Τεστ Εξάσκησης (44), Μικροί

#1

ΘΕΜΑ 1
α) Πόσες μεταθέσεις $a_1,a_2,...,a{}_2{}_0{}_0{}_8$ των αριθμών 1,2,...,2008

είναι τέτοιες ώστε $i \in \{ a_1,a_2,...,a_i \}$ για κάθε $2\le i \le2008$ ;

β) Πόσες μεταθέσεις $a_1,a_2,...,a_{10}$ των αριθμών 1,2,...,10

είναι τέτοιες ώστε
$a_i>a_{2i}$ για κάθε $1 \le i \le 5$ και
$a_i>a_{2i+1}$ για κάθε $1 \le i \le 4$ ;

ΘΕΜΑ 2
Οι ρητοί αριθμοί

και

και ο περιττός θετικός ακέραιος είναι τέτοιοι ώστε x^n- 2x = y^n - 2y.

Να δείξετε ότι x = y.

ΘΕΜΑ 3
Έστω $n \geq 2$ ένας ακέραιος και $0<x_1 \leq x_2 \leq ... \leq x_n$ πραγματικοί αριθμοί ώστε x_1 + x_2 + ... + x_n = 1

.
Δείξτε ότι αν $x_n \leq \dfrac{2}{3}$ , τότε υπάρχει $1 \leq k \leq n$ τέτοιος ώστε $\dfrac{1}{3} \leq x_1+x_2+...+x_k < \dfrac{2}{3}$ .

ΘΕΜΑ 4
Έστω

θετικός ακέραιος. Σε ένα συνέδριο συμμετέχουν 15n

σύνεδροι. Οι επίσημες γλώσσες που ομιλούνται στο συνέδριο είναι

Για κάθε ζεύγος γλωσσών, ο αριθμός των συνέδρων που μιλάει και τις δύο γλώσσες είναι

ενώ για κάθε τριάδα γλωσσών ο αριθμός των συνέδρων που μιλάει και τις τρεις είναι 3n.

Να αποδείξετε ότι δύο οποιοιδήποτε σύνεδροι μπορούν να επικοινωνήσουν σε κάποια από τις επίσημες γλώσσες και ότι μία τουλάχιστον γλώσσα ομιλείται από τουλάχιστον 10n

συνέδρους.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

socrates έγραψε: ↑
Παρ Απρ 10, 2020 11:29 pm

ΘΕΜΑ 3
Έστω $n \geq 2$ ένας ακέραιος και $0<x_1 \leq x_2 \leq ... \leq x_n$ πραγματικοί αριθμοί ώστε .
Δείξτε ότι αν $x_n \leq \dfrac{2}{3}$ , τότε υπάρχει $1 \leq k \leq n$ τέτοιος ώστε $\dfrac{1}{3} \leq x_1+x_2+...+x_k < \dfrac{2}{3}$ .

Έστω προς άτοπο ότι για κάθε $\rm k$ είναι $\displaystyle{\rm \sum_{i=1}^{k}x_i< \dfrac{1}{3}}$ ή $\displaystyle {\rm \sum_{i=1}^{k}x_i\geq \dfrac{2}{3}}$ .
Tότε θα υπάρχει $\rm l\geq0$ ώστε $\displaystyle{\rm \sum_{i=1}^{l}x_i< \dfrac{1}{3}}$ και $\displaystyle {\rm \sum_{i=1}^{l+1}x_i\geq \dfrac{2}{3}}$ .
Είναι $\displaystyle{\rm \dfrac{2}{3}\leq \sum_{i=1}^{l+1}x_i=\sum_{i=1}^{l}x_i+x_{l+1}<\dfrac{1}{3}+x_{l+1}\Leftrightarrow x_{l+1}>\dfrac{1}{3}$ .
Αν $\rm l+1\leq n-2$ τότε $\rm x_{n-2}+x_{n-1}+x_n \geq 3 x_{l+1}>1$ άτοπο.
Άρα $\rm l+1=n-1$ ή $\rm l+1=n$ .Το τελευταίο αποκλείεται γιατί τότε θα ήταν $\displaystyle{\rm \sum_{i=1}^{n-1}<\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow x_n>\dfrac{2}{3}$ άτοπο.
Άρα $\rm l=n-2$ .Αυτό όμως σημαίνει ότι $\rm x_{l+1}=x_{n-1}>\dfrac{1}{3}$ .Επίσης θα έπρεπε $\displaystyle {\rm \sum_{i=1}^{n-1}\geq \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow x_n\leq \dfrac{1}{3}}$ .Άρα $\rm x_{n-1}>x_{n}$ άτοπο.

#3

socrates έγραψε: ↑
Παρ Απρ 10, 2020 11:29 pm
ΘΕΜΑ 4
Έστω θετικός ακέραιος. Σε ένα συνέδριο συμμετέχουν σύνεδροι. Οι επίσημες γλώσσες που ομιλούνται στο συνέδριο είναι Για κάθε ζεύγος γλωσσών, ο αριθμός των συνέδρων που μιλάει και τις δύο γλώσσες είναι ενώ για κάθε τριάδα γλωσσών ο αριθμός των συνέδρων που μιλάει και τις τρεις είναι
Να αποδείξετε ότι δύο οποιοιδήποτε σύνεδροι μπορούν να επικοινωνήσουν σε κάποια από τις επίσημες γλώσσες και ότι μία τουλάχιστον γλώσσα ομιλείται από τουλάχιστον συνέδρους.

Αν

το πλήθος των συνέδρων που μιλά καμία, ακριβώς μία κτλ από τις επίσημες γλώσσες τότε

$\displaystyle{a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 15n}$
$\displaystyle{a_2 + 3a_3 + 6a_4 + 10a_5 = 10 \cdot 6n = 60n}$
$\displaystyle{a_3 + 4a_4 + 10a_5 = 10 \cdot 3n = 30n}$

Προκύπτει ότι $\displaystyle{a_0 = a_1 = a_2 =a_5 = 0 , \ \ a_3 = 10n, a_4 = 5n}$

Πώς προκύπτει το συμπέρασμα που ζητά η άσκηση;

Τεστ Εξάσκησης (44), Μικροί

Τεστ Εξάσκησης (44), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (44), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (44), Μικροί

Μέλη σε σύνδεση