Ελάχιστη εφαπτομένη

KARKAR · #1

: Ελάχιστη εφαπτομένη.png (9.94 KiB) Προβλήθηκε 429 φορές

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, το σημείο

είναι το μέσο της υποτείνουσας

και το

, το μέσο της

. Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή της : $\tan(\widehat{BSC})$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Απρ 10, 2020 9:55 pm
Ελάχιστη εφαπτομένη.pngΣε ορθογώνιο τρίγωνο , το σημείο είναι το μέσο της υποτείνουσας

και το , το μέσο της . Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή της : $\tan(\widehat{BSC})$ .

Ως προς ορθογώνιο σύστημα αξόνων με αρχή το

, έχουμε $\displaystyle{B(4p,0), \,C(0,4q)}$ . Έπεται ότι είναι $M(2p,2q),\, S(p,q)$ και οι SB, SC

έχουν κλίσεις

$\displaystyle{\dfrac {q-0}{p-4p}=-\dfrac {q}{3p}}$ και $\displaystyle{\dfrac {4q-q}{0-p}=-\dfrac {3q}{p}}$ , αντίστοιχα. Η ζητούμενη ως παραπληρωματική της γωνίας μεταξύ των ευθειών SB, SC

ικανοποιεί

$\displaystyle{\tan(\widehat{BSC}) = - \dfrac { \left ( -\dfrac {q}{3p}\right) -\left ( -\dfrac {3q}{p}\right) }{1+ \left ( -\dfrac {q}{3p}\right) \left ( -\dfrac {3q}{p}\right) }=-\dfrac {8pq}{3(p^2+q^2) }\ge -\dfrac {4(p^2+q^2)}{3(p^2+q^2)}= -\dfrac {4}{3}}$

με ισότητα αν p=q

Ελάχιστη εφαπτομένη

Ελάχιστη εφαπτομένη

Re: Ελάχιστη εφαπτομένη

Μέλη σε σύνδεση