Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

#1

ΘΕΜΑ 1
α) Βρείτε όλους τους πρώτους p, q, r

τέτοιους ώστε $3 \nmid p+q+r$ και οι αριθμοί p+q+r

και

να είναι τέλεια τετράγωνα.
β) Υπάρχουν πρώτοι p, q, r

τέτοιοι ώστε $3 \mid p+q+r$ και οι αριθμοί p+q+r

και

να είναι τέλεια τετράγωνα;

ΘΕΜΑ 2
Δίνεται το σύνολο $M=\{1,2,3,...,n\}$ .
Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του

για την οποία υπάρχουν σύνολα X,Y

τέτοια ώστε $X\cup Y=M, \ X\cap Y=\emptyset$ , και κανένα από αυτά δεν περιέχει την μέση τιμή δύο οποιονδήποτε στοιχείων του.
Για την τιμή του

που θα βρείτε, να προσδιορίσετε το πλήθος των συνόλων X,Y.

ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης

$\displaystyle K= \frac{(x+y)(x^3+y^3)}{(x^2+y^2)^2}$

όταν τα

και

διατρέχουν το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών.

ΘΕΜΑ 4
Θεωρούμε τρίγωνο ABC

, το έγκεντρό του

, το σημείο επαφής

του εγγεγραμμένου κύκλου με την

και τη διχοτόμο του AE.

Αν

το μέσο του τόξου

του περιγεγραμμένου κύκλου του, που περιέχει το

και $\{F\} = DI ∩ AM,$ να αποδείξετε ότι η ευθεία

διέρχεται από το μέσο του τμήματος EF.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

socrates έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 05, 2020 3:10 am
ΘΕΜΑ 1
α) Βρείτε όλους τους πρώτους τέτοιους ώστε $3 \nmid p+q+r$ και οι αριθμοί και να είναι τέλεια τετράγωνα.
β) Υπάρχουν πρώτοι τέτοιοι ώστε $3 \mid p+q+r$ και οι αριθμοί και να είναι τέλεια τετράγωνα;

Ισχυρισμός:

Αν $\rm p,q,r$ πρώτοι και $\rm p+q+r,pq+qr+pr+3$ ταυτόχρονα τέλεια τετράγωνα τότε (τουλάχιστον) ένας εκ των $\rm p,q,r$ ισούται με .
Απόδειξη:

Έστω προς άτοπο ότι $\rm p,q,r\neq 2$ .Τότε $\rm p,q,r \equiv 1,-1 \pmod{4}$ .Άρα για να είναι $\rm p+q+r$ τέλειο τετράγωνο πρέπει $\rm p+q+r \equiv 1 \pmod{4}$ .Αν ήταν $\rm p \equiv 1\pmod{4}$ τότε πρέπει $\rm q+r\equiv 0\pmod{4}$ άρα έστω $\rm q\equiv 1\pmod{4},r\equiv -1\pmod{4}$ (ή το αντίστροφο,δεν έχει σημασία).Τότε όμως είναι $\rm pq+qr+pr+3\equiv 1-1-1+3\equiv 2\pmod{4}$ άτοπο αφού το

δεν είναι τετραγωνικό υπόλοιπο $\pmod{4}$ .Όμοια καταλήγουμε σε άτοπο όταν $\rm p \equiv -1\pmod{4}$
Στην άσκηση τώρα:
α) Από τον ισχυρισμό έστω $\rm p=2$ .Έστω $\rm q,r\neq 3$ .Πρέπει $\rm p+q+r\equiv 1\pmod{3}$ άρα $\rm q+r \equiv 2\pmod{3}$ άρα $\rm q\equiv r\equiv 1\pmod{3}$ (αφού $\rm q,r\equiv 1,-1\pmod{3}$ .Τότε όμως $\rm pq+qr+pr+3\equiv 2+2+1+3\equiv 2\pmod{3}$ άτοπο αφού το

δεν είναι τετραγωνικό υπόλοιπο $\pmod{3}$ .
Πρέπει λοιπόν $\rm q=3$ (ή $\rm r=3$ ,δεν έχει σχέση) και έτσι $\rm 6+2r+3r+3=k^2 \Leftrightarrow 5r=(k-3)(k+3)$ με $\rm k$ φυσικό.Επειδή το αριστερό μέλος είναι γινόμενο πρώτων έχουμε τις εξής περιπτώσεις:
$\rm k+3=5r,k-3=1\Rightarrow 7=5r$ άτοπο.
$\rm k+3=r,k-3=5\Rightarrow r=11$
$\rm k-3=r,k+3=5\Rightarrow r< 0$ άτοπο.
Άρα λύση η $\rm (p,q,r)=(2,3,11)$ και οι αναδιατάξεις.
β)Ναι υπάρχουν $\rm (p,q,r)=(2,11,23)$ (χρησιμοποιούμε τον ισχυρισμό και σχέσεις $\pmod$ οπότε με δοκιμές καταλήγουμε σε αυτή)

