mathcal{S}$ αποκλίνει.
Να δειχθεί ότι αν η $\mathcal{S}$ συγκλίνει και η $\{x_n\}$ είναι φθίνουσα τότε:
$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} n \left ( x_n - x_{n-1} \right ) = \mathcal{S}}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 05, 2020 3:10 pm
Έστω $\mathcal{S}= \sum \limits_{n=1}^{\infty} x_n$ όπου πραγματική ακολουθία και έστω $\ell = \lim \limits_{ n \rightarrow +\infty} n x_n$ .

Να δειχθεί ότι αν η $\mathcal{S}$ συγκλίνει και το $\ell$ υπάρχει ( πεπερασμένο ή άπειρο ) τότε $\ell=0$ .

Να δοθεί παράδειγμα όπου , η $\mathcal{S}$ συγκλίνει αλλά το $\ell$ δεν υπάρχει.

Να δοθεί παράδειγμα φθίνουσας ακολουθίας $\{x_n\}$ , $\ell=0$ αλλά η $\mathcal{S}$ αποκλίνει.

Να δειχθεί ότι αν η $\mathcal{S}$ συγκλίνει και η $\{x_n\}$ είναι φθίνουσα τότε:
$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} n \left ( x_n - x_{n-1} \right ) = \mathcal{S}}$

1) Έστω

η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων της σειράς, οπότε $s_n\to s$ . Από Cesaro $\displaystyle{\dfrac {s_1+...+s_n}{n} \to s}$ , δηλαδή
$\displaystyle{\dfrac {nx_1+(n-1)x_2+...+2x_{n-1}+x_n}{n} \to s}$ .

Επίσης από υπόθεση $\displaystyle{\dfrac {n+1}{n}(x_1+...+x_n) = \dfrac {n+1}{n} s_n \to s}$ . Αφαιρώντας τις δύο έπεται

$\displaystyle{\dfrac {x_1+2 x_2+...+(n-1)x_{n-1}+nx_n}{n} \to 0}$ . Όμως από την $nx_n\to l$ και Cesaro, το τελευταίο άθροισμα τείνει στο

. Από μοναδικότητα του ορίου, l=0

.

2) Παίρνουμε $x_n= \dfrac {1}{n^2}$ αν $n\ne \dfrac {1}{2^k}$ όπου $k\in \mathbb N$ , και $x_{2^n}= \dfrac {1}{2^n}$ αλλιώς. Τώρα η σειρά συγκλίνει αλλά αφού $n\frac {1}{n^2}\to 0$ και $2^nx_{2^n}=\dfrac {2^n}{2^n} =1$ , η ακολουθία (nx_n)

δεν συγκλίνει.

3) $x_n= \dfrac {1}{n\ln n}$

4) Πρέπει να κλείσω. Θα επανέλθω αργότερα. Συγγνώμη. Για την ώρα σημειώνω μονάχα ότι έχει τυπογραφικό σφάλμα: Tο $x_{n-1}$ πρέπει να γίνει $x_{n+1}$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 05, 2020 3:10 pm
Έστω $\mathcal{S}= \sum \limits_{n=1}^{\infty} x_n$ όπου πραγματική ακολουθία και έστω $\ell = \lim \limits_{ n \rightarrow +\infty} n x_n$ .

Να δειχθεί ότι αν η $\mathcal{S}$ συγκλίνει και το $\ell$ υπάρχει ( πεπερασμένο ή άπειρο ) τότε $\ell=0$ .

Να δοθεί παράδειγμα όπου , η $\mathcal{S}$ συγκλίνει αλλά το $\ell$ δεν υπάρχει.

Να δοθεί παράδειγμα φθίνουσας ακολουθίας $\{x_n\}$ , $\ell=0$ αλλά η $\mathcal{S}$ αποκλίνει.

Να δειχθεί ότι αν η $\mathcal{S}$ συγκλίνει και η $\{x_n\}$ είναι φθίνουσα τότε:
$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} n \left ( x_n - x_{n-1} \right ) = \mathcal{S}}$

Τόλη ξέχασες να βάλεις ημερομηνία και δεν το πήρε χαμπάρι ο Μιχάλης.

Δεν θα γράψω την λύση του τελευταίου μήπως την γράψει κανένας φοιτητής.
Θα κάνω μία απλούστερη λύση για το πρώτο.
Αν l>0

και το άπειρο μέσα τότε υπάρχει $n_{0}\in \mathbb{N}$ ώστε για $n\geq n_{0}$
να έχουμε $nx_{n}> \frac{l}{2}$ .
(αν είναι άπειρο το $\frac{l}{2}$ το κάνω ένα θετικό αριθμό)
Αφού η αρμονική αποκλίνει θα αποκλίνει ΑΤΟΠΟ.

Αν l<0

θεωρούμε την

$\mathcal{S}= \sum \limits_{n=1}^{\infty}- x_n$

και πέφτουμε στην πρώτη περίπτωση

#4

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 05, 2020 3:10 pm
[*]Να δειχθεί ότι αν η $\mathcal{S}$ συγκλίνει και η $\{x_n\}$ είναι φθίνουσα τότε:
$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} n \left ( x_n - x_{n-1} \right ) = \mathcal{S}}$

Συνεχίζω από εκεί που έμεινα. Το κάνω για το $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} n \left ( x_n - x_{n+1} \right ) = \mathcal{S}}$ , δηλαδή με διόρθωση του τυπογραφικού σφάλματος της εκφώνησης.

Aν (x_n)

φθίνουσα (αναγκαστικά στο

) είναι απλό και γνωστό ότι $nx_n\to 0$ . Θα το βρει κανείς σε όλα τα βιβλία με σειρές (το πρώτο και κύριο βήμα είναι $2nx_{2n} \le 2(x_n+...+x_{2n} ) = 2(s_{2n}-s_{n-1}) \to 2(l-l)=0)$ .

Αν t_n

το μερικό άθροισμα της αριστερής σειράς, έχουμε

$\displaystyle{t_n=(x_1-x_2)+2(x_2-x_3)+...+n(x_n-x_{n+1}) = (x_1+x_2+...+x_n)-nx_{n+1}=}$

$\displaystyle{=s_n-\dfrac {n+1}{n} (n+1)x_{n+1} \to \mathcal{S}-0}$

Ωχχχχ. Tώρα βλέπω το μήνυμα του Σταύρου (δεν υπήρχε όταν ξεκίνησα να γράφω) και τώρα αντιλήφθηκα ότι ήταν άσκηση για φοιτητές. Ωχχχχ.

Tolaso J Kos · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 05, 2020 7:44 pm

... και τώρα αντιλήφθηκα ότι ήταν άσκηση για φοιτητές. Ωχχχχ.

Δε πειράζει.. Δεν έγινε και κάτι.

Σύγκλιση σειράς

Σύγκλιση σειράς

Re: Σύγκλιση σειράς

Re: Σύγκλιση σειράς

Re: Σύγκλιση σειράς

Re: Σύγκλιση σειράς

Μέλη σε σύνδεση