#3

socrates έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 05, 2020 3:10 am

ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης

$\displaystyle K= \frac{(x+y)(x^3+y^3)}{(x^2+y^2)^2}$

όταν τα και διατρέχουν το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών.

Βρίσκω $\displaystyle 1 \le K \le \frac{9}{8},$ αλλά η λύση μου είναι μάλλον πολύπλοκη για "μικρούς". Θα περιμένω να δω κάτι άλλο πριν την αναρτήσω.

edit: Άρση απόκρυψης. Ίδια λύση με τον Θάνο.

#4

socrates έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 05, 2020 3:10 am

ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης

$\displaystyle K= \frac{(x+y)(x^3+y^3)}{(x^2+y^2)^2}$

όταν τα και διατρέχουν το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών.

Το ελάχιστο είναι το $\displaystyle{1}$ ως άμεση εφαρμογή της ανισότητας Cauchy-Schwarz και πιάνεται όταν $\displaystyle{x=y.}$

Πάμε στο μέγιστο: Παρατηρούμε ότι η παράσταση γράφεται

$\displaystyle{1+\frac{xy}{x^2+y^2}-2\left(\frac{xy}{x^2+y^2}\right)^2=-2t^2+t+1}$ με $\displaystyle{t\in \left(0,\frac{1}{2}\right].}$

Πρόκειται για παραβολή που πιάνει το μέγιστό της στο $\displaystyle{t_0=\frac{1}{4}}$ .

Άρα η μέγιστη τιμή είναι η

$\displaystyle{-2\left(\frac{1}{4}\right)^2+\frac{1}{4}+1=\frac{9}{8}.}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

matha έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 05, 2020 6:58 pm

socrates έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 05, 2020 3:10 am

ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης

$\displaystyle K= \frac{(x+y)(x^3+y^3)}{(x^2+y^2)^2}$

όταν τα και διατρέχουν το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών.

Το ελάχιστο είναι το $\displaystyle{1}$ ως άμεση εφαρμογή της ανισότητας Cauchy-Schwarz και πιάνεται όταν $\displaystyle{x=y.}$

Πάμε στο μέγιστο: Παρατηρούμε ότι η παράσταση γράφεται

$\displaystyle{1+\frac{xy}{x^2+y^2}-2\left(\frac{xy}{x^2+y^2}\right)^2=-2t^2+t+1}$ με $\displaystyle{t\in \left(0,\frac{1}{2}\right].}$

Πρόκειται για παραβολή που πιάνει το μέγιστό της στο $\displaystyle{t_0=\frac{1}{4}}$ .

Άρα η μέγιστη τιμή είναι η

$\displaystyle{-2\left(\frac{1}{4}\right)^2+\frac{1}{4}+1=\frac{9}{8}.}$

Κάτι δεν πάει καλά.
(υποθέτω ότι δεν μπορεί να γίνει $\displaystyle{t_0=\frac{1}{4}}$ )

Το ότι δεν πάει καλά οφείλεται στο ότι το μέγιστο το βγάζω

$\frac{(x+y)(x^3+y^3)}{(x^2+y^2)^2}\leq 2$

είναι ισοδύναμη με την
$x^4+y^4+x^3y+y^3x\leq 2(x^4+y^4+2x^2y^2)$ (1)
Αλλά από Holder είναι
$x^3y+y^3x\leq (x^4+y^4)$
Αρα η (1) ισχύει.

Η τιμή

δεν πιάνεται.
Το παρακάτω είναι λάθος οπότε το μέγιστο δεν είναι το

Για

σταθερό και $y\rightarrow 0$
βλέπουμε ότι το

δεν μπορεί να γίνει μικρότερο.
συμπλήρωμα.
Για

σταθερό και $y\rightarrow 0$ η παράσταση πάει στο

Ευχαριστώ τον Xriiiistos που μου το επισήμανε με π.μ

Al.Koutsouridis · #6

socrates έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 05, 2020 3:10 am

ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης

$\displaystyle K= \frac{(x+y)(x^3+y^3)}{(x^2+y^2)^2}$

όταν τα και διατρέχουν το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών.

Μια άλλη λίγο μπελαλίδικη λύση αλλά οδηγεί σε αποτέλεσμα, είναι να εκμεταλευτούμε το ότι ο αριθμητής και παρονομαστής είναι ομογενής παραστάσης

βαθμού συν το ότι η εξίσωση που προκύπτει είναι συμμετρική τετάρτου βαθμού.

Θέτουμε y=kx

, και έστω ότι το δεδομένο κλασμα πάιρνει την τιμή

, τότε η εξίσωση

$\dfrac{x^4+xy^3+y^3x+y^4}{x^4+2x^2y^2+y^4} = \dfrac{k^4+k^3+k+1}{k^4+2k^2+1} = a$

θα πρέπει να έχει λύσεις ως προς

. Η εξίσωση αυτή γράφεται

$k^4+k^3+k+1=ak^4+2ak^2+a \Leftrightarrow$

(a-1)k^4-k^3+2ak^2-k+a-1 = 0

, διαιρούμε με k^2

και έχουμε

$(a-1)k^2 +(a-1)\dfrac{1}{k^} -\left (k+\dfrac{1}{k} \right ) +2a =0 \Leftrightarrow$

$(a-1)\left ( \left (k+\dfrac{1}{k} \right)^2 -2 \right ) -\left (k+\dfrac{1}{k} \right ) +2a =0$ , θέτουμε $k+\dfrac{1}{k} =t$ και έχουμε

$(a-1)(t^2-2) -t +2a=0 \Leftrightarrow$

(a-1)t^2-t+2=0

Για να έχει λύσεις η τελευταία θα πρέπει η διακρίνουσά της να είναι μη αρνητική, δηλαδή

$D=1-4\cdot 2(a-1) \geq 0 \Rightarrow a \leq \dfrac{9}{8}$

Επειδή $k+\dfrac{1}{k} \geq 2$ έχουμε τις επιπλέον συνθήκες οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης να είναι μεγαλύτερες ή ίσες του

. Επίσης να εξεταστεί η περίπτωση a=1

που μηδενίζει τον συντελεστή του δευτεροβάθμιου όρου ξεχωριστά. Οπότε πρέπει να εξετάσουμε και τις ανισότητες

$t_{\pm} = \dfrac{1\pm \sqrt{9-8a}}{2(a-1)} \geq 2$

Επιλύοντας τις οποίες και εξετάζoντας την περίπτωση a=1

, βρίσκουμε ότι πρέπει $a \geq 1$ .

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #7

socrates έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 05, 2020 3:10 am
ΘΕΜΑ 4
Θεωρούμε τρίγωνο , το έγκεντρό του , το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με την και τη διχοτόμο του
Αν το μέσο του τόξου του περιγεγραμμένου κύκλου του, που περιέχει το και $\{F\} = DI ∩ AM,$ να αποδείξετε ότι η ευθεία διέρχεται από το μέσο του τμήματος

: 297.PNG (45.51 KiB) Προβλήθηκε 1873 φορές

Θεωρώ τα παράκεντρα $\rm I_A,I_B,I_C$ .Η τετράδα $\rm (A,E,I,I_A)$ είναι αρμονική άρα αρκεί $\rm MI_A\parallel EF$ .
Έστω $\rm AM\cap CB\equiv S$ .Στο $\rm \Delta FSE$ το $\rm I$ είναι ορθόκεντρο άρα $\rm SI\perp FE$ .Αρκεί λοιπόν να δείξω ότι $\rm SI\perp MI_A$ .Για να ισχύει αυτό αρκεί $\rm MI\perp I_AS$ καθώς τότε το $\rm I$ θα ήταν ορθόκεντρο του $\rm \Delta SMI_A$ .
Έστω $\rm P\equiv BI_B\cap (A,B,C)$ .Είναι γνωστό ότι $\rm PI=PI_B$ .Είναι $\rm \angle MCI=\dfrac{\angle C}{2}+\angle MCB-\angle C=90^{\circ}-\dfrac{BMC}{2}-\dfrac{\angle C}{2}=90^{\circ}-\dfrac{\angle A}{2}-\dfrac{\angle C}{2}=\dfrac{\angle B}{2}=\angle CMP$ άρα $\rm II_C\parallel MP\Leftrightarrow MI_B=MI_C$ .Έτσι αν $\rm Ix$ η παράλληλη από το $\rm I$ στην $\rm I_B,I_C$ (στο σχήμα η πορτοκαλί διακεκομμένη) τότε σχηματίζεται η αρμονική δέσμη $\rm I(I_B,I_C,M,x$ .Επίσης και η δέσμη $\rm I_A(S,E,B,C)$ είναι αρμονική.Παρατηρούμε πως οι δύο αυτές δέσμες έχουν κάθετα τα τρία ζεύγη ομόλογων ακτίνων τους άρα και το τέταρτο,δηλαδή τις $\rm IM,I_AS$ και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Ορέστης Λιγνός · #8

socrates έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 05, 2020 3:10 am
ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης

$\displaystyle K= \frac{(x+y)(x^3+y^3)}{(x^2+y^2)^2}$

όταν τα και διατρέχουν το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών.

Καλησπέρα σε όλους.

Βάζω μία ακόμα λύση (παρεμφερής με τις υπόλοιπες).

Προφανώς από Cauchy-Schwarz το ελάχιστο είναι

.

Έστω τώρα x^2+y^2=M, xy=N

, οπότε εύκολα προκύπτει ότι $K=1+\dfrac{MN-2N^2}{M^2}$ .

Όμως, ισχύει ότι $\dfrac{MN-2N^2}{M^2} \leqslant 1/8$ (*), καθώς γράφεται ως $(M-4N)^2 \geqslant 0$ , οπότε $K \leqslant 9/8$ .

Xriiiiistos · #9

socrates έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 05, 2020 3:10 am
ΘΕΜΑ 4
Θεωρούμε τρίγωνο , το έγκεντρό του , το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με την και τη διχοτόμο του
Αν το μέσο του τόξου του περιγεγραμμένου κύκλου του, που περιέχει το και $\{F\} = DI ∩ AM,$ να αποδείξετε ότι η ευθεία διέρχεται από το μέσο του τμήματος

Θα αποδείξω το γενικότερο με μόνη διαφορά

τυχαίο σημείο της μεσοκαθέτου του

.
Έστω

ύψος του

και

μέσο της

: T.E.37 (1).png (330.24 KiB) Προβλήθηκε 1817 φορές

θεώρημα Μενέλαου στο AFE

με διατέμνουσα την INM

$\dfrac{NE}{NF}\cdot \dfrac{MF}{MA}\cdot \dfrac{IA}{IE}=1\Leftrightarrow \dfrac{NE}{NF}= \dfrac{MA}{MF}\cdot \dfrac{IE}{IA}$ (1)

Aπό Θ.Θαλή $\dfrac{MA}{MF}=\dfrac{PH}{PD}=\dfrac{a/2-BH}{a/2-BD}=\dfrac{a-2ccosB}{a-2t+2b}=\dfrac{a-2c\cdot cosB}{b-c}$

Aπό θ. διχοτόμου
$\dfrac{IE}{IA}=\dfrac{BE}{BA}=\dfrac{ca/(b+c)}{c}=\dfrac{a}{b+c}$

θα δείξω ότι
$\dfrac{MA}{MF}= \dfrac{IA}{IE}\Leftrightarrow \dfrac{a-2c\cdot cosB}{b-c}=\dfrac{b+c}{a}\Leftrightarrow b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca \cdot cosB$
που ισχύει ως νόμος συνημιτώνων

άρα $\dfrac{MA}{MF}\dfrac{IE}{IA}=1$ και η (1) δίνει NE=NF

Y.Γ. Δίχως βλάβη δουλεύω σε τρίγωνο με b>c

min## · #10

Μια σύντομη για την 4.
Παίρνοντας το συμμετρικό $I_{A}'$ του $I_{A}$ ως προς το

βλέπουμε λόγω ισοτομικότητας των A-Nagel,A-Gergonne

πως $I_{A}' \in EF$ και επομένως αρκεί $EF//MI_{A}$ .Είναι όμως στο σχήμα του Προδρόμου $AF/AM=AI/AT=AE/AI_{A}$ από συμμετρική αντιστροφή που δίνει το ζητούμενο

Joaakim · #11

Το Πρόβλημα 1 είναι και το Πρόβλημα 2 του JBMO Test επιλογής της Τουρκίας το 2013.
https://artofproblemsolving.com/communi ... 19p3082188

Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

Μέλη σε σύνδεση